Aufgaben:Aufgabe 4.3: Algebraische und Modulo-Summe: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | *Es wird vorausgesetzt, dass die Binärzahlen 0 und 1 mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen. | ||
*Die Zufallszahlen xν∈{0,1} werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben. | *Die Zufallszahlen xν∈{0,1} werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben. | ||
− | Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen ⟨aν⟩ und ⟨mν⟩ gebildet | + | Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen ⟨aν⟩ und ⟨mν⟩ gebildet: |
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− | *Die 2D–WDF besteht aus vier Diracfunktionen, jeweils mit dem Gewicht 1/4. | + | [[Datei:P_ID224__Sto_A_4_3_c.png|right|frame|2D-WDF von x und m]] |
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*Man erhält dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite. | *Man erhält dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite. | ||
− | *Da $f_{xm}(x_\nu, m_\nu) | + | *Da $f_{xm}(x_\nu, m_\nu)=f_{x}(x_\nu) \cdot f_{m}(m_\nu)$ ist, sind die Größen xν und mν statistisch unabhängig. |
− | *Statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind aber auch linear statistisch unabhängig, also mit Sicherheit unkorreliert. | + | *Statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind aber auch linear statistisch unabhängig, also mit Sicherheit unkorreliert. |
− | '''(4)''' Innerhalb der Folge ⟨aν⟩ der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen ⇒ <u>Antwort 2</u>. | + | |
− | *Man erkennt dies daran, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit Pr(aν=0)=1/8 ist, | + | '''(4)''' Innerhalb der Folge ⟨aν⟩ der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen ⇒ <u>Antwort 2</u>. |
− | *während zum Beispiel Pr(aν=0|aν−1=3)=0 | + | *Man erkennt dies daran, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit Pr(aν=0)=1/8 ist, |
+ | *während zum Beispiel Pr(aν=0|aν−1=3)=0 gilt. | ||
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'''(5)''' Richtig sind <u>der erste und der letzte Lösungsvorschlag</u>: | '''(5)''' Richtig sind <u>der erste und der letzte Lösungsvorschlag</u>: | ||
− | *Wie bei der Teilaufgabe '''(3)''' gibt es wieder vier Diracfunktionen, diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten 1/4. | + | *Wie bei der Teilaufgabe '''(3)''' gibt es wieder vier Diracfunktionen, diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten 1/4. |
− | *Die zweidimensionale WDF lässt sich | + | *Die zweidimensionale WDF lässt sich auch nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben. |
− | *Das bedeutet aber, dass statistische Bindungen zwischen aν und mν bestehen müssen. | + | *Das bedeutet aber, dass statistische Bindungen zwischen aν und mν bestehen müssen. |
*Für den gemeinsamen Erwartungswert erhält man: | *Für den gemeinsamen Erwartungswert erhält man: | ||
:E[a⋅m]=18⋅0⋅0+38⋅2⋅0+38⋅1⋅1+18⋅3⋅1=34. | :E[a⋅m]=18⋅0⋅0+38⋅2⋅0+38⋅1⋅1+18⋅3⋅1=34. | ||
− | *Mit den linearen Mittelwerten E[a]=1.5 und E[m]=0.5 folgt damit für die Kovarianz: | + | *Mit den linearen Mittelwerten E[a]=1.5 und E[m]=0.5 folgt damit für die Kovarianz: |
:μam=E[a⋅m]−E[a]⋅E[m]=0.75−1.5⋅0.5=0. | :μam=E[a⋅m]−E[a]⋅E[m]=0.75−1.5⋅0.5=0. | ||
− | *Damit ist auch der Korrelationskoeffizient ρam=0. Das heißt: Die vorhandenen Abhängigkeiten | + | *Damit ist auch der Korrelationskoeffizient ρam=0. Das heißt: Die vorhandenen Abhängigkeiten müssen demnach nichtlinear sein ⇒ Die Größen aν und mν sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert. |
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Aktuelle Version vom 7. Februar 2022, 16:55 Uhr
Ein getakteter Zufallsgenerator liefert eine Folge ⟨xν⟩ von binären Zufallszahlen.
- Es wird vorausgesetzt, dass die Binärzahlen 0 und 1 mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen.
- Die Zufallszahlen xν∈{0,1} werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben.
Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen ⟨aν⟩ und ⟨mν⟩ gebildet:
- die "algebraische Summe" aν:
- aν=xν+xν−1+xν−2,
- die "Modulo-2-Summe" mν:
- mν=xν⊕xν−1⊕xν−2.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Nebenstehende Tabelle kann zur Momentenberechnung herangezogen werden.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass bei der Modulo-2-Summe die beiden Werte 0 und 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten:
- Pr(mν=0)=Pr(mν=1)=0.5_.
(2) Die Tabelle zeigt, dass bei jeder Vorbelegung ⇒ (xν−1,xν−2)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) die Werte mν=0 bzw. mν=1 gleichwahrscheinlich sind.
- Anders ausgedrückt: Pr(mν|mν−1)=Pr(mν).
- Dies entspricht genau der Definition der „statistischen Unabhängigkeit” ⇒ Antwort 1.
(3) Richtig sind der zweite und der letzte Lösungsvorschlag.
- Die 2D–WDF besteht aus vier Diracfunktionen, jeweils mit dem Gewicht 1/4.
- Man erhält dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite.
- Da fxm(xν,mν)=fx(xν)⋅fm(mν) ist, sind die Größen xν und mν statistisch unabhängig.
- Statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind aber auch linear statistisch unabhängig, also mit Sicherheit unkorreliert.
(4) Innerhalb der Folge ⟨aν⟩ der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen ⇒ Antwort 2.
- Man erkennt dies daran, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit Pr(aν=0)=1/8 ist,
- während zum Beispiel Pr(aν=0|aν−1=3)=0 gilt.
(5) Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:
- Wie bei der Teilaufgabe (3) gibt es wieder vier Diracfunktionen, diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten 1/4.
- Die zweidimensionale WDF lässt sich auch nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben.
- Das bedeutet aber, dass statistische Bindungen zwischen aν und mν bestehen müssen.
- Für den gemeinsamen Erwartungswert erhält man:
- E[a⋅m]=18⋅0⋅0+38⋅2⋅0+38⋅1⋅1+18⋅3⋅1=34.
- Mit den linearen Mittelwerten E[a]=1.5 und E[m]=0.5 folgt damit für die Kovarianz:
- μam=E[a⋅m]−E[a]⋅E[m]=0.75−1.5⋅0.5=0.
- Damit ist auch der Korrelationskoeffizient ρam=0. Das heißt: Die vorhandenen Abhängigkeiten müssen demnach nichtlinear sein ⇒ Die Größen aν und mν sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert.