Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js

Aufgaben:Aufgabe 4.3: Algebraische und Modulo-Summe: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
[[Datei:P_ID253__Sto_A_4_3.png|right|frame|Algebraische Summe und Modulo-2-Summe]]
 
[[Datei:P_ID253__Sto_A_4_3.png|right|frame|Algebraische Summe und Modulo-2-Summe]]
Ein „getakteter” Zufallsgenerator liefert eine Folge  xν  von binären Zufallszahlen.  
+
[[Datei:P_ID254__Sto_A_4_3Tab.png|right|frame|Tabelle zur Momentenberechnung]]
*Es wird vorausgesetzt, dass die Binärzahlen  0  und  1  mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen.  
+
Ein getakteter Zufallsgenerator liefert eine Folge  xν  von binären Zufallszahlen.  
 +
*Es wird vorausgesetzt,  dass die Binärzahlen  0  und  1  mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen.  
 
*Die Zufallszahlen  xν{0,1}  werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben.
 
*Die Zufallszahlen  xν{0,1}  werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben.
  
  
Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen  aν  und  mν  gebildet. Hierbei bezeichnet:
+
Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen  aν  und  mν  gebildet:
  
aν&nbsp; die <i>algebraische Summe</i>:
+
die&nbsp; "algebraische Summe"&nbsp; aν:
 
:aν=xν+xν1+xν2,
 
:aν=xν+xν1+xν2,
  
*mν&nbsp; die <i>Modulo-2-Summe</i>:
+
*die&nbsp; "Modulo-2-Summe"&nbsp; mν:
 
:mν=xνxν1xν2.
 
:mν=xνxν1xν2.
  
Dieser Sachverhalt ist in der nachfolgenden Tabelle nochmals dargestellt:
+
<br><br><br><br><br><br><br>
[[Datei:P_ID254__Sto_A_4_3Tab.png|left|frame|Tabelle zur Momentenberechnung]]
+
Hinweise: &nbsp;  
 
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
<br><br><br><br><br><br>
+
*Nebenstehende Tabelle kann zur Momentenberechnung herangezogen werden.
''Hinweis:'' &nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
 
 
<br clear=all>  
 
<br clear=all>  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
Zeile 64: Zeile 64:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich, dass bei der Modulo-2-Summe die beiden Werte 0 und 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten:  
+
'''(1)'''&nbsp; Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich,&nbsp; dass bei der Modulo-2-Summe die beiden Werte&nbsp; 0&nbsp; und&nbsp; 1&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten:  
 
:Pr(mν=0)=Pr(mν=1)=0.5_.
 
:Pr(mν=0)=Pr(mν=1)=0.5_.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt, dass bei jeder Vorbelegung &nbsp; &rArr; &nbsp;  (xν1,xν2)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)  &nbsp; die Werte mν=0 bzw. mν=1  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Anders ausgedr&uuml;ckt: &nbsp;
 
Pr(mν|mν1)=Pr(mν).
 
Dies entspricht genau der Definition der &bdquo;statistischen Unabh&auml;ngigkeit&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 1</u>.
 
  
 +
'''(2)'''&nbsp; Die Tabelle zeigt,&nbsp; dass bei jeder Vorbelegung &nbsp; &rArr; &nbsp;  ( x_{\nu-1},&nbsp; x_{\nu-2}) = (0,0),&nbsp; (0,1),&nbsp; (1,0),&nbsp; (1,1)  &nbsp; die Werte&nbsp; mν=0&nbsp; bzw.&nbsp; mν=1&nbsp;  gleichwahrscheinlich sind.
 +
*Anders ausgedr&uuml;ckt: &nbsp; Pr(mν|mν1)=Pr(mν).
 +
*Dies entspricht genau der Definition der &bdquo;statistischen Unabh&auml;ngigkeit&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; <u>Antwort 1</u>.
  
[[Datei:P_ID224__Sto_A_4_3_c.png|right|frame|2D-WDF von x und m]]
+
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>der zweite und der letzte Lösungsvorschlag</u>.
+
 
*Die 2D&ndash;WDF besteht aus vier Diracfunktionen, jeweils mit dem Gewicht 1/4.  
+
[[Datei:P_ID224__Sto_A_4_3_c.png|right|frame|2D-WDF von&nbsp; x&nbsp; und&nbsp; m]]
 +
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der zweite und der letzte Lösungsvorschlag</u>.
 +
*Die 2D&ndash;WDF besteht aus vier Diracfunktionen,&nbsp; jeweils mit dem Gewicht&nbsp; 1/4.  
 
*Man erh&auml;lt dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite.
 
*Man erh&auml;lt dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite.
*Da $f_{xm}(x_\nu, m_\nu)gleichdemProduktf_{x}(x_\nu) \cdot f_{m}(m_\nu)ist, sind die Gr&ouml;&szlig;enx_\nuundm_\nu$ statistisch unabh&auml;ngig.  
+
*Da&nbsp; $f_{xm}(x_\nu, m_\nu)=f_{x}(x_\nu) \cdot f_{m}(m_\nu)$&nbsp; ist,&nbsp; sind die Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; xν&nbsp; und&nbsp; mν&nbsp; statistisch unabh&auml;ngig.  
*Statistisch unabh&auml;ngige Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind aber  auch linear statistisch unabh&auml;ngig, also mit Sicherheit unkorreliert.
+
*Statistisch unabh&auml;ngige Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind aber  auch linear statistisch unabh&auml;ngig,&nbsp; also mit Sicherheit unkorreliert.
 
   
 
   
  
  
'''(4)'''&nbsp; Innerhalb der Folge aν der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort 2</u>.  
+
 
*Man erkennt dies daran, dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit Pr(aν=0)=1/8 ist,  
+
'''(4)'''&nbsp; Innerhalb der Folge&nbsp; aν&nbsp; der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort 2</u>.  
*w&auml;hrend zum Beispiel Pr(aν=0|aν1=3)=0  ist.
+
*Man erkennt dies daran,&nbsp; dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit&nbsp; Pr(aν=0)=1/8&nbsp; ist,  
 +
*w&auml;hrend zum Beispiel&nbsp; Pr(aν=0|aν1=3)=0&nbsp; gilt.
 +
 
  
  
[[Datei:P_ID225__Sto_A_4_3_e.png|right|frame|2D-WDF von a und m]]
+
[[Datei:P_ID225__Sto_A_4_3_e.png|right|frame|2D-WDF von&nbsp; a&nbsp; und&nbsp; m]]
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der letzte Lösungsvorschlag</u>:
 
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>der erste und der letzte Lösungsvorschlag</u>:
*Wie bei der Teilaufgabe '''(3)''' gibt es wieder vier Diracfunktionen, diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten 1/4.
+
*Wie bei der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gibt es wieder vier Diracfunktionen,&nbsp; diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten&nbsp; 1/4.
*Die zweidimensionale WDF l&auml;sst sich somit nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben.  
+
*Die zweidimensionale WDF l&auml;sst sich auch nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben.  
*Das bedeutet aber, dass statistische Bindungen zwischen aν  und mν bestehen m&uuml;ssen.
+
*Das bedeutet aber,&nbsp; dass statistische Bindungen zwischen&nbsp; aν&nbsp; und&nbsp; mν&nbsp; bestehen m&uuml;ssen.
 
*F&uuml;r den gemeinsamen Erwartungswert erh&auml;lt man:
 
*F&uuml;r den gemeinsamen Erwartungswert erh&auml;lt man:
 
:E[am]=1800+3820+3811+1831=34.
 
:E[am]=1800+3820+3811+1831=34.
*Mit den linearen Mittelwerten E[a]=1.5 &nbsp;und&nbsp; E[m]=0.5 folgt damit f&uuml;r die Kovarianz:
+
*Mit den linearen Mittelwerten&nbsp; E[a]=1.5 &nbsp;und&nbsp; E[m]=0.5&nbsp; folgt damit f&uuml;r die Kovarianz:
 
:μam=E[am]E[a]E[m]=0.751.50.5=0.
 
:μam=E[am]E[a]E[m]=0.751.50.5=0.
*Damit ist auch der Korrelationskoeffizient ρam=0. Das heißt: &nbsp; Die vorhandenen Abh&auml;ngigkeiten sind nichtlinear.
+
*Damit ist auch der Korrelationskoeffizient&nbsp; ρam=0.&nbsp; Das heißt: &nbsp; Die vorhandenen Abh&auml;ngigkeiten müssen demnach nichtlinear sein &nbsp; &rArr; &nbsp;  Die Größen&nbsp; aν&nbsp; und&nbsp; mν&nbsp; sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert.  
*Die Größen aν und mν sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert.  
 
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 7. Februar 2022, 16:55 Uhr

Algebraische Summe und Modulo-2-Summe
Tabelle zur Momentenberechnung

Ein getakteter Zufallsgenerator liefert eine Folge  xν  von binären Zufallszahlen.

  • Es wird vorausgesetzt,  dass die Binärzahlen  0  und  1  mit gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten und dass die einzelnen Zufallszahlen nicht voneinander abhängen.
  • Die Zufallszahlen  xν{0,1}  werden in die erste Speicherstelle eines Schieberegisters eingetragen und mit jeden Takt um eine Stelle nach unten verschoben.


Aus den Inhalten des dreistelligen Schieberegisters werden zwei neue Zufallsfolgen  aν  und  mν  gebildet:

  • die  "algebraische Summe"  aν:
aν=xν+xν1+xν2,
  • die  "Modulo-2-Summe"  mν:
mν=xνxν1xν2.








Hinweise:  


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße  mν.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Modulo-2-Summe gleich  0  ist?

Pr(mν=0) = 

2

Bestehen statistische Abhängigkeiten innerhalb der Folge  mν?

Die Folgenelemente  mν  sind statistisch unabhängig.
Es bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge  mν.

3

Ermitteln Sie die Verbund-WDF  fxm(xν,mν).  Bewerten Sie aufgrund des Resultats die folgenden Aussagen (zutreffend oder nicht).

Die Zufallsgrößen  xν  und  mν  sind statistisch abhängig.
Die Zufallsgrößen  xν  und  mν  sind statistisch unabhängig.
Die Zufallsgrößen  xν  und  mν  sind korreliert.
Die Zufallsgrößen  xν  und  mν  sind unkorreliert.

4

Bestehen innerhalb der Folge  aν  statistische Abhängigkeiten?

Die Folgenelemente  aν  sind statistisch unabhängig.
Es bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge  aν.

5

Ermitteln Sie die 2D-WDF fam(aν,mν)  und den Korrelationskoeffizienten  ρam.  Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

Die Zufallsgrößen  aν  und  mν  sind statistisch abhängig.
Die Zufallsgrößen  aν  und  mν  sind statistisch unabhängig.
Die Zufallsgrößen  aν  und  mν  sind korreliert.
Die Zufallsgrößen  aν  und  mν  sind unkorreliert.


Musterlösung

(1)  Aus der Tabelle auf der Angabenseite ist ersichtlich,  dass bei der Modulo-2-Summe die beiden Werte  0  und  1  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten:

Pr(mν=0)=Pr(mν=1)=0.5_.


(2)  Die Tabelle zeigt,  dass bei jeder Vorbelegung   ⇒   (xν1,xν2)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)   die Werte  mν=0  bzw.  mν=1  gleichwahrscheinlich sind.

  • Anders ausgedrückt:   Pr(mν|mν1)=Pr(mν).
  • Dies entspricht genau der Definition der „statistischen Unabhängigkeit”   ⇒   Antwort 1.


2D-WDF von  x  und  m

(3)  Richtig sind  der zweite und der letzte Lösungsvorschlag.

  • Die 2D–WDF besteht aus vier Diracfunktionen,  jeweils mit dem Gewicht  1/4.
  • Man erhält dieses Ergebnis beispielsweise durch Auswertung der Tabelle auf der Angabenseite.
  • Da  fxm(xν,mν)=fx(xν)fm(mν)  ist,  sind die Größen  xν  und  mν  statistisch unabhängig.
  • Statistisch unabhängige Zufallsgrößen sind aber auch linear statistisch unabhängig,  also mit Sicherheit unkorreliert.



(4)  Innerhalb der Folge  aν  der algebraischen Summe gibt es statistische Bindungen   ⇒   Antwort 2.

  • Man erkennt dies daran,  dass die unbedingte Wahrscheinlichkeit  Pr(aν=0)=1/8  ist,
  • während zum Beispiel  Pr(aν=0|aν1=3)=0  gilt.


2D-WDF von  a  und  m

(5)  Richtig sind der erste und der letzte Lösungsvorschlag:

  • Wie bei der Teilaufgabe  (3)  gibt es wieder vier Diracfunktionen,  diesmal aber nicht mit gleichen Impulsgewichten  1/4.
  • Die zweidimensionale WDF lässt sich auch nicht als Produkt der zwei Randwahrscheinlichkeitsdichten schreiben.
  • Das bedeutet aber,  dass statistische Bindungen zwischen  aν  und  mν  bestehen müssen.
  • Für den gemeinsamen Erwartungswert erhält man:
E[am]=1800+3820+3811+1831=34.
  • Mit den linearen Mittelwerten  E[a]=1.5  und  E[m]=0.5  folgt damit für die Kovarianz:
μam=E[am]E[a]E[m]=0.751.50.5=0.
  • Damit ist auch der Korrelationskoeffizient  ρam=0.  Das heißt:   Die vorhandenen Abhängigkeiten müssen demnach nichtlinear sein   ⇒   Die Größen  aν  und  mν  sind zwar statistisch abhängig, trotzdem aber unkorreliert.