Aufgaben:Aufgabe 3.11: Tschebyscheffsche Ungleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID139__Sto_A_3_11.png|right|frame|Beispielhafte Tschebyscheffsch–Schranke]]
:Ist &uuml;ber eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>x</i> nichts weiter bekannt als nur der Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> und die Streuung <i>&sigma;<sub>x</sub></i>, so gibt die  <i>Tschebyscheffsche Ungleichung</i> eine obere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit an, dass <i>x</i> betragsm&auml;&szlig;ig mehr als einen Wert <i>&epsilon;</i> von seinem Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> abweicht:
 
:$$\rm Pr(|\it x-m_x|\ge \varepsilon)\le \it \frac{\sigma_x^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}.$$
 
  
:In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet. Der gr&uuml;ne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bei der Gleichverteilung, die blauen Punkte gelten f&uuml;r die Exponentialverteilung. Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die <i>Tschebyscheffsche Ungleichung</i> nur eine sehr grobe Schranke darstellt. Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn von der Zufallsgr&ouml;&szlig;e wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.
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[[Datei:P_ID921__Sto_A_3_11_b.png|frame|Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion]]
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Ist &uuml;ber eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; nichts weiter bekannt als nur
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*der Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; und
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*die Streuung&nbsp; $\sigma_x$,
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so gibt die&nbsp;  "Tschebyscheffsche Ungleichung"&nbsp; eine obere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit an,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig mehr als einen Wert&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; von seinem Mittelwert&nbsp; $m_x$&nbsp; abweicht.
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Diese Schranke lautet:
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:$${\rm Pr}(|x-m_x|\ge \varepsilon) \le  {\sigma_x^{\rm 2}}/{\varepsilon^{\rm 2}}.$$
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Zur Erläuterung:
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*In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet.  
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*Der gr&uuml;ne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für die Gleichverteilung.
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*Die blauen Punkte gelten f&uuml;r die Exponentialverteilung.  
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Aus dieser Darstellung ist zu erkennen,&nbsp; dass die&nbsp; "Tschebyscheffsche Ungleichung"&nbsp; nur eine sehr grobe Schranke darstellt.&nbsp;
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Sie sollte nur dann verwendet werden,&nbsp; wenn von der Zufallsgr&ouml;&szlig;e wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]].
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*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Tschebyscheffsche_Ungleichung|Tschebyscheffsche Ungleichung]]&nbsp; Bezug genommen.
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*Rechts sind Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; angegeben.
  
:<b>Hinweis</b>: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Tschebyscheffsche Ungleichung im Kapitel 3.7.
 
  
:Nachfolgend finden Sie eine Tabelle mit Werten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion.
 
  
[[Datei:P_ID921__Sto_A_3_11_b.png|center|]]
 
  
  
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit Pr(|<i>x</i> - <i>m<sub>x</sub></i> | &#8805; 3<i>&sigma;<sub>x</sub></i>) = 1/4.
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- Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit&nbsp; ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
+ &bdquo;Tschebyscheff&rdquo; liefert f&uuml;r <i>&epsilon;</i> < <i>&sigma;<sub>x</sub></i> keine Information.
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+ "Tschebyscheff"&nbsp; liefert f&uuml;r&nbsp; $\varepsilon < \sigma_x$&nbsp; keine Information.
+ Pr(|<i>x</i> - <i>m<sub>x</sub></i> | &#8805; <i>&epsilon;</i>) ist für große <i>&epsilon;</i> identisch 0, wenn <i>x</i> begrenzt ist.
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+ ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge \sigma_x)$&nbsp; ist für große&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; identisch Null,&nbsp; wenn&nbsp; $x$&nbsp; begrenzt ist.
  
  
{Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit <i>p<sub>k</sub></i> = Pr(|<i>x</i> &ndash; <i>m<sub>x</sub></i>| &#8805; <i>k &middot; &sigma;<sub>x</sub></i>) für die Gau&szlig;verteilung an (mit <i>k</i> = 1, 2, 3, 4). Wie gro&szlig; ist <i>p</i><sub>3</sub>?
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{Es gelte&nbsp; $k = 1, \ 2, \ 3, \ 4$.&nbsp; Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit&nbsp; $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$&nbsp; für die &nbsp; <u>Gau&szlig;verteilung</u>&nbsp; an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $p_3$?
 
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$Pr(|x - m_x| 3\sigma_x)$ = { 0.0026 3% }
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${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ { 0.26 3% } $\ \%$
  
  
{Wie lauten diese Überschreitungswahrscheinlichkeiten <i>p<sub>k</sub></i> (<i>k</i> = 1, 2, 3, 4) bei der Exponentialverteilung. Hier gilt: <i>m<sub>x</sub></i> = <i>&sigma;<sub>x</sub></i> = 1/<i>&lambda;</i>. Wie gro&szlig; ist <i>p</i><sub>3</sub>?
+
{Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_k$&nbsp; ergeben sich bei der &nbsp; <u>Exponentialverteilung</u>.&nbsp; Hier gilt &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist&nbsp; $p_3$?
 
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$Pr(|x - m_x| 3\sigma_x)$ = { 0.0183 3% }
+
${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $ { 1.83 3% } $\ \%$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke 1/9. Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er sein.  
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
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*Die erste Aussage ist falsch.&nbsp; Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke&nbsp; $1/9$.  
:F&uuml;r <i>&epsilon;</i> < <i>&sigma;<sub>x</sub></i> liefert Tschebyscheff einen Wert gr&ouml;&szlig;er als 1. Da eine Wahrscheinlichkeit nie gr&ouml;&szlig;er als 1 sein kann, ist diese Information nutzlos.
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*Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich&nbsp; $1/4$&nbsp; sein.  
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*Für&nbsp; $\varepsilon < \sigma_x$&nbsp; liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$.&nbsp; Diese Information ist  nutzlos.
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*Die letzte Aussage ist zutreffend.&nbsp; Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
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:$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$
  
:Auch die letzte Aussage ist zutreffend. Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
 
:$$\rm Pr(|\it x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$
 
  
:Richtig sind demnach <u>die Lösungsvorschläge 2 und 3</u>
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'''(2)'''&nbsp; Bei der Gau&szlig;verteilung gilt:
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:$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Bei der Gau&szlig;verteilung gilt:
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*Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte&nbsp; $($in Klammern: &nbsp; Schranke nach Tschebyscheff$)$:
:$$p_k=\rm Pr(|\it x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$
+
:$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$
 +
:$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$
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:$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$
 +
:$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$
  
:Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern: Schranke nach Tschebyscheff):
 
:$$k=\rm 1: \rm Pr(|\it x-m_x| \ge \sigma_{x}) = \rm 0.317 \hspace{0.3cm}(1.000),$$
 
:$$k=\rm 2: \rm Pr(|\it x-\it m_x| \ge \rm 2\it \cdot\sigma_{x}) = \rm 0.454\cdot 10^{-1}  \hspace{0.3cm}(0.250),$$
 
:$$k=\rm 3: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 3\cdot\it \sigma_{x})
 
\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 0.26\cdot 10^{-2}}  \hspace{0.45cm}\rm (0.111),$$
 
:$$k=\rm 4: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 4\cdot\it \sigma_{x}) = \rm 0.64\cdot 10^{-4}  \hspace{0.3cm}(0.0625).$$
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Ohne Einschr&auml;nkung der Allgemeing&uuml;ltigkeit setzen wir <i>&lambda;</i> = 1  
+
'''(3)'''&nbsp; Ohne Einschr&auml;nkung der Allgemeing&uuml;ltigkeit setzen wir&nbsp; $\lambda = 1$
:&nbsp;&#8658;&nbsp; <i>m<sub>x</sub></i> = <i>&sigma;<sub>x</sub></i> = 1. Dann gilt:
+
&nbsp; &#8658; &nbsp; $m_x = \sigma_x = 1$.&nbsp; Dann gilt:
:$$\rm Pr(|\it x - \it m_x| \ge \it k\cdot\sigma_{x}) = \rm Pr(|\it x-\rm 1| \ge \it k).$$
+
:$${\rm Pr}(|x - m_x| \ge k\cdot\sigma_{x}) = {\rm Pr}(| x-1| \ge k).$$
  
:Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße <i>x</i> stets größer als 0 ist, gilt weiter:
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*Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße stets&nbsp; $x >0$&nbsp; ist, gilt weiter:
:$$\it p_k= \rm Pr(\it x \ge k+\rm 1)=\int_{\it k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm}
+
:$$p_k= {\rm Pr}( x \ge k+1)=\int_{k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm}
\rm e^{-\it x}\, {\rm d}\it x=\rm \rm e^{-(\it k + \rm 1)}.$$
+
{\rm e}^{-x}\, {\rm d} x={\rm e}^{-( k + 1)}.$$
  
:Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte für die Exponentialverteilung:
+
*Daraus ergeben sich für die Exponentialverteilung folgende Zahlenwerte:
:$$k=\rm 1: \rm Pr(|\it x-m_x| \ge \sigma_{x}) = \rm \rm e^{-2}= \rm 0.1353,$$
+
:$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$
:$$k=\rm 2: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 2\it \cdot\sigma_{x}) = \rm \rm e^{-3}=\rm 0.0497 ,$$
+
:$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$
:$$k=\rm 3: \rm Pr(|\it x-\it m_x| \ge \rm 3\cdot\it \sigma_{x}) = \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 0.0183 },$$
+
:$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$
:$$k=\rm 4: \rm Pr(|\it x- \it m_x| \ge \rm 4\cdot\it \sigma_{x}) = \rm \rm e^{-5}= \rm 0.0067.$$
+
:$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$
 
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Aktuelle Version vom 3. Februar 2022, 13:00 Uhr

Beispielhafte Tschebyscheffsch–Schranke
Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

Ist über eine Zufallsgröße  $x$  nichts weiter bekannt als nur

  • der Mittelwert  $m_x$  und
  • die Streuung  $\sigma_x$,


so gibt die  "Tschebyscheffsche Ungleichung"  eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an,  dass  $x$  betragsmäßig mehr als einen Wert  $\varepsilon$  von seinem Mittelwert  $m_x$  abweicht.

Diese Schranke lautet:

$${\rm Pr}(|x-m_x|\ge \varepsilon) \le {\sigma_x^{\rm 2}}/{\varepsilon^{\rm 2}}.$$

Zur Erläuterung:

  • In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet.
  • Der grüne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für die Gleichverteilung.
  • Die blauen Punkte gelten für die Exponentialverteilung.


Aus dieser Darstellung ist zu erkennen,  dass die  "Tschebyscheffsche Ungleichung"  nur eine sehr grobe Schranke darstellt. 

Sie sollte nur dann verwendet werden,  wenn von der Zufallsgröße wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit  ${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
"Tschebyscheff"  liefert für  $\varepsilon < \sigma_x$  keine Information.
${\rm Pr}(|x -m_x | \ge \sigma_x)$  ist für große  $\varepsilon$  identisch Null,  wenn  $x$  begrenzt ist.

2

Es gelte  $k = 1, \ 2, \ 3, \ 4$.  Geben Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeit  $p_k = {\rm Pr}(|x -m_x | \ge k \cdot \sigma_x)$  für die   Gaußverteilung  an.  Wie groß ist  $p_3$?

${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $

$\ \%$

3

Welche Überschreitungswahrscheinlichkeiten  $p_k$  ergeben sich bei der   Exponentialverteilung.  Hier gilt   $m_x = \sigma_x = 1/\lambda$.  Wie groß ist  $p_3$?

${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Richtig sind  die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Die erste Aussage ist falsch.  Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke  $1/9$.
  • Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich  $1/4$  sein.
  • Für  $\varepsilon < \sigma_x$  liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit größer als  $1$.  Diese Information ist nutzlos.
  • Die letzte Aussage ist zutreffend.  Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:
$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$


(2)  Bei der Gaußverteilung gilt:

$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$
  • Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte  $($in Klammern:   Schranke nach Tschebyscheff$)$:
$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$
$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$
$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$
$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$


(3)  Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit setzen wir  $\lambda = 1$   ⇒   $m_x = \sigma_x = 1$.  Dann gilt:

$${\rm Pr}(|x - m_x| \ge k\cdot\sigma_{x}) = {\rm Pr}(| x-1| \ge k).$$
  • Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße stets  $x >0$  ist, gilt weiter:
$$p_k= {\rm Pr}( x \ge k+1)=\int_{k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\rm e}^{-x}\, {\rm d} x={\rm e}^{-( k + 1)}.$$
  • Daraus ergeben sich für die Exponentialverteilung folgende Zahlenwerte:
$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$
$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$
$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$
$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$