Aufgaben:Aufgabe 2.7: C-Programme z1 und z2: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
Zeile 54: Zeile 54:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Nach dem ersten Schleifendurchlauf  $(m = 0)$  ist die Variable  $\text{summe = 0.2}$, beim nächsten  $(m = 1)$  gilt  $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.  
+
'''(1)'''  Nach dem ersten Schleifendurchlauf  $(m = 0)$  ist die Variable  $\text{summe = 0.2}$,  beim nächsten  $(m = 1)$  gilt   $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.  
*In beiden F&auml;llen ist somit die Variable&nbsp; $\text{summe} < x = 0.75$.&nbsp;  
+
*In beiden F&auml;llen ist somit die Variable &nbsp; $\text{summe}$&nbsp; kleiner als&nbsp;  $x = 0.75$.&nbsp;  
 
*Erst bei&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die R&uuml;cksprungbedingung erf&uuml;llt: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Somit ist&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
 
*Erst bei&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die R&uuml;cksprungbedingung erf&uuml;llt: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Somit ist&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*W&uuml;rde man auf die Hilfsvariable&nbsp; $x$&nbsp; verzichten und in Zeile 8 dafür&nbsp; $\text{summe > random()}$&nbsp; schreiben, so w&uuml;rde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und&nbsp; $z1$&nbsp; h&auml;tte dann nicht die gew&uuml;nschten Eigenschaften.
+
*W&uuml;rde man auf die Hilfsvariable&nbsp; $x$&nbsp; verzichten und in Zeile 8 dafür &nbsp; $\text{summe > random()}$ &nbsp; schreiben,&nbsp; so w&uuml;rde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und&nbsp; $z1$&nbsp; h&auml;tte dann nicht die gew&uuml;nschten Eigenschaften.
 
*$z1$&nbsp; arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.&nbsp; Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung f&uuml;r den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $(1/M)$.
 
*$z1$&nbsp; arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.&nbsp; Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung f&uuml;r den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $(1/M)$.
 
*Im ersten Durchlauf&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; ist in diesem Fall die R&uuml;cksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich&ndash;Abfrage nicht erf&uuml;llt;&nbsp; der Ausgabewert ist tatsächlich&nbsp; $z1 = 1$.
 
*Im ersten Durchlauf&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; ist in diesem Fall die R&uuml;cksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich&ndash;Abfrage nicht erf&uuml;llt;&nbsp; der Ausgabewert ist tatsächlich&nbsp; $z1 = 1$.
Zeile 67: Zeile 67:
  
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
+
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
*Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e, und zwar mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.  
+
*Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e,&nbsp; und zwar mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.  
 
*F&uuml;r die Berechnung der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; ben&ouml;tigt man hier die mathematische Bibliothek.  
 
*F&uuml;r die Berechnung der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; ben&ouml;tigt man hier die mathematische Bibliothek.  
 
*Das Potenzieren k&ouml;nnte aber auch durch&nbsp; $I$&ndash;fache Multiplikation realisiert werden.  
 
*Das Potenzieren k&ouml;nnte aber auch durch&nbsp; $I$&ndash;fache Multiplikation realisiert werden.  

Aktuelle Version vom 29. Dezember 2021, 14:49 Uhr

C-Programme zur Erzeugung
diskreter Zufallsgrößen

Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgrößen:

  • Die Funktion  $z1$  erzeugt eine  $M$–stufige Zufallsgröße mit dem Wertevorrat  $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.  Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array  $\text{p_array}$  mit der Eigenschaft „Float” übergeben.  Die Funktion  $\text{random()}$  liefert gleichverteilte Float–Zufallsgrößen zwischen  $0$  und  $1$.
  • Eine zweite Funktion  $z2$  (Quelltext siehe unten)  liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter  $I$  und  $p$  festgelegt ist.  Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion  $z1$.



Hinweise:



Fragebogen

1

Es gelte  $M=4$  und  $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
Welches Ergebnis liefert die Funktion  $z1$,  wenn die Randomfunktion den  Wert $x = 0.75$  zurückgibt?

$z1 \ = \ $

2

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $z1$  zutreffend?

Man könnte auf die Zuweisung  $\text{x = random()}$  in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit  $\text{random()}$  vergleichen.
Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich,  so gäbe es schnellere Programmrealisierungen als  $z1$.
Der Rückgabewert  $\text{random() = 0.2}$  führt zum Ergebnis  $z1= 1$.

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $z2$  zutreffend?

Das Programm erzeugt eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Das Programm erzeugt eine poissonverteilte Zufallsgröße.
Mit  $I = 4$  sind für  $z2$  die Werte  $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$  möglich.
Das Einbinden der mathematischen Bibliothek „math.h” ist erforderlich, da in  $z2$  die Funktion  pow   (Potenzieren)  verwendet wird.

4

Welcher Wert steht in  $\text{p_array[2]}$  beim Aufruf mit  $I = 4$  und  $p = 0.25$?

$\text{p_array[2]} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Nach dem ersten Schleifendurchlauf  $(m = 0)$  ist die Variable  $\text{summe = 0.2}$,  beim nächsten  $(m = 1)$  gilt   $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.

  • In beiden Fällen ist somit die Variable   $\text{summe}$  kleiner als  $x = 0.75$. 
  • Erst bei  $m = 2$  ist die Rücksprungbedingung erfüllt:   $0.9 > x$.  Somit ist  $\underline{z1 = 2}$.


(2)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Würde man auf die Hilfsvariable  $x$  verzichten und in Zeile 8 dafür   $\text{summe > random()}$   schreiben,  so würde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und  $z1$  hätte dann nicht die gewünschten Eigenschaften.
  • $z1$  arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.  Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung für den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten  $(1/M)$.
  • Im ersten Durchlauf  $(m = 0)$  ist in diesem Fall die Rücksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich–Abfrage nicht erfüllt;  der Ausgabewert ist tatsächlich  $z1 = 1$.


(3)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgröße,  und zwar mit dem Wertevorrat  $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
  • Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$  benötigt man hier die mathematische Bibliothek.
  • Das Potenzieren könnte aber auch durch  $I$–fache Multiplikation realisiert werden.


(4)  Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement  $\text{p_array[0]}$  vor der Programmschleife  $(i = 0)$  den Wert  $(1 -p)^{I}$. 

  • Im ersten Schleifendurchlauf  $(i = 1)$  wird folgender Wert eingetragen:
$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
  • Im zweiten Schleifendurchlauf  $(i = 2)$  wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „$z2=2$” berechnet:
$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
  • Für  $I= 4$  und  $p = 0.25$  erhält man folgenden Zahlenwert   ⇒   „$4$  über  $2$”   $=6$:
$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16} \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$