Aufgaben:Aufgabe 4.6: k-Parameter und Alpha-Parameter: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$\alpha_2 = \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 | :$$\alpha_2 = \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 | ||
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*Unabhängig von der Bandbreite erhält man für $k_3 = 1$: | *Unabhängig von der Bandbreite erhält man für $k_3 = 1$: | ||
:$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 | :$$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 |
Aktuelle Version vom 23. November 2021, 17:22 Uhr
Für symmetrische Kupfer–Doppeladern findet man in [PW95] die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich $0 \le f \le 30 \ \rm MHz$:
- $$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz} .$$
Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben:
- $$\alpha_{\rm II}(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer–Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ anstelle der Beschreibung durch $k_1$, $k_2$ und $k_3$ zu wählen.
Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:
- Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient $\alpha_0 = k_1$ ist.
- Zur Bestimmung von $\alpha_1$ und $\alpha_2$ wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite $B$ minimal sein soll:
- $${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big] = \int_{0}^{ B} \left [ \alpha_{\rm II} (f) - \alpha_{\rm I} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$
- Die Differenz $\varepsilon^2(f)$ und der mittlere quadratische Fehler ${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$ ergeben sich dabei wie folgt:
- $$\varepsilon^2(f) = \big [ \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\big ]^2 =\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^{1.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f + k_2^2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{2k_3}}{f_0^{2k_3}} - 2 k_2 \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+1}} {f_0^{k_3}}-{2 k_2 \alpha_2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+0.5}}{f_0^{k_3}}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big] = \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\frac{B^3}{3} + \frac{4}{5} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}B^{2.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^2}{2} + \frac{k_2^2}{2k_3 +1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^{2k_3+1}}{f_0^{2k_3}} - \hspace{0.15cm} \frac{2 k_2 \alpha_1}{k_3 + 2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} $$
- Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter $\alpha_1$, $\alpha_2$, $k_2$ und $k_3$ sowie die Bandbreite $B$, innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.
- Durch Nullsetzen der Ableitungen von ${\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]$ nach $\alpha_1$ bzw. $\alpha_2$ erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten $\alpha_1$ und $\alpha_2$, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:
- $$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = 0 \hspace{0.05cm} ,$$
- $$\frac{{\rm d}\,{\rm E}\big[\varepsilon^2(f)\big]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0 \hspace{0.05cm} . $$
- Aus der Gleichung $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$ lässt sich daraus der Koeffizient $\alpha_2$ berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient $\alpha_1$.
Die Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit $\text{0.5 mm}$ Durchmesser, deren $k$–Parameter lauten:
- $$k_1 = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 = 10.8\, {\rm dB}/{\rm km}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}.$$
- Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion $\alpha(f)$. Für $f = 30 \ \rm MHz$ ergibt sich das Dämpfungsmaß $\alpha(f)= 87.5 \ \rm dB/km$.
- Die blaue Kurve (nahezu verdeckt) gibt die Approximation mit den $\alpha$–Koeffizienten an. Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Kupfer–Doppeladern.
- Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive SWF–Applet Dämpfung von Kupferkabeln benutzen.
- [PW95] kennzeichnet folgenden Literaturhinweis: Pollakowski, P.; Wellhausen, H.-W.: Eigenschaften symmetrischer Ortsanschlusskabel im Frequenzbereich bis 30 MHz. Deutsche Telekom AG, Forschungs- und Technologiezentrum Darmstadt, 1995.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Ableitung des angegebenen Erwartungswertes nach $\alpha_1$ ergibt:
- $$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = \frac{2}{3}\cdot B^3 \cdot \alpha_1 + \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_2 - \frac{2 k_2 }{k_3 + 2} \cdot \frac{B^{k_3+2}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.05cm} .$$
- Durch Nullsetzen und Division durch $2B^2/3$ erhält man daraus:
- $$\alpha_1 + \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2 - \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} C_1 = \frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.5cm} C_2 = - \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} \hspace{0.05cm} .$$
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 5:
- Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (1) erhält man:
- $$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = \frac{4}{5}\cdot B^{2.5} \cdot \alpha_1 + B^{2} \cdot \alpha_2 - \frac{2 k_2 }{k_3 + 1.5} \cdot \frac{B^{k_3+1.5}}{f_0^{k_3}}= 0$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_1 + \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \cdot \alpha_2 - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}= 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}D_1 = \frac{5}{4}\cdot B^{-0.5} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}D_2 = - \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} \hspace{0.05cm} .$$
(3) Beide Lösungsvorschläge sind richtig.
- Aus $C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = D_1 \cdot \alpha_2 + D_2$ ergibt sich eine lineare Gleichung für $\alpha_2$. Mit dem Ergebnis aus (2) kann hierfür geschrieben werden:
- $$\alpha_2 = \frac{D_2 - C_2}{C_1 - D_1} = \frac{- \frac{2.5 \cdot k_2 }{k_3 +1.5} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}} + \frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}}{{6}/{5}\cdot B^{-0.5} - {5}/{4}\cdot B^{-0.5}} = \frac{- {2.5 \cdot k_2 }\cdot(k_3 +2) + {3 k_2 }\cdot (k_3 +1.5) }{({6}/{5} - {5}/{4})(k_3 +1.5)(k_3 +2)} \cdot \frac{B^{k_3-0.5}}{f_0^{k_3}}$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_2 = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} \hspace{0.05cm} .$$
- Für den Parameter $\alpha_1$ gilt dann:
- $$\alpha_1 = - C_1 \cdot \alpha_2 - C_2 = -\frac{6}{5}\cdot B^{-0.5} \cdot 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} +\frac{3 k_2 }{k_3 +2} \cdot \frac{B^{k_3-1}}{f_0^{k_3}}$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{-12 \cdot (1-k_3) + 3 \cdot (k_3 + 1.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)} \cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\alpha_1 =15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0}\hspace{0.05cm} .$$
- Unabhängig von der Bandbreite erhält man für $k_3 = 1$:
- $$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = \frac{15 \cdot 0.5}{2.5 \cdot 3}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{ = {k_2}/{f_0}}\hspace{0.05cm} ,$$
- $$ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}\hspace{0.15cm}\underline{= 0} \hspace{0.05cm} .$$
- Dagegen ergibt sich für $k_3 = 0.5$:
- $$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 0}\hspace{0.05cm} ,$$
- $$ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}= \frac{10 \cdot 0.5}{2 \cdot 2.5}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = \hspace{0.15cm}\underline{ {k_2}/{\sqrt{f_0}}} \hspace{0.05cm} .$$
(4) Für die beiden Koeffizienten gilt mit $k_2 = 10.8 \ \rm dB/km$, $k_3 = 0.6 \ \rm dB/km$ und $B/f_0 = 30$:
- $$\alpha_1 = (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{15 \cdot (k_3 -0.5)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{f_0} = 30^{-0.4}\cdot \frac{15 \cdot 0.1}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.761\, {{\rm dB} }/{({\rm km \cdot MHz})}} \hspace{0.05cm} ,$$
- $$ \alpha_2 = (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{10 \cdot (1-k_3)}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot \frac {k_2}{\sqrt{f_0}}= \frac {k_2}{\sqrt{f_0}} = 30^{0.1}\cdot \frac{10 \cdot 0.4}{2.1 \cdot 2.6}\cdot \frac {10.8 \, {\rm dB/km} }{1 \, {\rm MHz^{0.5}}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 11.1\, {{\rm dB} }/{({\rm km \cdot \sqrt{MHz}}})}\hspace{0.05cm} .$$
(5) Entsprechend der angegebenen Gleichung $\alpha_{\rm II}(f)$ gilt damit auch:
- $$\alpha_{\rm II}(f = 30 \, {\rm MHz}) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} = \big [ \hspace{0.05cm} 4.4 + 0.761 \cdot 30 + 11.1 \cdot \sqrt {30}\hspace{0.05cm} \big ]\frac {\rm dB}{\rm km } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 88.1\, {\rm dB}/{\rm km }} \hspace{0.05cm}.$$