Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
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Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen  $x_k(t)$.  Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
 
:$$A_k  = k \cdot A$$
 
:$$A_k  = k \cdot A$$
 
und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)
 
und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)
 
:$$T_k = T/k.$$
 
:$$T_k = T/k.$$
Hierbei sei k ein beliebiger positiver Wert. Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = \text{A} = 2 \text{V}$ und die Dauer $T_1 = \text{T} = 500 \text{$\mu$s}$. Der blau gezeichnete Impuls x2(t) ist halb so breit ($T_2 = 250 \text{$\mu$s}$), aber doppelt so hoch ($A_2 = 4 \text{V}$).
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Hierbei sei  $k$  ein beliebiger positiver Wert.  
  
<b><u>Hinweis:</u></b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale Kapitel 3.2]. Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier Interaktionsmodule überprüfen:
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*Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; hat die Amplitude&nbsp; $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$&nbsp; und die Dauer&nbsp; $T_1 = {T} = 500 \,&micro;\text{s}$.
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*Der blau gezeichnete Impuls&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; ist halb so breit &nbsp; &rArr; &nbsp; $T_2 =250 \,&micro;\text{s}$, aber doppelt so hoch &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_2 = 4 \text{ V}$.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale|Einige Sonderfälle impulsartiger Signale]].
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*Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier interaktiver Applets überprüfen.&nbsp;
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::[[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]],&nbsp; 
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::[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]].&nbsp;
  
:* Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
 
  
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums $X_1(f)$ zu?
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+ Der Spektralwert $X_1(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \text{V/Hz}$.
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+ $X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2 \text{kHz}$.
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums $X_2(f)$ zu?
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; zu?
 
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+ Der Spektralwert $X_2(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \text{V/Hz}$.
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+ Der Spektralwert&nbsp; $X_2(f = 0)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
- $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2 \text{kHz}$.
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- $X_2(f)$&nbsp; besitzt Nullstellen im Abstand von&nbsp; $2\, \text{kHz}$.
+ $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \text{kHz}$.
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+ $X_2(f)$&nbsp; besitzt Nullstellen im Abstand von&nbsp; $4 \,\text{kHz}$.
  
  
{Es gelte $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz $f_10$ der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei $f = 2 \text{kHz}$.
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{Es gelte&nbsp; $k = 10$.&nbsp; Berechnen Sie die Frequenz&nbsp; $f_{10}$&nbsp; der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$.
 
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$f_{10}$ = { 20 3% } $\text{kHz}$
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$f_{10} \ = \ ${ 20 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
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{Wie groß wird der Spektralwert bei $f = 2 \text{kHz}$ im Grenzfall $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
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{Wie groß wird der Spektralwert&nbsp; bei $f = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; im Grenzfall&nbsp; $k \rightarrow \infty$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 
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$X_{\infty}(f = 2 \text{kHz}$ = { 1 3% } $\cdot 10^{-3}\ \text{V/Hz}$
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$X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $ { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
  
  
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''  Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist nach dem ersten Fourierintegral stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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*Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist nach dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]]&nbsp; stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
 
:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm}  {\rm d}t.$$
 
:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm}  {\rm d}t.$$
Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \text{Vs} = 10^{–3} \text{V/Hz}$. Wegen $T_1 = 500 \text{$\mu$s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \text{kHz}$ auf.
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*Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets&nbsp; $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.  
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*Wegen&nbsp; $T_1 = 500 \,&micro;\text{s}$&nbsp; weist das Spektrum&nbsp; $X_1(f)$&nbsp; Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; auf.
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'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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*Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; nicht verändert.
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*Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand&nbsp; $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$&nbsp; auf.  
  
Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
 
  
'''2.'''  Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ nicht verändert. Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand $f_2 = 1/T_2 = 4 \text{kHz}$ auf. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 
  
'''3.'''  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
+
'''(3)'''&nbsp; Nullstellen gibt es bei Vielfachen von&nbsp; $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
 
:$$X_{10} ( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
 
:$$X_{10} ( f ) = X_0  \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
Bei der Frequenz $f = 2 \text{kHz}$ ist das Argument der si-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $18°$):
+
*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$ ist&nbsp; das Argument der&nbsp; $\rm si$-Funktion gleich&nbsp; $\pi/10$&nbsp; $($oder&nbsp; $18^{\circ})$:
:$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}}{\rm{.}}$$
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:$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
  
'''4.'''  Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale Rechteckimpuls in den Diracimpuls über. Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \text{kHz}$ der Spektralwert $10^{–3} \text{V/Hz}$.
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'''(4)'''&nbsp; Im Grenzfall&nbsp; $k \rightarrow \infty$&nbsp; geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]]&nbsp; in den&nbsp; [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]]&nbsp; über.  
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*Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant.  
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*Damit gilt auch bei der Frequenz&nbsp; $f = 2 \,\text{kHz}$&nbsp; der Spektralwert&nbsp; $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\hspace{0.15 cm}\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
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Aktuelle Version vom 23. April 2021, 11:37 Uhr

Verschiedene Rechteckimpulse

Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen  $x_k(t)$.  Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)

$$A_k = k \cdot A$$

und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)

$$T_k = T/k.$$

Hierbei sei  $k$  ein beliebiger positiver Wert.

  • Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls  $x_1(t)$  hat die Amplitude  $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$  und die Dauer  $T_1 = {T} = 500 \,µ\text{s}$.
  • Der blau gezeichnete Impuls  $x_2(t)$  ist halb so breit   ⇒   $T_2 =250 \,µ\text{s}$, aber doppelt so hoch   ⇒   $A_2 = 4 \text{ V}$.





Hinweise:

  • Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier interaktiver Applets überprüfen. 
Impulse und Spektren
Frequenzgang und Impulsantwort



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums  $X_1(f)$  zu?

Der Spektralwert  $X_1(f = 0)$  ist gleich  $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
$X_1(f)$  besitzt Nullstellen im Abstand von  $2 \,\text{kHz}$.
$X_1(f)$  besitzt Nullstellen im Abstand von  $4 \,\text{kHz}$.

2

Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich des Spektrums  $X_2(f)$  zu?

Der Spektralwert  $X_2(f = 0)$  ist gleich  $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
$X_2(f)$  besitzt Nullstellen im Abstand von  $2\, \text{kHz}$.
$X_2(f)$  besitzt Nullstellen im Abstand von  $4 \,\text{kHz}$.

3

Es gelte  $k = 10$.  Berechnen Sie die Frequenz  $f_{10}$  der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei  $f = 2 \,\text{kHz}$.

$f_{10} \ = \ $

 $\text{kHz}$
$X_{10}(f = 2 \text{kHz})\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$

4

Wie groß wird der Spektralwert  bei $f = 2 \,\text{kHz}$  im Grenzfall  $k \rightarrow \infty$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.

$X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $

 $\text{mV/Hz}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  ist nach dem  ersten Fourierintegral  stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$
  • Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets  $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
  • Wegen  $T_1 = 500 \,µ\text{s}$  weist das Spektrum  $X_1(f)$  Nulldurchgänge im Abstand  $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$  auf.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz  $f = 0$  nicht verändert.
  • Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand  $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$  auf.


(3)  Nullstellen gibt es bei Vielfachen von  $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:

$$X_{10} ( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
  • Bei der Frequenz  $f = 2 \,\text{kHz}$ ist  das Argument der  $\rm si$-Funktion gleich  $\pi/10$  $($oder  $18^{\circ})$:
$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

  (4)  Im Grenzfall  $k \rightarrow \infty$  geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale  Rechteckimpuls  in den  Diracimpuls  über.

  • Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant.
  • Damit gilt auch bei der Frequenz  $f = 2 \,\text{kHz}$  der Spektralwert  $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\hspace{0.15 cm}\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.