Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Rechteck- und Diracimpuls: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen) | + | Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen) |
:$$A_k = k \cdot A$$ | :$$A_k = k \cdot A$$ | ||
und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten) | und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten) | ||
:$$T_k = T/k.$$ | :$$T_k = T/k.$$ | ||
− | Hierbei sei k ein beliebiger positiver Wert | + | Hierbei sei $k$ ein beliebiger positiver Wert. |
− | + | *Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$ und die Dauer $T_1 = {T} = 500 \,µ\text{s}$. | |
+ | *Der blau gezeichnete Impuls $x_2(t)$ ist halb so breit ⇒ $T_2 =250 \,µ\text{s}$, aber doppelt so hoch ⇒ $A_2 = 4 \text{ V}$. | ||
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− | + $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \text{kHz}$. | + | + $X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \,\text{kHz}$. |
− | {Es gelte $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz $ | + | {Es gelte $k = 10$. Berechnen Sie die Frequenz $f_{10}$ der ersten Nullstelle und den Spektralwert bei $f = 2 \,\text{kHz}$. |
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− | $X_{10}(f = 2 \text{kHz})$ | + | $X_{10}(f = 2 \text{kHz})\ = \ $ { 0.984 3% } $\text{mV/Hz}$ |
− | {Wie groß wird der Spektralwert bei $f = 2 \text{kHz}$ im Grenzfall $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis. | + | {Wie groß wird der Spektralwert bei $f = 2 \,\text{kHz}$ im Grenzfall $k \rightarrow \infty$? Interpretieren Sie das Ergebnis. |
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− | $X_{\infty}(f = 2 \text{kHz}$ | + | $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $ { 1 3% } $\text{mV/Hz}$ |
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+ | *Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist nach dem [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|ersten Fourierintegral]] stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion: | ||
:$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$ | :$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$ | ||
− | Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \text{Vs} = | + | *Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$. |
+ | *Wegen $T_1 = 500 \,µ\text{s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$ auf. | ||
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+ | *Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ nicht verändert. | ||
+ | *Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$ auf. | ||
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− | Bei der Frequenz $f = 2 \text{kHz}$ ist das Argument der si-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $ | + | *Bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ ist das Argument der $\rm si$-Funktion gleich $\pi/10$ $($oder $18^{\circ})$: |
− | :$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 | + | :$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$ |
− | '''4 | + | |
+ | '''(4)''' Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Rechteckimpuls|Rechteckimpuls]] in den [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]] über. | ||
+ | *Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. | ||
+ | *Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ der Spektralwert $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\hspace{0.15 cm}\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$. | ||
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Aktuelle Version vom 23. April 2021, 11:37 Uhr
Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)
- $$A_k = k \cdot A$$
und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)
- $$T_k = T/k.$$
Hierbei sei $k$ ein beliebiger positiver Wert.
- Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$ und die Dauer $T_1 = {T} = 500 \,µ\text{s}$.
- Der blau gezeichnete Impuls $x_2(t)$ ist halb so breit ⇒ $T_2 =250 \,µ\text{s}$, aber doppelt so hoch ⇒ $A_2 = 4 \text{ V}$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Sonderfälle impulsartiger Signale.
- Sie können Ihre Ergebnisse anhand zweier interaktiver Applets überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist nach dem ersten Fourierintegral stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:
- $$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$
- Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
- Wegen $T_1 = 500 \,µ\text{s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$ auf.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ nicht verändert.
- Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$ auf.
(3) Nullstellen gibt es bei Vielfachen von $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:
- $$X_{10} ( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$
- Bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ ist das Argument der $\rm si$-Funktion gleich $\pi/10$ $($oder $18^{\circ})$:
- $$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
(4) Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale Rechteckimpuls in den Diracimpuls über.
- Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant.
- Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ der Spektralwert $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\hspace{0.15 cm}\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.