Aufgaben:Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Aufgabe zu [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]]==
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Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
 
Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
*Das Signal <math>x_1(t)</math> wird genau zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
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*Das blaue Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; wird zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; eingeschaltet und besitzt für&nbsp; $t > 0$&nbsp; den Wert&nbsp; $1\,\text{V}$.
*Das rote Signal <math>x_2(t)</math> ist für $t < 0$ identisch $0$, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ an und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:
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*Das rote Signal&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; ist für&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null, springt bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; und fällt danach mit der Zeitkonstanten&nbsp; $1\,\text{ms}$&nbsp; ab. Für&nbsp; $t > 0$&nbsp; gilt:
  
:<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>
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::<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>
  
*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:
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*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten&nbsp; $t$:
  
:<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}.</math>
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::<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.</math>
  
 
Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
 
Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
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''Hinweis:'' Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
  
  
===Fragebogen zu &bdquo;Aufgabe 1.2: &nbsp; Signalklassifizierung&rdquo;===
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]].
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===Fragebogen===
  
 
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{Welche Signale sind gemäß der Definition im Theorieteil kausal?
 
{Welche Signale sind gemäß der Definition im Theorieteil kausal?
 
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+ <math>x_1(t)</math>
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- <math>x_3(t)</math>.
  
{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand R = 1 Ω bezogene Energie <math>E_2</math> des Signals <math>x_2(t)</math>. Wie groß ist die Leistung <math>P_2</math> dieses Signals?
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{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand&nbsp; $R = 1Ω$&nbsp; bezogene Energie&nbsp; <math>E_2</math>&nbsp; des Signals&nbsp; <math>x_2(t)</math>. <br>Wie groß ist die Leistung&nbsp; <math>P_2</math>&nbsp; dieses Signals?
 
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<math>E_2 = </math>{ 5_5 } · 10 ^ ({ -4_5 }) V&sup2;s
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{Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?
 
{Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?
 
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+ <math>x_3(t)</math>.
  
 
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===Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"===
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===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch. Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
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'''(1)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
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*Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden;&nbsp; sie sind deshalb auch deterministisch.  
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*Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten.&nbsp; Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
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*Die Signalamplituden von&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; und&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; können alle beliebigen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; annehmen;&nbsp; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
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*Dagegen sind beim Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; nur die zwei Signalwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; möglich;&nbsp; es liegt ein wertdiskretes Signal vor.  
  
Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
 
  
Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor. Zutreffend sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 
  
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'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
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*Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp; nicht existiert bzw. identisch Null ist.&nbsp; Dies gilt für die Signale&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; und&nbsp; <math>x_2(t)</math>.
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*Dagegen gehört&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; zur Klasse der akausalen Signale.
  
'''2.''' Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die <u>beiden ersten Signale</u> <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale.
 
  
  
'''3.'''  Nach der allgemeinen Definition gilt:
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'''(3)'''&nbsp; Nach der allgemeinen Definition gilt:
  
<math>E_2 = \lim_{T_M \to \infty}\int_{-{T_M}/{2}}^{{T_M}/{2}} x_2^{2}(t)dt</math>
+
::<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math>
  
Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze 0 und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält:
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Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze&nbsp; $+\infty$.&nbsp; Man erhält:
 
   
 
   
<math>E_2 = \int_{0}^{\infty}(1V)^{2} \cdot e^{-\frac{2t}{1ms}} dt = 5 \cdot 10^{-4} V^{2}s </math>
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::<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}.  </math>  
 
 
Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt P2 = 0.
 
 
 
 
 
'''4.'''  Wie bereits unter Punkt 3. berechnet wurde, besitzt <math>x_2(t)</math> eine endliche Energie:
 
 
 
<math>E_2 = 5 \cdot 10^{-4} V^2s</math>.
 
 
 
Die Energie des Signals <math>x_3(t)</math> ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich t < 0 den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich t > 0.  
 
Also ist
 
 
 
<math>E_3 = 10^{-3} V^2s</math>
 
  
⇒  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3.
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Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
  
Beim Signal <math>x_1(t)</math> divergiert das Energieintegral:
 
  
<math>E_1 \rightarrow \infty</math>.
 
  
Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf
+
'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
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*Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; eine endliche Energie:&nbsp;
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:$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.  $$
  
<math>P_1 = 0.5 V^2</math>
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*Die Energie des Signals&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich&nbsp; $t < 0$&nbsp; den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich&nbsp; $t > 0$.&nbsp; Also ist
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:$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$
  
und ist dementsprechend leistungsbegrenzt. Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.
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*Beim Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; divergiert das Energieintegral:&nbsp; $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
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*Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; in der Hälfte der Zeit&nbsp; $(t < 0)$&nbsp; identisch Null ist.
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* Das Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; ist dementsprechend&nbsp;  <u>leistungsbegrenzt</u>.  
  
 
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Aktuelle Version vom 9. April 2021, 12:43 Uhr

Vorgegebene Signalverläufe

Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:

  • Das blaue Signal  \(x_1(t)\)  wird zum Zeitpunkt  $t = 0$  eingeschaltet und besitzt für  $t > 0$  den Wert  $1\,\text{V}$.
  • Das rote Signal  \(x_2(t)\)  ist für  $t < 0$  identisch Null, springt bei  $t = 0$  auf  $1\,\text{V}$  und fällt danach mit der Zeitkonstanten  $1\,\text{ms}$  ab. Für  $t > 0$  gilt:
\[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]
  • Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten  $t$:
\[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.\]

Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:

  • deterministisch bzw. stochastisch,
  • kausal bzw. akausal,
  • energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
  • wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
  • zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.



Hinweis:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

2

Welche Signale sind gemäß der Definition im Theorieteil kausal?

\(x_1(t)\),
\(x_2(t)\),
\(x_3(t)\).

3

Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand  $R = 1\ Ω$  bezogene Energie  \(E_2\)  des Signals  \(x_2(t)\).
Wie groß ist die Leistung  \(P_2\)  dieses Signals?

\(E_2 \ = \ \)

$\ \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$
\(P_2 \ = \ \)

$\ \cdot \text{Vs}$

4

Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?

\(x_1(t)\),
\(x_2(t)\),
\(x_3(t)\).


Musterlösung

(1)  Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden;  sie sind deshalb auch deterministisch.
  • Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten  $t$  eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten.  Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
  • Die Signalamplituden von  \(x_2(t)\)  und  \(x_3(t)\)  können alle beliebigen Werte zwischen  $0$  und  $1\,\text{V}$  annehmen;  sie sind deshalb wertkontinuierlich.
  • Dagegen sind beim Signal  \(x_1(t)\)  nur die zwei Signalwerte  $0$  und  $1\,\text{V}$  möglich;  es liegt ein wertdiskretes Signal vor.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten  $t < 0$  nicht existiert bzw. identisch Null ist.  Dies gilt für die Signale  \(x_1(t)\)  und  \(x_2(t)\).
  • Dagegen gehört  \(x_3(t)\)  zur Klasse der akausalen Signale.


(3)  Nach der allgemeinen Definition gilt:

\[E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.\]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze  $+\infty$.  Man erhält:

\[E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. \]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein.  Daraus folgt  $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.


(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt  \(x_2(t)\)  eine endliche Energie: 
$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$
  • Die Energie des Signals  \(x_3(t)\)  ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich  $t < 0$  den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich  $t > 0$.  Also ist
$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$
  • Beim Signal  \(x_1(t)\)  divergiert das Energieintegral:  $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf   ⇒   $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
  • Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal  \(x_1(t)\)  in der Hälfte der Zeit  $(t < 0)$  identisch Null ist.
  • Das Signal  \(x_1(t)\)  ist dementsprechend  leistungsbegrenzt.