Aufgaben:Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | *Das Signal <math>x_1(t)</math> wird zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$. | + | *Das blaue Signal <math>x_1(t)</math> wird zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$. |
| − | *Das rote Signal <math>x_2(t)</math> ist für $t < 0$ identisch | + | *Das rote Signal <math>x_2(t)</math> ist für $t < 0$ identisch Null, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt: |
::<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math> | ::<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math> | ||
| − | *Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$: | + | *Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$: |
| − | ::<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}.</math> | + | ::<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.</math> |
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'''(1)''' Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | '''(1)''' Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | ||
| − | *Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch. | + | *Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch. |
| − | *Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale. | + | *Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale. |
| − | *Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich. | + | *Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich. |
| − | *Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich | + | *Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich; es liegt ein wertdiskretes Signal vor. |
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'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | ||
| − | *Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch | + | *Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch Null ist. Dies gilt für die Signale <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. |
| − | *Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale. | + | *Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale. |
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::<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math> | ::<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math> | ||
| − | Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze | + | Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze $+\infty$. Man erhält: |
::<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. </math> | ::<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. </math> | ||
| − | Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$. | + | Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$. |
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'''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>: | ||
| − | *Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt <math>x_2(t)</math> eine endliche Energie: | + | *Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt <math>x_2(t)</math> eine endliche Energie: |
:$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$ | :$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$ | ||
| − | *Die Energie des Signals <math>x_3(t)</math> ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist | + | *Die Energie des Signals <math>x_3(t)</math> ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist |
:$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$ | :$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$ | ||
| − | *Beim Signal <math>x_1(t)</math> divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf ⇒ $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$ | + | *Beim Signal <math>x_1(t)</math> divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf ⇒ $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$. |
| − | *Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal <math>x_1(t)</math> in der Hälfte der Zeit ( | + | *Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal <math>x_1(t)</math> in der Hälfte der Zeit $(t < 0)$ identisch Null ist. |
| + | * Das Signal <math>x_1(t)</math> ist dementsprechend <u>leistungsbegrenzt</u>. | ||
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Aktuelle Version vom 9. April 2021, 12:43 Uhr
Vorgegebene Signalverläufe
Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
- Das blaue Signal \(x_1(t)\) wird zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
- Das rote Signal \(x_2(t)\) ist für $t < 0$ identisch Null, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:
- \[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]
- Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:
- \[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.\]
Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
- deterministisch bzw. stochastisch,
- kausal bzw. akausal,
- energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
- wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
- zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung von Signalen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:
- Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
- Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
- Die Signalamplituden von \(x_2(t)\) und \(x_3(t)\) können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
- Dagegen sind beim Signal \(x_1(t)\) nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich; es liegt ein wertdiskretes Signal vor.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch Null ist. Dies gilt für die Signale \(x_1(t)\) und \(x_2(t)\).
- Dagegen gehört \(x_3(t)\) zur Klasse der akausalen Signale.
(3) Nach der allgemeinen Definition gilt:
- \[E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.\]
Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze $+\infty$. Man erhält:
- \[E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. \]
Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt \(x_2(t)\) eine endliche Energie:
- $$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$
- Die Energie des Signals \(x_3(t)\) ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist
- $$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$
- Beim Signal \(x_1(t)\) divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf ⇒ $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
- Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal \(x_1(t)\) in der Hälfte der Zeit $(t < 0)$ identisch Null ist.
- Das Signal \(x_1(t)\) ist dementsprechend leistungsbegrenzt.
