Aufgaben:Aufgabe 2.7: Kohärenzbandbreite: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2172__Mob_A_2_7.png|right|frame|Verzögerungs–LDS und Frequenzkorrelationsfunktion]]
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Für das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz. Mit ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ gilt:
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Für das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz.&nbsp; Mit&nbsp; ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$&nbsp; gilt:
 
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0 } \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0 } \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Konstante $\tau_0$ lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt $\tau = 0$ ermitteln. Beachten Sie, dass ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ die Einheit $[1/\rm s]$ aufweist. Weiter gilt:
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Die Konstante&nbsp; $\tau_0$&nbsp; lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; ermitteln.&nbsp; Beachten Sie, dass&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; die Einheit&nbsp; $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$&nbsp; aufweist.&nbsp; Weiter gilt:
* Die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm V}(\tau)$ hat gleiche Form wie ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche 1 normiert.
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* Die Wahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; hat gleiche Form wie&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche &nbsp;$1$&nbsp; normiert.
* Die mittlere Verzögerungszeit (englisch: <i>Average Excess Delay</i>) $m_{\rm V}$ ist gleich dem linearen Erwartungswert $E[\tau]$ und lässt sich aus der WDF $f_{\rm V}(\tau)$ bestimmen.
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* Die &nbsp;<b>mittlere Verzögerungszeit</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Average Excess Delay </i>)&nbsp; $m_{\rm V}$&nbsp; ist gleich dem linearen Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big [\tau \big]$&nbsp; und lässt sich aus der WDF&nbsp; $f_{\rm V}(\tau)$&nbsp; bestimmen.
* Die <b>Mehrwegeverbreiterung</b> (englisch: <i>Multipath Spread</i>) $\sigma_{\rm V}$ gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße $\tau$ an. Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung $T_{\rm V}$.
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* Die &nbsp;<b>Mehrwegeverbreiterung</b>&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Multipath Spread </i>)&nbsp; $\sigma_{\rm V}$&nbsp; gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße&nbsp; $\tau$&nbsp; an.&nbsp; Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung&nbsp; $T_{\rm V}$.
* Die dargestellte Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ berechnet werden:
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* Die dargestellte Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; berechnet werden:
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f)
 
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  \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.2cm}  {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
* Die <b>Kohärenzbandbreite</b> $B_{\rm K}$ ist der $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem die Frequenzkorrelationsfunktion $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ auf den halben Betrag abgefallen ist.
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* Die <b>Kohärenzbandbreite</b>&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; ist der&nbsp; $\Delta f$&ndash;Wert, bei dem die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; auf den halben Betrag abgefallen ist.
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell|Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell]]
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell|GWSSUS&ndash;Kanalmodell]].
* Benötigt werden Kenntnisse zur [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert| Momentenberechnung]] von Zufallsgrößen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
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* Benötigt werden Kenntnisse zur&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Momentenberechnung_als_Scharmittelwert| Momentenberechnung]]&nbsp; von Zufallsgrößen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
 
* Außerdem kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden:
 
* Außerdem kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden:
 
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\\
 
:$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\\
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\\ \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t < 0 \\ \end{array}  
 
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  \hspace{0.4cm}  {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.4cm}  {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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===Fragebogen===
 
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{Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$ ?
 
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{Welche Gleichung gilt für die Frequenz&ndash;Korrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ ?
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+ $\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \big[1/\tau_0 + {\rm j} \ 2 \pi \cdot \Delta f \big]^{-1}$,
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{Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite&nbsp; $B_{\rm K}$.
 
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$B_{\rm K} \ = \ ${ 276 3% } $\ \rm kHz$
 
$B_{\rm K} \ = \ ${ 276 3% } $\ \rm kHz$
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'''(1)'''&nbsp; Das Integral über die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte liefert mit ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$ das Ergebnis
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'''(1)'''&nbsp; Das Integral über die Verzögerungs&ndash;Leistungsdichte liefert mit&nbsp; ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$&nbsp; das Ergebnis
 
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Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
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*Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 
:$$f_{\rm V}(\tau)  = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau) }{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}= \frac{1}{\tau_0} \cdot  {\rm e}^{-\tau / \tau_0}  
 
:$$f_{\rm V}(\tau)  = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau) }{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}= \frac{1}{\tau_0} \cdot  {\rm e}^{-\tau / \tau_0}  
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
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Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
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*Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Das $k$&ndash;te Moment einer [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Einseitige_Exponentialverteilung| exponentialverteilten Zufallsgröße]] ist nach unserer Nomenklatur gleich $m_k = k! \cdot \tau_0^k$. Mit $k = 1$ ergibt sich daraus der lineare Mittelwert $m_1 = m_{\rm V}$:
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:$$m_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm \mu s}}
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'''(2)'''&nbsp; Das&nbsp; $k$&ndash;te Moment einer&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Einseitige_Exponentialverteilung| exponentialverteilten Zufallsgröße]]&nbsp; ist nach unserer Nomenklatur gleich&nbsp; $m_k = k! \cdot \tau_0^k$.  
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*Mit&nbsp; $k = 1$&nbsp; ergibt sich daraus der lineare Mittelwert&nbsp; $m_1 = m_{\rm V}$:
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'''(3)'''&nbsp; Nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]] gilt für die Varianz einer Zufallsgröße allgemein: $\sigma^2 = m_2 \, &ndash;m_1^2$. Nach der oben angegebenen Gleichung ist $m_2 = 2 \cdot \tau_0^2$. Daraus folgt:
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'''(3)'''&nbsp; Nach dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Einige_h.C3.A4ufig_benutzte_Zentralmomente| Satz von Steiner]]&nbsp; gilt für die Varianz einer Zufallsgröße allgemein: &nbsp; $\sigma^2 = m_2 \, &ndash;m_1^2$.  
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*Nach der oben angegebenen Gleichung ist&nbsp; $m_2 = 2 \cdot \tau_0^2$.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$\sigma_{\rm V}^2 = m_2 - m_1^2 = 2 \cdot \tau_0^2 - (\tau_0)^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
:$$\sigma_{\rm V}^2 = m_2 - m_1^2 = 2 \cdot \tau_0^2 - (\tau_0)^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
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   \hspace{0.05cm}.  $$
  
  
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'''(4)'''&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$&nbsp; ist identisch mit dem in der Hilfsgleichung angegebenem $x(t)$, wenn man&nbsp; $t$&nbsp; durch&nbsp; $\tau$&nbsp; und&nbsp; $\lambda$&nbsp; durch&nbsp; $1/\tau_0$&nbsp; ersetzt.  
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*Damit hat&nbsp; $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$&nbsp; den gleichen Verlauf wie&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit der Substitution&nbsp; $f &#8594; \Delta f$:
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \frac{1}{1/\tau_0 + {\rm j} \cdot 2\pi \Delta f}
 
:$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \frac{1}{1/\tau_0 + {\rm j} \cdot 2\pi \Delta f}
 
  = \frac{\tau_0}{1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot \tau_0 \cdot \Delta f}\hspace{0.05cm}.$$
 
  = \frac{\tau_0}{1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot \tau_0 \cdot \Delta f}\hspace{0.05cm}.$$
  
Richtig ist die <u>erste Gleichung</u>.
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*Richtig ist die <u>erste Gleichung</u>.
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  B_{\rm K}= \frac{\sqrt{3}}{2\pi \cdot \tau_0} \approx \frac{0.276}{ \tau_0}\hspace{0.05cm}. $$
 
  B_{\rm K}= \frac{\sqrt{3}}{2\pi \cdot \tau_0} \approx \frac{0.276}{ \tau_0}\hspace{0.05cm}. $$
  
Mit $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ folgt daraus für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.
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*Mit&nbsp; $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; folgt daraus für die Kohärenzbandbreite: &nbsp; &nbsp; $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.
 
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[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^2.3 Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^2.3 Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell^]]

Aktuelle Version vom 25. Mai 2020, 16:48 Uhr

Verzögerungs–LDS und
Frequenz–Korrelationsfunktion

Für das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum wählen wir einen exponentiellen Ansatz.  Mit  ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$  gilt:

$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0 } \hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante  $\tau_0$  lässt sich entsprechend der oberen Grafik aus der Tangente im Punkt  $\tau = 0$  ermitteln.  Beachten Sie, dass  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  die Einheit  $[1/\rm s\hspace{0.03cm}]$  aufweist.  Weiter gilt:

  • Die Wahrscheinlichkeitsdichte  $f_{\rm V}(\tau)$  hat gleiche Form wie  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$, ist jedoch auf die Fläche  $1$  normiert.
  • Die  mittlere Verzögerungszeit  (englisch:   Average Excess Delay )  $m_{\rm V}$  ist gleich dem linearen Erwartungswert  ${\rm E}\big [\tau \big]$  und lässt sich aus der WDF  $f_{\rm V}(\tau)$  bestimmen.
  • Die  Mehrwegeverbreiterung  (englisch:   Multipath Spread )  $\sigma_{\rm V}$  gibt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsgröße  $\tau$  an.  Im Theorieteil verwenden wir hierfür auch die Bezeichnung  $T_{\rm V}$.
  • Die dargestellte Frequenz–Korrelationsfunktion  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  kann als die Fouriertransformierte des Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  berechnet werden:
$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) \hspace{0.2cm} {\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  ist der  $\Delta f$–Wert, bei dem die Frequenz–Korrelationsfunktion  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  auf den halben Betrag abgefallen ist.





Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  GWSSUS–Kanalmodell.
  • Benötigt werden Kenntnisse zur  Momentenberechnung  von Zufallsgrößen aus dem Buch „Stochastische Signaltheorie”.
  • Außerdem kann folgende Fouriertransformation als gegeben vorausgesetzt werden:
$$x(t) = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{- \lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t \ge 0 \\ \hspace{-0.35cm} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} t < 0 \\ \end{array} \hspace{0.4cm} {\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.4cm} X(f) = \frac{1}{\lambda + {\rm j} \cdot 2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$



Fragebogen

1

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte  $f_{\rm V}(\tau)$  der Verzögerungszeit?

$f_{\rm V}(\tau) = {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$.
$f_{\rm V}(\tau) = 1/\tau_0 \cdot {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$,
$f_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_0 \cdot {\rm e}^{-\tau/\tau_0}$.

2

Bestimmen Sie die mittlere Verzögerungszeit für  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$.

$m_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Welcher Wert ergibt sich für die Mehrwegeverbreiterung mit  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$ ?

$\sigma_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$

4

Welche Gleichung gilt für die Frequenz–Korrelationsfunktion  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$ ?

$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \big[1/\tau_0 + {\rm j} \ 2 \pi \cdot \Delta f \big]^{-1}$,
$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = {\rm e}^ {-(\tau_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\Delta f)^2}$.

5

Bestimmen Sie die Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$.

$B_{\rm K} \ = \ $

$\ \rm kHz$


Musterlösung

(1)  Das Integral über die Verzögerungs–Leistungsdichte liefert mit  ${\it \Phi}_0 = {\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 0)$  das Ergebnis

$$\int_{0}^{+\infty} {\it \Phi}_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0 \hspace{0.05cm}. $$
  • Damit erhält man für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$$f_{\rm V}(\tau) = \frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau) }{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}= \frac{1}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{-\tau / \tau_0} \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.



(2)  Das  $k$–te Moment einer  exponentialverteilten Zufallsgröße  ist nach unserer Nomenklatur gleich  $m_k = k! \cdot \tau_0^k$.

  • Mit  $k = 1$  ergibt sich daraus der lineare Mittelwert  $m_1 = m_{\rm V}$:
$$m_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}. $$


(3)  Nach dem  Satz von Steiner  gilt für die Varianz einer Zufallsgröße allgemein:   $\sigma^2 = m_2 \, –m_1^2$.

  • Nach der oben angegebenen Gleichung ist  $m_2 = 2 \cdot \tau_0^2$.  Daraus folgt:
$$\sigma_{\rm V}^2 = m_2 - m_1^2 = 2 \cdot \tau_0^2 - (\tau_0)^2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma_{\rm V} = \tau_0 \hspace{0.1cm} \underline {= 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}. $$


(4)  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  ist identisch mit dem in der Hilfsgleichung angegebenem $x(t)$, wenn man  $t$  durch  $\tau$  und  $\lambda$  durch  $1/\tau_0$  ersetzt.

  • Damit hat  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  den gleichen Verlauf wie  $X(f)$  mit der Substitution  $f → \Delta f$:
$$\varphi_{\rm F}(\Delta f) = \frac{1}{1/\tau_0 + {\rm j} \cdot 2\pi \Delta f} = \frac{\tau_0}{1 + {\rm j} \cdot 2\pi \cdot \tau_0 \cdot \Delta f}\hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist die erste Gleichung.


(5)  Die Kohärenzbandbreite ergibt sich implizit aus der folgenden Gleichung:

$$|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})| \stackrel {!}{=} \frac{1}{2} \cdot |\varphi_{\rm F}(\Delta f = 0)| = \frac{\tau_0}{2}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}|\varphi_{\rm F}(\Delta f = B_{\rm K})|^2 = \frac{\tau_0^2}{1 + (2\pi \cdot \tau_0 \cdot B_{\rm K})^2} \stackrel {!}{=} \frac{\tau_0^2}{4}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(2\pi \cdot \tau_0 \cdot B_{\rm K})^2 = 3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} B_{\rm K}= \frac{\sqrt{3}}{2\pi \cdot \tau_0} \approx \frac{0.276}{ \tau_0}\hspace{0.05cm}. $$
  • Mit  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  folgt daraus für die Kohärenzbandbreite:     $B_{\rm K} \ \underline {= 276 \ \rm kHz}$.