Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: Rayleigh? Oder Rice?: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$ | :$$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$ | ||
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:$$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$ | :$$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$ | ||
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− | - Das Zentralmoment 3. Ordnung ⇒ $\mu_3$ ist | + | - Das Zentralmoment 3. Ordnung ⇒ $\mu_3$ ist Null. |
− | - Die Kurtosis hat den Wert $K_x = 3$. | + | - Die Kurtosis hat den Wert $K_x = 3$. |
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$\lambda \ = \ $ { 2 3% } | $\lambda \ = \ $ { 2 3% } | ||
− | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner als $x_0$ ist? | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner als $x_0 = 2$ ist? |
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${\rm Pr}(x < x_0 ) \ = \ $ { 0.393 3% } | ${\rm Pr}(x < x_0 ) \ = \ $ { 0.393 3% } | ||
− | {Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße $x$? Interpretation. | + | {Wie groß ist der Mittelwert der Zufallsgröße $x$? Interpretation. |
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$m_x \ = \ $ { 2.506 3% } | $m_x \ = \ $ { 2.506 3% } | ||
− | {Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ größer als sein Mittelwert $m_x$? | + | {Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $x$ größer als sein Mittelwert $m_x$? |
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${\rm Pr}(x > m_x) \ = \ $ { 0.456 3% } | ${\rm Pr}(x > m_x) \ = \ $ { 0.456 3% } |
Version vom 25. November 2019, 14:08 Uhr
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße $x$ ist wie folgt gegeben:
- $$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$
Entsprechend gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion:
- $$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$
- Bekannt ist, dass der Wert $x_0 = 2$ am häufigsten auftritt.
- Das bedeutet auch, dass die WDF $f_x(x)$ bei $x = x_0 $ maximal ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
- Insbesondere wird auf die Seiten Rayleighverteilung und Riceverteilung Bezug genommen .
- Sie können Ihre Ergebnisse mit interaktiven Applet WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen überprüfen.
- Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral:
- $$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine Rayleighverteilung vor.
- Diese ist um den Mittelwert $m_x$ unsymmetrisch, so dass $\mu_3 \ne 0$ ist.
- Nur bei einer gaußverteilten Zufallsgröße gilt für die Kurtosis $K = 3$.
- Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgeprägterer WDF–Ausläufer ein größerer Wert $(K = 3.245)$, und zwar unabhängig von $\lambda$.
(2) Die Ableitung der WDF nach $x$ liefert:
- $$\frac{{\rm d} f_x(x)}{{\rm d} x} = \frac{\rm 1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({2 \lambda^{\rm 2}})}+\frac{ x}{ \lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{2 x}{2 \lambda^{\rm 2}}).$$
Daraus folgt als Bestimmungsgleichung für $x_0$ (nur die positive Lösung ist sinnvoll):
- $$\frac{1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad \Rightarrow \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$
Somit erhält man für den Verteilungsparameter $\lambda = x_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.
(3) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle $r = x_0 = \lambda$:
- $${\rm Pr}(x<x_{\rm 0})={\rm Pr}( x \le x_{\rm 0})= F_x(x_{\rm 0})=1-{\rm e}^{-{\lambda^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}=1-{\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.393}.$$
(4) Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:
- $$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$
Der Mittelwert $m_x$ ist natürlich größer als $x_0$ (= Maximalwert der WDF), da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.
(5) Allgemein gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
- $${\rm Pr}(x>m_x)=1- F_x(m_x).$$
Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man:
- $${\rm Pr}(x>m_x)={\rm e}^{-{m_x^{\rm 2}}/({ 2\lambda^{\rm 2})}}={\rm e}^{-\pi/ 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.456}.$$