Aufgaben:Aufgabe 3.3: Momente bei cos²-WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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− | *Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem <i>Satz von Steiner</i> ersichtlich ist. | + | *Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem <i>Satz von Steiner</i> ersichtlich ist. |
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Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. | Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. | ||
− | *Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu. | + | *Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu. |
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+ | '''(2)''' Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich $x = 0$ ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$. | ||
− | '''(3)''' Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. | + | |
− | *Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert. | + | |
− | *Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$ | + | '''(3)''' Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. |
+ | *Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert. | ||
+ | *Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung $($bezogen auf $1 \ \rm \Omega)$ bezeichnet. Somit gilt: | ||
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ | :$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ | ||
− | Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$ folgt daraus: | + | *Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$ folgt daraus: |
:$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ | :$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ | ||
− | Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$: | + | *Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$: |
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} | :$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$ | ||
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'''(4)''' Richtig ist der <u>erstgenannte Vorschlag</u>: | '''(4)''' Richtig ist der <u>erstgenannte Vorschlag</u>: | ||
− | * Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern. | + | * Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern. |
− | *Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$. | + | *Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$. |
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+ | '''(5)''' Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss. | ||
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'''(6)''' Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. | '''(6)''' Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. | ||
− | + | *Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe '''(3)''' ebenfalls um diesen Faktor kleiner: | |
:$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$ | :$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$ | ||
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Version vom 15. November 2019, 15:48 Uhr
Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
- $$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$, die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:
- $$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$
- Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
- Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ bzw. $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ bzw. $f_y(y) = 0$.
- Beide Zufallsgrößen können als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
- $$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$
Fragebogen
Musterlösung
- Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist.
- Die zweite Aussage gilt nur im (trivialen) Sonderfall $x = 0$.
Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF.
- Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.
(2) Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich $x = 0$ ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
(3) Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$.
- Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert.
- Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung $($bezogen auf $1 \ \rm \Omega)$ bezeichnet. Somit gilt:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
- Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$ folgt daraus:
- $$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
- Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
(4) Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:
- Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern.
- Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$.
(5) Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss.
(6) Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung.
- Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
- $$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$