Aufgaben:Aufgabe 3.3: Momente bei cos²-WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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{Die Zufallsgröße  $y$  lässt sich aus  $x$  ableiten. Welche Zuordnung gilt?
 
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*Die erste Aussage ist nie erf&uuml;llt, wie aus dem <i>Satz von Steiner</i> ersichtlich ist.  
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*Die erste Aussage ist nie erf&uuml;llt, wie aus dem&nbsp; <i>Satz von Steiner</i>&nbsp; ersichtlich ist.  
*Die zweite Aussage gilt nur im Sonderfall $x = 0$.  
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*Die zweite Aussage gilt nur im (trivialen) Sonderfall&nbsp; $x = 0$.  
  
  
 
Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgr&ouml;&szlig;en mit unsymmetrischer WDF.  
 
Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgr&ouml;&szlig;en mit unsymmetrischer WDF.  
*Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.
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'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der WDF-Symmetrie bez&uuml;glich $x = 0$ ergibt sich f&uuml;r den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
 
  
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'''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$.  
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*Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert.  
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*Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:
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'''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gleich der Streuung&nbsp; $\sigma_x$&nbsp; bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz&nbsp; $\sigma_x^2$.  
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*Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; den Mittelwert&nbsp; $m_x {= 0}$&nbsp; aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert.  
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*Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung&nbsp; $($bezogen auf&nbsp; $1 \ \rm \Omega)$&nbsp; bezeichnet. Somit gilt:
 
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
 
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
  
Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$ folgt daraus:
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*Mit der Beziehung&nbsp; $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$&nbsp; folgt daraus:
 
:$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x  +  \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
 
:$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x  +  \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
  
Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erh&auml;lt mit $a = \pi/2$:
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*Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erh&auml;lt mit&nbsp; $a = \pi/2$:
 
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6}  +  \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a  x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot  x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm}  
 
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6}  +  \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a  x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot  x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm}  
 
\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erstgenannte Vorschlag</u>:
 
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erstgenannte Vorschlag</u>:
* Die Variante $y = 2x$ w&uuml;rde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e liefern.  
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* Die Variante&nbsp; $y = 2x$&nbsp; w&uuml;rde eine zwischen&nbsp; $-4$&nbsp; und&nbsp; $+4$&nbsp; verteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e liefern.  
*Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ w&auml;re der Mittelwert $m_y = -1$.
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*Beim letzten Vorschlag&nbsp; $y = x/2-1$&nbsp; w&auml;re der Mittelwert&nbsp; $m_y = -1$.
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'''(5)'''&nbsp; Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass&nbsp; $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$&nbsp; gelten muss.
  
'''(5)'''&nbsp; Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss.
 
  
  
 
'''(6)'''&nbsp; Der Mittelwert &auml;ndert nichts an der Varianz und an der Streuung.  
 
'''(6)'''&nbsp; Der Mittelwert &auml;ndert nichts an der Varianz und an der Streuung.  
:Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegen&uuml;ber Teilaufgabe '''(3)''' ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
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*Durch die Stauchung um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; wird die Streuung gegen&uuml;ber Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
 
:$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$
 
:$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
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Version vom 15. November 2019, 15:48 Uhr

Cosinus–Quadrat–WDF
und eine ähnliche WDF

Wie in  Aufgabe 3.1  und  Aufgabe 3.2  betrachten wir die auf den Wertebereich von  $-2$  bis  $+2$  beschränkte Zufallsgröße  $x$  mit folgender WDF in diesem Abschnitt:

$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße  $y$, die nur Werte zwischen  $0$  und  $2$  mit folgender WDF liefert:

$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$
  • Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
  • Außerhalb der Bereiche  $-2 < x < +2$  bzw.  $0 < x < +2$  gilt jeweils  $f_x(x) = 0$  bzw.  $f_y(y) = 0$.
  • Beide Zufallsgrößen können als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  aufgefasst werden.





Hinweise:

  • Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
$$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF  $f_x(x)$  zu?
Verwendet sind folgende Größen:   linearer Mittelwert  $m_1$,  quadratischer Mittelwert  $m_2$,  Varianz  $\sigma^2$.

$m_2 = 0$,   falls   $m_1 \ne 0$.
$m_2 = 0$,   falls   $m_1 = 0$.
$m_1 = 0$,   falls   $m_2 = 0$.
$m_2 > \sigma^2$,   falls   $m_1 \ne 0$.
$m_1 = 0$,   falls   $f_x(-x) = f_x(x)$.
$f_x(-x) = f_x(x)$,   falls   $m_1 = 0$.

2

Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals  $x(t)$?

$m_x \ = \ $

3

Wie groß ist der Effektivwert des Signals  $x(t)$?

$\sigma_x \ = \ $

4

Die Zufallsgröße  $y$  lässt sich aus  $x$  ableiten. Welche Zuordnung gilt?

$y = 1+x/2.$
$y = 2x.$
$y = x/2-1.$

5

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals  $y(t)$?

$m_y\ = \ $

6

Wie groß ist der Effektivwert des Signals  $y(t)$?

$\sigma_y\ = \ $


Musterlösung

(1)  Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5:

  • Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem  Satz von Steiner  ersichtlich ist.
  • Die zweite Aussage gilt nur im (trivialen) Sonderfall  $x = 0$.


Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF.

  • Das bedeutet:  Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.


(2)  Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich  $x = 0$  ergibt sich für den linearen Mittelwert  $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.


(3)  Der Effektivwert des Signals  $x(t)$  ist gleich der Streuung  $\sigma_x$  bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz  $\sigma_x^2$.

  • Da die Zufallsgröße  $x$  den Mittelwert  $m_x {= 0}$  aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert.
  • Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung  $($bezogen auf  $1 \ \rm \Omega)$  bezeichnet. Somit gilt:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
  • Mit der Beziehung  $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot \big[1 + \cos(2\alpha)\big]$  folgt daraus:
$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
  • Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit  $a = \pi/2$:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$


(4)  Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:

  • Die Variante  $y = 2x$  würde eine zwischen  $-4$  und  $+4$  verteilte Zufallsgröße liefern.
  • Beim letzten Vorschlag  $y = x/2-1$  wäre der Mittelwert  $m_y = -1$.


(5)  Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass  $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$  gelten muss.


(6)  Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung.

  • Durch die Stauchung um den Faktor  $2$  wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe  (3)  ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$