Aufgaben:Aufgabe 2.7: C-Programme z1 und z2: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 56: Zeile 56:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Nach dem ersten Schleifendurchlauf ($m = 0$) ist die Variable $\text{summe = 0.2}$, beim n&auml;chsten $(m = 1)$ gilt $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$. <br>In beiden F&auml;llen ist somit die Variable $\text{summe} < x = 0.75$. Erst bei $m = 2$ ist die R&uuml;cksprungbedingung erf&uuml;llt: &nbsp; $0.9 > x$. Somit ist $\underline{z1 = 2}$.
+
'''(1)'''&nbsp; Nach dem ersten Schleifendurchlauf&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; ist die Variable&nbsp; $\text{summe = 0.2}$, beim n&auml;chsten&nbsp; $(m = 1)$&nbsp; gilt&nbsp; $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.  
 +
*In beiden F&auml;llen ist somit die Variable&nbsp; $\text{summe} < x = 0.75$.&nbsp;
 +
*Erst bei&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die R&uuml;cksprungbedingung erf&uuml;llt: &nbsp; $0.9 > x$.&nbsp; Somit ist&nbsp; $\underline{z1 = 2}$.
  
  
  
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
*W&uuml;rde man auf die Hilfsvariable $x$ verzichten und in Zeile 8 $\text{summe > random()}$ schreiben, so w&uuml;rde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und $z1$ h&auml;tte dann nicht die gew&uuml;nschten Eigenschaften.
+
*W&uuml;rde man auf die Hilfsvariable&nbsp; $x$&nbsp; verzichten und in Zeile 8 dafür&nbsp; $\text{summe > random()}$&nbsp; schreiben, so w&uuml;rde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und&nbsp; $z1$&nbsp; h&auml;tte dann nicht die gew&uuml;nschten Eigenschaften.
*$z1$ arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil. Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung f&uuml;r den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten ($1/M$).
+
*$z1$&nbsp; arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.&nbsp; Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung f&uuml;r den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $(1/M)$.
*Im ersten Durchlauf ($m = 0$) ist in diesem Fall die R&uuml;cksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich&ndash;Abfrage nicht erf&uuml;llt; der Ausgabewert ist tatsächlich $z1 = 1$.
+
*Im ersten Durchlauf&nbsp; $(m = 0)$&nbsp; ist in diesem Fall die R&uuml;cksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich&ndash;Abfrage nicht erf&uuml;llt;&nbsp; der Ausgabewert ist tatsächlich&nbsp; $z1 = 1$.
  
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
*Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e, und zwar mit Wertevorrat $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.  
+
*Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e, und zwar mit dem Wertevorrat&nbsp; $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.  
*F&uuml;r die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$ ben&ouml;tigt man hier die mathematische Bibliothek.  
+
*F&uuml;r die Berechnung der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$&nbsp; ben&ouml;tigt man hier die mathematische Bibliothek.  
*Das Potenzieren k&ouml;nnte aber auch durch $I$&ndash;fache Multiplikation realisiert werden.  
+
*Das Potenzieren k&ouml;nnte aber auch durch&nbsp; $I$&ndash;fache Multiplikation realisiert werden.  
  
  
  
'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement $\text{p_array[0]}$ vor der Programmschleife  $(i = 0)$ den Wert $(1 -p)^{I}$. Im ersten Schleifendurchlauf ($i = 1$) wird folgender Wert eingetragen:
+
'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement&nbsp; $\text{p_array[0]}$&nbsp; vor der Programmschleife&nbsp; $(i = 0)$&nbsp; den Wert&nbsp; $(1 -p)^{I}$.&nbsp;
 +
*Im ersten Schleifendurchlauf&nbsp; $(i = 1)$&nbsp; wird folgender Wert eingetragen:
 
:$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}=  I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
 
:$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}=  I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
  
Im zweiten Schleifendurchlauf ($i = 2$) wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis  &bdquo;$z2=2$&rdquo; berechnet:
+
*Im zweiten Schleifendurchlauf&nbsp;  $(i = 2)$&nbsp; wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis  &bdquo;$z2=2$&rdquo; berechnet:
 
:$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}=  \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot  p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
 
:$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}=  \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot  p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
  
Für $I= 4$ und $p = 0.25$ erhält man folgenden Zahlenwert (&bdquo;$4$ über $2$&rdquo; ergibt $6$):
+
*Für&nbsp; $I= 4$&nbsp; und&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; erhält man folgenden Zahlenwert &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;$4$&nbsp; über &nbsp;$2$&rdquo; &nbsp; $=6$:
 
:$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16}
 
:$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16}
 
\hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$

Version vom 14. November 2019, 13:12 Uhr

C-Programme zur Erzeugung
diskreter Zufallsgrößen

Die beiden hier angegebenen C-Programme eignen sich zur Erzeugung diskreter Zufallsgrößen:

  • Die Funktion  $z1$  erzeugt eine  $M$–stufige Zufallsgröße mit dem Wertevorrat  $\{0, 1$, ... , $M-1\}$.  Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten werden im Array  $\text{p_array}$  mit der Eigenschaft „Float” übergeben.  Die Funktion  $\text{random()}$  liefert gleichverteilte Float–Zufallsgrößen zwischen  $0$  und  $1$.
  • Eine zweite Funktion  $z2$  (Quelltext siehe unten)  liefert eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch die beiden Parameter  $I$  und  $p$  festgelegt ist.  Dieses geschieht unter Verwendung der Funktion  $z1$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Es gelte  $M=4$  und  $\text{p_array} = \big[0.2, \ 0.3, \ 0.4, \ 0.1 \big]$.
Welches Ergebnis liefert die Funktion  $z1$, wenn die Randomfunktion den  Wert $x = 0.75$  zurückgibt?

$z1 \ = \ $

2

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $z1$  zutreffend?

Man könnte auf die Zuweisung  $\text{x = random()}$  in Zeile 5 verzichten und in Zeile 8 direkt mit  $\text{random()}$  vergleichen.
Sind alle übergebenen Wahrscheinlichkeiten gleich, so gäbe es schnellere Programmrealisierungen als  $z1$.
Der Rückgabewert  $\text{random() = 0.2}$  führt zum Ergebnis  $z1= 1$.

3

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich  $z2$  zutreffend?

Das Programm erzeugt eine binomialverteilte  Zufallsgröße.
Das Programm erzeugt eine poissonverteilte  Zufallsgröße.
Mit  $I = 4$  sind für  $z2$  die Werte  $0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4$  möglich.
Das Einbinden der mathematischen Bibliothek „math.h” ist erforderlich, da in  $z2$  die Funktion „pow” (Potenzieren) verwendet wird.

4

Welcher Wert steht in  $\text{p_array[2]}$  beim Aufruf mit  $I = 4$  und  $p = 0.25$?

$\text{p_array[2]} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Nach dem ersten Schleifendurchlauf  $(m = 0)$  ist die Variable  $\text{summe = 0.2}$, beim nächsten  $(m = 1)$  gilt  $\text{summe = 0.2 + 0.3 = 0.5}$.

  • In beiden Fällen ist somit die Variable  $\text{summe} < x = 0.75$. 
  • Erst bei  $m = 2$  ist die Rücksprungbedingung erfüllt:   $0.9 > x$.  Somit ist  $\underline{z1 = 2}$.


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

  • Würde man auf die Hilfsvariable  $x$  verzichten und in Zeile 8 dafür  $\text{summe > random()}$  schreiben, so würde bei jedem Schleifendurchgang ein neuer Zufallswert erzeugt und  $z1$  hätte dann nicht die gewünschten Eigenschaften.
  • $z1$  arbeitet gemäß dem Schaubild auf der Seite „Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen“ im Theorieteil.  Dort findet man eine deutlich schnellere Implementierung für den Fall gleicher Wahrscheinlichkeiten  $(1/M)$.
  • Im ersten Durchlauf  $(m = 0)$  ist in diesem Fall die Rücksprungbedingung aufgrund der Kleiner/Gleich–Abfrage nicht erfüllt;  der Ausgabewert ist tatsächlich  $z1 = 1$.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:

  • Es ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsgröße, und zwar mit dem Wertevorrat  $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
  • Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(z2 = 0) = (1 -p)^{I}$  benötigt man hier die mathematische Bibliothek.
  • Das Potenzieren könnte aber auch durch  $I$–fache Multiplikation realisiert werden.


(4)  Aufgrund der Zeile 6 beinhaltet das Feldelement  $\text{p_array[0]}$  vor der Programmschleife  $(i = 0)$  den Wert  $(1 -p)^{I}$. 

  • Im ersten Schleifendurchlauf  $(i = 1)$  wird folgender Wert eingetragen:
$$\text{p_array[1]}=\frac{ p\cdot I}{ 1- p}\cdot\text{p_array[0]}= I\cdot p\cdot(1- p)^{ I- 1}={\rm Pr}(z2= 1) .$$
  • Im zweiten Schleifendurchlauf  $(i = 2)$  wird die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „$z2=2$” berechnet:
$$\text{p_array[2]}=\frac{p\cdot (I- 1)}{ 2\cdot ( 1- p)}\cdot\text{p_array[1]}= \left({ I \atop { 2}}\right)\cdot p^{\rm 2}\cdot( 1- p)^{\rm 2}={\rm Pr}( z2 = 2) .$$
  • Für  $I= 4$  und  $p = 0.25$  erhält man folgenden Zahlenwert   ⇒   „$4$  über  $2$”   $=6$:
$$\text{p_array[2]}={\rm Pr}( z 2=2)=6\cdot\frac{1}{16}\cdot\frac{9}{16} \hspace{0.15cm}\underline{=0.211}.$$