Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''(1)''' Der Spieler verliert jeweils | + | '''(1)''' Der Spieler verliert jeweils einen Euro, wenn eine der Zahlen $1$ bis $36$ gezogen wird. |
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:$$G_1 =\rm {36}/{37}\cdot (-1\hspace{0.1cm} Euro) + {1}/{37}\cdot (33\hspace{0.1cm} Euro) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.081\hspace{0.1cm} Euro\hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$ | :$$G_1 =\rm {36}/{37}\cdot (-1\hspace{0.1cm} Euro) + {1}/{37}\cdot (33\hspace{0.1cm} Euro) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.081\hspace{0.1cm} Euro\hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$ | ||
− | '''(2)''' Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird. Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz: | + | |
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+ | '''(2)''' Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird. Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz: | ||
:$$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$ | :$$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$ | ||
− | '''(3)''' Kommt „Rot”, so gewinnt er | + | |
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+ | '''(3)''' Kommt „Rot”, so gewinnt er neun Euro. | ||
+ | *Kommt die Null, gewinnt er effektiv $25$ Euro. | ||
+ | *Wird „Schwarz” gezogen, so verliert er seinen gesamten Einsatz von $11$ Euro: | ||
:$$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$ | :$$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$ | ||
− | '''(4)''' Den höchsten Gewinn erzielt er bei $Z_{\rm Wunsch} \; \underline{ = 23} $. Dann gewinnen vier seiner fünf Chips: | + | |
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+ | '''(4)''' Den höchsten Gewinn erzielt er bei $Z_{\rm Wunsch} \; \underline{ = 23} $. Dann gewinnen vier seiner fünf Chips: | ||
:$$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) + | :$$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) + | ||
\rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$ | \rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$ | ||
− | + | *Kommt dagegen die Null, so gewinnt er lediglich $\rm 35 - 31 = 4 \ Euro$. | |
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− | '''(5)''' <u>Nein, leider nicht. Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank</u>. | + | '''(5)''' <u>Nein, leider nicht. Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank</u>. |
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Version vom 9. November 2019, 15:26 Uhr
Beim Roulette wird bei jedem Spiel mittels einer Kugel und einer Roulettescheibe eine Gewinnzahl $Z$ ermittelt, wobei wir davon ausgehen wollen, dass alle möglichen Zahlen $Z \in \{0, 1, 2, \ \text{...} \ , 36 \}$ gleichwahrscheinlich sind.
Die Mitspieler können nun mit unterschiedlich wertvollen Chips auf eine einzelne Zahl oder auf eine Zahlengruppe setzen. Einige der Möglichkeiten und die dazugehörigen Gewinne sollen hier kurz anhand der von einem Spieler gesetzten Chips erläutert werden (siehe Grafik):
- Setzt ein Spieler auf eine Zahl (im Beispiel auf „0“), so bekäme er außer seinem Einsatz als Gewinn das $35$-fache zurück.
- Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit drei Feldern (im Beispiel der 1-Euro-Chip für die Zahlen von „22“ bis „24“), so bekäme er außer seinem Einsatz noch den $ 11$-fachen Einsatz als Gewinn ausbezahlt.
- Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit $ 18$ Feldern (beispielsweise die 10-Euro-Chips auf „Rot“, auf „Impair“ und auf „Passe“), so erhält er außer seinem Einsatz als Gewinn nochmals den gleichen Betrag zurück.
- Gehört die gezogene Zahl nicht zu einer der von ihm besetzten Felder, so ist sein Einsatz verloren.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
- Geben Sie bei den folgenden Fragen eventuelle Verluste als negative Gewinne ein.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
Fragebogen
Musterlösung
- Er gewinnt $33$ Euro, wenn tatsächlich die $0$ getroffen wird. Daraus folgt:
- $$G_1 =\rm {36}/{37}\cdot (-1\hspace{0.1cm} Euro) + {1}/{37}\cdot (33\hspace{0.1cm} Euro) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.081\hspace{0.1cm} Euro\hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$
(2) Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird. Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz:
- $$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$
(3) Kommt „Rot”, so gewinnt er neun Euro.
- Kommt die Null, gewinnt er effektiv $25$ Euro.
- Wird „Schwarz” gezogen, so verliert er seinen gesamten Einsatz von $11$ Euro:
- $$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$
(4) Den höchsten Gewinn erzielt er bei $Z_{\rm Wunsch} \; \underline{ = 23} $. Dann gewinnen vier seiner fünf Chips:
- $$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) + \rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$
- Kommt dagegen die Null, so gewinnt er lediglich $\rm 35 - 31 = 4 \ Euro$.
(5) Nein, leider nicht. Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank.