Aufgaben:Aufgabe 2.8: COST-Verzögerungsmodelle: Unterschied zwischen den Versionen

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Hierbei bezeichnet $\tau_{-30}$ die Verzögerungszeit, die zum logarithmischen Ordinatenwert $-30 \ \rm dB$ führt. Damit erhält man
 
Hierbei bezeichnet $\tau_{-30}$ die Verzögerungszeit, die zum logarithmischen Ordinatenwert $-30 \ \rm dB$ führt. Damit erhält man
* für ländliches Gebiet (<i>Rural Area</i>, <b>RA</b>) mit $\tau_{&ndash;30} = 0.75 \ \rm \mu s$:
+
* für ländliches Gebiet (<i>Rural Area</i>, <b>RA</b>) mit $\tau_{&ndash;30} = 0.75 \ \rm &micro; s$:
:$$\tau_{\rm 0} = \frac{0.75\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.109\,{\rm \mu s}}
+
:$$\tau_{\rm 0} = \frac{0.75\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.109\,{\rm &micro; s}}
 
  \hspace{0.05cm},$$
 
  \hspace{0.05cm},$$
* für Städte und Vorote (<i>Typical Urban</i>, <b>TU</b>) mit $\tau_{&ndash;30} = 6.9 \ \rm \mu s$:
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* für Städte und Vorote (<i>Typical Urban</i>, <b>TU</b>) mit $\tau_{&ndash;30} = 6.9 \ \rm &micro; s$:
:$$\tau_{\rm 0} = \frac{6.9\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 1\,{\rm \mu s}}
+
:$$\tau_{\rm 0} = \frac{6.9\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 1\,{\rm &micro; s}}
 
  \hspace{0.05cm},$$
 
  \hspace{0.05cm},$$
  
  
 
'''(2)'''&nbsp; In der [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]] wurde gezeigt, dass die Mehrwegeverbreitung $T_{\rm V} =\tau_0$ ist, wenn das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum entsprechend ${\rm e}^{-\tau/\tau_0}$ exponentiell abfällt. Es gilt demnach
 
'''(2)'''&nbsp; In der [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]] wurde gezeigt, dass die Mehrwegeverbreitung $T_{\rm V} =\tau_0$ ist, wenn das Verzögerungs&ndash;Leistungsdichtespektrum entsprechend ${\rm e}^{-\tau/\tau_0}$ exponentiell abfällt. Es gilt demnach
* für &bdquo;Rural Area&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 0.109 \ \rm \mu s}$,
+
* für &bdquo;Rural Area&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 0.109 \ \rm &micro; s}$,
* für &bdquo;Typical Urban&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 1 \ \rm \mu s}$.
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* für &bdquo;Typical Urban&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 1 \ \rm &micro; s}$.
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'''(3)'''&nbsp; In der  [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe A2.7]] wurde auch gezeigt, dass für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \approx 0.276/\tau_0$ gilt. Daraus folgt:
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*$B_{\rm K} \ \underline {\approx 2500 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Rural Area&rdquo;),
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* $B_{\rm K} \ \underline {\approx 276 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Typical Union&rdquo;).
  
  
'''(3)'''&nbsp; In der  [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe A2.7]] wurde auch gezeigt, dass für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \approx 0.276/\tau_0$ gilt. Daraus folgt $B_{\rm K} \ \underline {\approx 2500 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Rural Area&rdquo;) bzw. $B_{\rm K} \ \underline {\approx 276 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Typical Union&rdquo;).
 
  
  
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'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung ist ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 5.001 \ \rm \mu s)/{\it \Phi}_0 \hspace{0.15cm}\underline{\approx0.5}$. Dagegen gilt für geringfügig kleineres $\tau$ (zum Beispiel $\tau = 4.999 \ \rm \mu s$) mit guter Näherung:
+
 
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4.999\,{\rm \mu s})}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -{4.999\,{\rm \mu s}}/{ 1\,{\rm \mu s}}}  
+
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der angegebenen Gleichung ist ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 5.001 \ \rm &micro; s)/{\it \Phi}_0 \hspace{0.15cm}\underline{\approx0.5}$.  
 +
*Dagegen gilt für geringfügig kleineres $\tau$ (zum Beispiel $\tau = 4.999 \ \rm &micro; s$) mit guter Näherung:
 +
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4.999\,{\rm \mu s})}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -{4.999\,{\rm &micro; s}}/{ 1\,{\rm \mu s}}}  
 
  \approx {\rm e}^{-5} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.00674 }\hspace{0.05cm}.$$
 
  \approx {\rm e}^{-5} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.00674 }\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Für die Leistung $P_1$ aller Signalanteile mit Verzögerungszeiten zwischen $0$ und $5 \ \rm \mu s$ gilt:
+
'''(6)'''&nbsp; Für die Leistung $P_1$ aller Signalanteile mit Verzögerungszeiten zwischen $0$ und $5 \ \rm &nbsp; s$ gilt:
 
:$$P_1 =  {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{5\,{\rm \mu s}} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm}
 
:$$P_1 =  {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{5\,{\rm \mu s}} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm}
 
  {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{ -{\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  
 
  {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{ -{\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  
 
  = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0 \hspace{0.05cm}.$$
 
  = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0 \hspace{0.05cm}.$$
  
Für den zweiten Anteil erhält man:
+
*Für den zweiten Anteil erhält man:
:$$P_2 =  \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{5\,{\rm \mu s}}^{\infty} {\rm exp}[ \frac{5\,{\rm \mu s} -\tau}{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm}  
+
:$$P_2 =  \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{5\,{\rm &micro; s}}^{\infty} {\rm exp}[ \frac{5\,{\rm &micro; s} -\tau}{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm}  
 
  \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  
 
  \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  
 
  = \frac{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}{2} \hspace{0.05cm}. $$
 
  = \frac{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}{2} \hspace{0.05cm}. $$
  
Dementsprechend beträgt der prozentuale Anteil des ersten Anteils:
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*Entsprechend beträgt der prozentuale Anteil des ersten Anteils:
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[[Datei:P_ID2184__Mob_A_2_8f.png|right|frame|Verzögerungs–Leistungsdichte der COST–Profile &nbsp;${\rm BU}$&nbsp;  und &nbsp;${\rm HT}$]]
 
:$$\frac{P_1}{P_1+ P_2} =  \frac{2}{3} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 66.7\%}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\frac{P_1}{P_1+ P_2} =  \frac{2}{3} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 66.7\%}\hspace{0.05cm}.$$
[[Datei:P_ID2184__Mob_A_2_8f.png|right|frame|Verzögerungs–Leistungsdichte der COST–Profile „BU”  und „HT”]]
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Die Grafik zeigt ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ in linearem Maßstab:  
 
Die Grafik zeigt ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ in linearem Maßstab:  
 
*Eingezeichnet sind die Flächen $P_1$ und $P_2$.  
 
*Eingezeichnet sind die Flächen $P_1$ und $P_2$.  
*Die linke Abbildung gilt für &bdquo;Bad Urban&rdquo;, die rechte für &bdquo;Hilly Terrain&rdquo;.  
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*Die linke Abbildung gilt für &nbsp;${\rm BU}$, die rechte für &nbsp;${\rm HT}$.  
*Bei Letzterem beträgt der Leistungsanteil aller späteren Echos (später als $15 \ \rm \mu s$) nur etwa $12\%$.
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*Bei Letzterem beträgt der Leistungsanteil aller späteren Echos (später als $15 \ \rm &micro; s$) nur etwa $12\%$.
 
<br clear=all>
 
<br clear=all>
'''(7)'''&nbsp; Die Fläche über das gesamte Leistungsdichtespektrum ergibt $P = 1.5 \cdot \phi_0 \cdot \tau_0$. Normiert man ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ auf diesen Wert, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm V}(\tau)$, wie in der nächsten Grafik dargestellt (linkes Diagramm).
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'''(7)'''&nbsp; Die Fläche über das gesamte Leistungsdichtespektrum ergibt $P = 1.5 \cdot \phi_0 \cdot \tau_0$.  
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*Normiert man ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ auf diesen Wert, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm V}(\tau)$, wie in der nächsten Grafik dargestellt (linkes Diagramm).
  
[[Datei:P_ID2185__Mob_A_2_8g.png|right|frame|Verzögerungs–WDF des Profils „BU”]]
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[[Datei:P_ID2185__Mob_A_2_8g.png|right|frame|Verzögerungs–WDF des Profils &nbsp;${\rm BU}$]]
  
Mit $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und $\tau_5 = 5 \ \rm \mu s$ ergibt sich somit für den linearen Mittelwert:
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*Mit $\tau_0 = 1 \ \rm &micro; s$,&nbsp; $\tau_5 = 5 \ \rm &micro; s$ ergibt sich für den linearen Mittelwert:
 
:$$m_{\rm V}=  \int_{0}^{\infty} f_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau$$
 
:$$m_{\rm V}=  \int_{0}^{\infty} f_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}=  \frac{2}{3\tau_0} \cdot  \int_{0}^{\tau_5} \tau \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \  + $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}=  \frac{2}{3\tau_0} \cdot  \int_{0}^{\tau_5} \tau \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \  + $$
 
:$$ \hspace{1.7cm}+\  \frac{1}{3\tau_0} \cdot  \int_{\tau_5}^{\infty} \tau \cdot {\rm e}^{ (\tau_5 -\tau)/\tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}. $$
 
:$$ \hspace{1.7cm}+\  \frac{1}{3\tau_0} \cdot  \int_{\tau_5}^{\infty} \tau \cdot {\rm e}^{ (\tau_5 -\tau)/\tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}. $$
  
Das erste Interal ist nach der angegebenen Gleichung gleich $2\tau_0/3$.  
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*Das erste Interal ist nach der angegebenen Gleichung gleich $2\tau_0/3$.  
  
Mit der Substitution $\tau' = \tau \, -\tau_5$ erhält man schließlich unter Verwendung der vorne angegebenen Integrallösungen:
+
*Mit der Substitution $\tau' = \tau \, -\tau_5$ erhält man schließlich unter Verwendung der vorne angegebenen Integrallösungen:
 
:$$m_{\rm V} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2\tau_0}{3} +  \frac{1}{3\tau_0}  \cdot  \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau') \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}}  \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' =  \frac{2\tau_0}{3} +   
 
:$$m_{\rm V} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2\tau_0}{3} +  \frac{1}{3\tau_0}  \cdot  \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau') \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}}  \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' =  \frac{2\tau_0}{3} +   
 
  \frac{\tau_5}{3\tau_0}  \cdot  \int_{0}^{\infty} \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}}  \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +  
 
  \frac{\tau_5}{3\tau_0}  \cdot  \int_{0}^{\infty} \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}}  \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +  
 
  \frac{1}{3\tau_0}  \cdot  \int_{0}^{\infty} \tau' \cdot \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
 
  \frac{1}{3\tau_0}  \cdot  \int_{0}^{\infty} \tau' \cdot \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}= \frac{2\tau_0}{3} +  \frac{\tau_5}{3}+  \frac{\tau_0}{3} = \tau_0 +  \frac{\tau_5}{3}
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}= \frac{2\tau_0}{3} +  \frac{\tau_5}{3}+  \frac{\tau_0}{3} = \tau_0 +  \frac{\tau_5}{3}
  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.667\,{\rm \mu s}}
+
  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.667\,{\rm &micro; s}}
 
  \hspace{0.05cm}. $$
 
  \hspace{0.05cm}. $$
  
Die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der mittelwertbefreiten Zufallsgröße $\theta = \tau \, &ndash;m_{\rm V}$, deren WDF in der rechten Grafik dargestellt ist. Daraus lässt sich $T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}$ angeben.
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*Die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der mittelwertbefreiten Zufallsgröße $\theta = \tau \, &ndash;m_{\rm V}$, deren WDF in der rechten Grafik dargestellt ist.  
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*Daraus lässt sich $T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}$ angeben.
  
Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $\tau$ zu berechnen und daraus die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ mit dem Satz von Steiner. Mit den bereits oben beschriebenen Substitutionen und Näherungen erhält man so:
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*Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $\tau$ zu berechnen und daraus die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ mit dem Satz von Steiner.  
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*Mit den bereits oben beschriebenen Substitutionen und Näherungen erhält man so:
 
:$$m_{\rm V2} \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm}    \frac{2}{3\tau_0} \cdot  \int_{0}^{\infty} \tau^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  +  \frac{1}{3\tau_0} \cdot  \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau')^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}}  \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
 
:$$m_{\rm V2} \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm}    \frac{2}{3\tau_0} \cdot  \int_{0}^{\infty} \tau^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  +  \frac{1}{3\tau_0} \cdot  \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau')^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}}  \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V2} = \frac{2}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{\tau^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  +  \frac{\tau_5^2}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +\frac{2\tau_5}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{\tau '}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' + \frac{1}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{{\tau '}^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau '
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V2} = \frac{2}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{\tau^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau  +  \frac{\tau_5^2}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +\frac{2\tau_5}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{\tau '}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' + \frac{1}{3} \cdot  \int_{0}^{\infty} \frac{{\tau '}^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau '
 
   \hspace{0.05cm}. $$
 
   \hspace{0.05cm}. $$
  
Mit den vorne angegebenen Integralen folgt daraus:
+
*Mit den vorne angegebenen Integralen folgt daraus:
 
:$$m_{\rm V2}  \approx  \frac{2}{3} \cdot 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} \cdot 1 + \frac{2\tau_5}{3} \cdot \tau_0 +   
 
:$$m_{\rm V2}  \approx  \frac{2}{3} \cdot 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} \cdot 1 + \frac{2\tau_5}{3} \cdot \tau_0 +   
 
  \frac{1}{3} \cdot 2 \tau_0^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3}  + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3} $$
 
  \frac{1}{3} \cdot 2 \tau_0^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3}  + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3} $$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma_{\rm V}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} m_{\rm V2} - m_{\rm V}^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3}  + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3}  
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma_{\rm V}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} m_{\rm V2} - m_{\rm V}^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3}  + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3}  
- (\tau_0 +  \frac{\tau_5}{3})^2 =\tau_0^2 +  \frac{2\tau_5^2}{9} = (1\,{\rm \mu s})^2 + \frac{2\cdot (5\,{\rm \mu s})^2}{9} = 6.55\,({\rm \mu s})^2$$
+
- (\tau_0 +  \frac{\tau_5}{3})^2 =\tau_0^2 +  \frac{2\tau_5^2}{9} = (1\,{\rm &micro; s})^2 + \frac{2\cdot (5\,{\rm &micro; s})^2}{9} = 6.55\,({\rm &micro; s})^2$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.56\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.56\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
  
 
In obiger Grafik sind die Kenngrößen $T_{\rm V}$ und $\sigma_{\rm V}$ eingezeichnet.
 
In obiger Grafik sind die Kenngrößen $T_{\rm V}$ und $\sigma_{\rm V}$ eingezeichnet.

Version vom 14. April 2019, 12:36 Uhr

COST–Verzögerungsmodelle

Rechts sind vier Verzögerungs–Leistungsdichtespektren als Funktion der Verzögerungszeit  $\tau$  logarithmisch aufgetragen:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} ({{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0}) \hspace{0.05cm},$$

Hierbei ist als Abkürzung  $\phi_0 = \phi_{\rm V}(\tau = 0)$  verwendet. Es handelt sich um die so genannten COST–Verzögerungsmodelle.

Die obere Skizze beinhaltet die beiden Profile  ${\rm RA}$  (Rural Area) und  ${\rm TU}$  (Typical Urban). Für diese gilt folgender Verlauf:

$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.05cm}.$$

Der Wert des Parameters  $\tau_0$  (Zeitkonstante der AKF) soll in der Teilaufgabe (1) aus der Grafik ermittelt werden. Beachten Sie hierzu die angegebenen  $\tau$–Werte für  $-30 \ \rm dB$:

$${\rm RA}\text{:}\hspace{0.15cm}\tau_{-30} = 0.75\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm TU}\text{:}\hspace{0.15cm}\tau_{-30} = 6.9\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}. $$

Die untere Grafik gilt für ungünstigere Verhältnisse in

  • städtischen Gebieten (Bad Urban,  ${\rm BU}$):
$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \\ 0.5 \cdot {\rm e}^{ (5\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.55cm} {\rm Bereich}\hspace{0.15cm}0 < \tau < 5\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{-0.15cm} {\,\, \,\, \rm Bereich}\hspace{0.15cm}5\,{\rm µ s} < \tau < 10\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}, \end{array}$$
  • in ländlichen Gebieten (Hilly Terrain,  ${\rm HT}$):
$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \\ {0.04 \cdot \rm e}^{ (15\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.55cm} {\rm Bereich}\hspace{0.15cm}0 < \tau < 2\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.286\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}, \\ \hspace{-0.35cm} {\rm Bereich}\hspace{0.15cm}15\,{\rm µ s} < \tau < 20\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}. \end{array}$$


Für die Modelle   ${\rm RA}$,  ${\rm TU}$  und   ${\rm BU}$  sollen folgende Kenngrößen ermittelt werden:

  • Die  Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  ist die Standardabweichung der Verzögerungszeit  $\tau$.
    Hat das Verzögerungs–LDS  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  einen exponentiellen Verlauf wie bei den Profilen  ${\rm RA}$  und  ${\rm TU}$, so gilt  $T_{\rm V} = \tau_0$, siehe  Aufgabe 2.7.
  • Die Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  ist der  $\Delta f$–Wert, bei dem die Frequenz–Korrelationsfunktion  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgefallen ist.
    Bei exponentiellem  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  wie bei  ${\rm RA}$  und  ${\rm TU}$  ist das Produkt  $T_{\rm V} \cdot B_{\rm K} \approx 0.276$, siehe  Aufgabe 2.7.




Hinweise:

$$\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm} \frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\tau} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = \tau_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm} \frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \hspace{-0.15cm}{\tau^2} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 2\tau_0^2\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Geben Sie den LDS–Parameter  $\tau_0$  für die Profile  ${\rm RA}$  und  ${\rm TU}$  an.

${\rm RA} \text{:} \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ $

$\ \rm µ s$
${\rm TU} \text{:} \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Wie groß ist die Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  dieser Kanäle?

${\rm RA} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$
${\rm TU} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$

3

Welche Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  stellen diese Kanäle bereit?

${\rm RA} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ $

$\ \rm kHz$
${\rm TU} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ $

$\ \rm kHz$

4

Bei welchem Kanal spielt Frequenzselektivität eine größere Rolle?

Bei „Rural Area”  $({\rm RA})$.
Bei „Typical Urban”  $({\rm TU})$.

5

Wie groß ist die (normierte) Leistungsdichte für „Bad Urban”  $({\rm BU})$   sowie   $\tau = 5.001 \ \rm µ s$  bzw.  $\tau = 4.999 \ \rm µ s$?

${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 5.001 \ \rm µ s) \ = \ $

$\ \cdot {\it \Phi}_0$
${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4.999 \ \rm µ s) \ = \ $

$\ \cdot {\it \Phi}_0$

6

Wir betrachten weiterhin  ${\rm BU}$. Wie groß ist der prozentuale Leistungsanteil  $P_1$  der Signalanteile zwischen  $0$  und  $5 \ \rm µ s$?

$P_1/(P_1 + P_2) \ = \ $

$\ \rm \%$

7

Berechnen Sie die Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  des Profils  ${\rm BU}$. Hinweis: Die mittlere Laufzeit beträgt  $m_{\rm V} = E[\tau] = 2.667 \ \rm µ s$.

$T_{\rm V} \ = \ $

$\ \rm µ s$


Musterlösung

(1)  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man folgende Eigenschaft:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} (\frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau_{\rm -30})}{{\it \Phi}_0}) = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp}[ -\frac{\tau_{\rm -30}}{ \tau_{\rm 0}}]\right ] \stackrel {!}{=} -30\,{\rm dB}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm lg}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp}[ -\frac{\tau_{\rm -30}}{ \tau_{\rm 0}}]\right ] = -3 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp}[ -\frac{\tau_{\rm -30}}{ \tau_{\rm 0}}]\right ] = -3 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(10)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \tau_{\rm 0} = \frac{\tau_{\rm -30}}{ 3 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(10)}\approx \frac{\tau_{\rm -30}}{ 6.9} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $\tau_{-30}$ die Verzögerungszeit, die zum logarithmischen Ordinatenwert $-30 \ \rm dB$ führt. Damit erhält man

  • für ländliches Gebiet (Rural Area, RA) mit $\tau_{–30} = 0.75 \ \rm µ s$:
$$\tau_{\rm 0} = \frac{0.75\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.109\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm},$$
  • für Städte und Vorote (Typical Urban, TU) mit $\tau_{–30} = 6.9 \ \rm µ s$:
$$\tau_{\rm 0} = \frac{6.9\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 1\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm},$$


(2)  In der Aufgabe 2.7 wurde gezeigt, dass die Mehrwegeverbreitung $T_{\rm V} =\tau_0$ ist, wenn das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum entsprechend ${\rm e}^{-\tau/\tau_0}$ exponentiell abfällt. Es gilt demnach

  • für „Rural Area”: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 0.109 \ \rm µ s}$,
  • für „Typical Urban”: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 1 \ \rm µ s}$.


(3)  In der Aufgabe A2.7 wurde auch gezeigt, dass für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \approx 0.276/\tau_0$ gilt. Daraus folgt:

  • $B_{\rm K} \ \underline {\approx 2500 \ \rm kHz}$ („Rural Area”),
  • $B_{\rm K} \ \underline {\approx 276 \ \rm kHz}$ („Typical Union”).



(4)  Richtig ist hier der zweite Lösungsvorschlag:

  • Frequenzselektivität des Mobilfunkkanals ist immer dann gegeben, wenn die Signalbandbreite $B_{\rm S}$ größer ist als die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ (oder zumindest in der gleichen Größenordnung liegt).
  • Je kleiner $B_{\rm K}$ ist, um so häufiger ist dies der Fall.


(5)  Entsprechend der angegebenen Gleichung ist ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 5.001 \ \rm µ s)/{\it \Phi}_0 \hspace{0.15cm}\underline{\approx0.5}$.

  • Dagegen gilt für geringfügig kleineres $\tau$ (zum Beispiel $\tau = 4.999 \ \rm µ s$) mit guter Näherung:
$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4.999\,{\rm \mu s})}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -{4.999\,{\rm µ s}}/{ 1\,{\rm \mu s}}} \approx {\rm e}^{-5} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.00674 }\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Für die Leistung $P_1$ aller Signalanteile mit Verzögerungszeiten zwischen $0$ und $5 \ \rm   s$ gilt:

$$P_1 = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{5\,{\rm \mu s}} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm} {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{ -{\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Für den zweiten Anteil erhält man:
$$P_2 = \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{5\,{\rm µ s}}^{\infty} {\rm exp}[ \frac{5\,{\rm µ s} -\tau}{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm} \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = \frac{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}{2} \hspace{0.05cm}. $$
  • Entsprechend beträgt der prozentuale Anteil des ersten Anteils:
Verzögerungs–Leistungsdichte der COST–Profile  ${\rm BU}$  und  ${\rm HT}$
$$\frac{P_1}{P_1+ P_2} = \frac{2}{3} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 66.7\%}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ in linearem Maßstab:

  • Eingezeichnet sind die Flächen $P_1$ und $P_2$.
  • Die linke Abbildung gilt für  ${\rm BU}$, die rechte für  ${\rm HT}$.
  • Bei Letzterem beträgt der Leistungsanteil aller späteren Echos (später als $15 \ \rm µ s$) nur etwa $12\%$.


(7)  Die Fläche über das gesamte Leistungsdichtespektrum ergibt $P = 1.5 \cdot \phi_0 \cdot \tau_0$.

  • Normiert man ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ auf diesen Wert, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm V}(\tau)$, wie in der nächsten Grafik dargestellt (linkes Diagramm).
Verzögerungs–WDF des Profils  ${\rm BU}$
  • Mit $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$,  $\tau_5 = 5 \ \rm µ s$ ergibt sich für den linearen Mittelwert:
$$m_{\rm V}= \int_{0}^{\infty} f_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}= \frac{2}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\tau_5} \tau \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \ + $$
$$ \hspace{1.7cm}+\ \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{\tau_5}^{\infty} \tau \cdot {\rm e}^{ (\tau_5 -\tau)/\tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}. $$
  • Das erste Interal ist nach der angegebenen Gleichung gleich $2\tau_0/3$.
  • Mit der Substitution $\tau' = \tau \, -\tau_5$ erhält man schließlich unter Verwendung der vorne angegebenen Integrallösungen:
$$m_{\rm V} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2\tau_0}{3} + \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau') \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' = \frac{2\tau_0}{3} + \frac{\tau_5}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' + \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \tau' \cdot \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}= \frac{2\tau_0}{3} + \frac{\tau_5}{3}+ \frac{\tau_0}{3} = \tau_0 + \frac{\tau_5}{3} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.667\,{\rm µ s}} \hspace{0.05cm}. $$
  • Die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der mittelwertbefreiten Zufallsgröße $\theta = \tau \, –m_{\rm V}$, deren WDF in der rechten Grafik dargestellt ist.
  • Daraus lässt sich $T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}$ angeben.
  • Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $\tau$ zu berechnen und daraus die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ mit dem Satz von Steiner.
  • Mit den bereits oben beschriebenen Substitutionen und Näherungen erhält man so:
$$m_{\rm V2} \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \tau^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau + \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau')^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V2} = \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\tau^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau + \frac{\tau_5^2}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +\frac{2\tau_5}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\tau '}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' + \frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{{\tau '}^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' \hspace{0.05cm}. $$
  • Mit den vorne angegebenen Integralen folgt daraus:
$$m_{\rm V2} \approx \frac{2}{3} \cdot 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} \cdot 1 + \frac{2\tau_5}{3} \cdot \tau_0 + \frac{1}{3} \cdot 2 \tau_0^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma_{\rm V}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} m_{\rm V2} - m_{\rm V}^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3} - (\tau_0 + \frac{\tau_5}{3})^2 =\tau_0^2 + \frac{2\tau_5^2}{9} = (1\,{\rm µ s})^2 + \frac{2\cdot (5\,{\rm µ s})^2}{9} = 6.55\,({\rm µ s})^2$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.56\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$

In obiger Grafik sind die Kenngrößen $T_{\rm V}$ und $\sigma_{\rm V}$ eingezeichnet.