Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Mehrwege-Szenario: Unterschied zwischen den Versionen

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In [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion| Aufgabe A2.5]] war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion $s(\tau_0, f_{\rm D})$ lautete:
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In  [[Aufgaben:2.5_Scatter-Funktion| Aufgabe 2.5]]  war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion  $s(\tau_0, f_{\rm D})$  lautete:
 
:$$s(\tau_0, f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$
 
:$$s(\tau_0, f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$
 
:$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ -  \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz})  
 
:$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ -  \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz})  
 
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''Hinweis:'' In unserem Lerntutorial wird $s(\tau_0, \hspace{0.05cm}  f_{\rm D})$ auch mit $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ bezeichnet.
 
  
Wir haben hier die Verzögerungsvariable $\tau$ durch $\tau_0$ ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable $\tau_0$ die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit $\tau_1$ des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch $\tau_0 = 0$ gekennzeichnet.
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''Hinweis:''   In unserem Lerntutorial wird  $s(\tau_0, \hspace{0.05cm}  f_{\rm D})$  auch mit  $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$  bezeichnet.  
  
Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich dieses Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:
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Wir haben hier die Verzögerungsvariable  $\tau$  durch  $\tau_0$  ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable  $\tau_0$  die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit  $\tau_1$  des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch  $\tau_0 = 0$  gekennzeichnet.
* Gesendet wird eine einzige Frequenz $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
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* Der mobile Empfänger $\rm (E)$ ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender $\rm (S)$ zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
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Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:
* Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um $\pi$.
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* Gesendet wird eine einzige Frequenz  $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
* ${\rm S}_2$ und ${\rm S}_3$ sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel $\alpha_2$ und $\alpha_3$ der Nebenpfade ermittelt werden können.
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* Der mobile Empfänger  $\rm (E)$  ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender  $\rm (S)$  zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
* Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz $f_{\rm S}$, dem Winkel $\alpha$, der Geschwindigkeit $\upsilon$ und der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
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* Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um  $\pi$.
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* ${\rm S}_2$  und  ${\rm S}_3$  sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel  $\alpha_2$  und  $\alpha_3$  der Nebenpfade ermittelt werden können.
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* Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz  $f_{\rm S}$, dem Winkel  $\alpha$, der Geschwindigkeit  $v$  und der Lichtgeschwindigkeit  $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
 
:$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha)
 
:$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha)
 
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* Die Dämpfungsfaktoren $k_1$, $k_2$ und $k_3$ sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen $d_1$, $d_2$ und $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz $d$ ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit $d$.
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* Die Dämpfungsfaktoren  $k_1$,  $k_2$  und  $k_3$  sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen  $d_1$,  $d_2$  und  $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$.
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*Das bedeutet:   Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz  $d$  ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit  $d$.
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| Das GWSSUS–Kanalmodell]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf das [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung#Gebr.C3.A4uchliches_Pfadverlustmodell| Pfadverlustmodell]] und den [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplereffekt]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf das  [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung#Gebr.C3.A4uchliches_Pfadverlustmodell| Pfadverlustmodell]]  und den  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh-Prozesses#Dopplerfrequenz_und_deren_Verteilung| Dopplereffekt]].
 
   
 
   
  
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===Fragebogen===
 
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{Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei $\tau = 0$ und $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Welche Aussagen gelten für den Empfänger?
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- Der Empfänger steht.
 
- Der Empfänger steht.
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$v \ = \ ${ 54 3% } $\ \rm km/h$
 
$v \ = \ ${ 54 3% } $\ \rm km/h$
  
{Welche Aussagen gelten für den Dirac bei $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und  $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?
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+ Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
 
+ Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
 
- Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
 
- Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
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- Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $60^\circ$.
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- Der Winkel&nbsp; $\alpha_3$&nbsp; (siehe Grafik) beträgt&nbsp; $60^\circ$.
+ Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $240^\circ$.
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+ Der Winkel&nbsp; $\alpha_3$&nbsp; beträgt&nbsp; $240^\circ$.
  
 
{Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?
 
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Version vom 12. April 2019, 16:32 Uhr

Mobilfunk–Szenario mit drei Pfaden

In  Aufgabe 2.5  war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion  $s(\tau_0, f_{\rm D})$  lautete:

$$s(\tau_0, f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$
$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ - \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$


Hinweis:   In unserem Lerntutorial wird  $s(\tau_0, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$  auch mit  $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$  bezeichnet.

Wir haben hier die Verzögerungsvariable  $\tau$  durch  $\tau_0$  ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable  $\tau_0$  die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit  $\tau_1$  des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch  $\tau_0 = 0$  gekennzeichnet.

Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich diese Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:

  • Gesendet wird eine einzige Frequenz  $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
  • Der mobile Empfänger  $\rm (E)$  ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender  $\rm (S)$  zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
  • Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um  $\pi$.
  • ${\rm S}_2$  und  ${\rm S}_3$  sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel  $\alpha_2$  und  $\alpha_3$  der Nebenpfade ermittelt werden können.
  • Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz  $f_{\rm S}$, dem Winkel  $\alpha$, der Geschwindigkeit  $v$  und der Lichtgeschwindigkeit  $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Dämpfungsfaktoren  $k_1$,  $k_2$  und  $k_3$  sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen  $d_1$,  $d_2$  und  $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$.
  • Das bedeutet:   Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz  $d$  ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit  $d$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei  $\tau = 0$  und  $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Welche Aussagen gelten für den Empfänger?

Der Empfänger steht.
Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.

2

Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?

$v \ = \ $

$\ \rm km/h$

3

Welche Aussagen gelten für den Dirac bei  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  und  $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?

Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
Der Winkel  beträgt  $30^\circ$.
Der Winkel  beträgt  $60^\circ$.

4

Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?

Für diesen gilt  $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$  und  $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$.
Der Winkel  $\alpha_3$  (siehe Grafik) beträgt  $60^\circ$.
Der Winkel  $\alpha_3$  beträgt  $240^\circ$.

5

Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?

Es gilt  $d_3 = d_2$.
Es gilt  $k_3 = k_2$.
Es gilt  $\tau_3 = \tau_2$.

6

Wie groß ist die Laufzeitdifferenz  $\Delta d = d_2 - d_1$?

$\Delta d \ = \ $

$\ \rm m$

7

Welches Verhältnis besteht zwischen  $d_2$  und  $d_1$?

$d_2/d_1 \ = \ $

8

Geben Sie die Distanzen  $d_1$  und  $d_2$  an.

$d_1 \ = \ $

$\ \rm m$
$d_2 \ = \ $

$\ \rm m$


Musterlösung

(1)  Die Dopplerfrequenz ist für $\tau_0$ positiv. Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt   ⇒   Aussage 2.


(2)  Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winkel $\alpha = 0$.

$$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man für die Geschwindigkeit

$$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s} \hspace{0.1cm} \underline {= 54 \,{\rm km/h}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.
  • Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 – E}$ beträgt $60^\circ$:
$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} } \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3. Aus $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 ± \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.


(5)  Alle Aussagen stimmen:

  • Die beiden Diracfunktionen bei $± 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
  • Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch $d_3 = d_2$ und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.


(6)  Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht. Damit ergibt sich die Längendifferenz:

$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{–6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$


(7)  Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt. Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$.

Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die $180^\circ$–Phasendrehung auf den Nebenpfaden. Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = \sqrt{0.5}$ und $k_2 = -0.5$ ablesen. Daraus folgt:

$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414} \hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante $K$ ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.


(8)  Aus $d_2/d_1 = 2^{–0.5}$ und $\Delta d = d_2 \, – d_1 = 300 \ \rm m$ folgt schließlich:

$$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2} - 1} \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \hspace{0.15cm} \underline {= 1024\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}. $$