Aufgaben:Aufgabe 2.11: Hüllkurvendemodulation eines ESB-Signals: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals
 
Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals
 
:$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$
 
:$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$
gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulators]] in den NF-Bereich zurückgesetzt
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gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulators]] in den NF-Bereich zurückgesetzt.
  
Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal  $r(t)$ identisch mit dem Sendesignal  $s(t)$ ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis
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Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal  &nbsp;$r(t)$&nbsp; identisch mit dem Sendesignal  &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis
 
:$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$
 
:$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$
 
kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:
 
kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:
 
:$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$
 
:$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$
  
Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter $μ$:
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Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter &nbsp;$μ$:
 
:$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$
In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve a(t) für $μ = 1$ und $μ = 0.5$ dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.
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In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; und &nbsp;$μ = 0.5$&nbsp; dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.
  
 
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*Das periodische Signal &nbsp;$a(t)$&nbsp; kann durch eine [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]] angenähert werden:
Das periodische Signal $a(t)$ kann durch eine [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]] angenähert werden:
 
 
:$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$
 
:$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$
Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für $μ = 1$ ergaben sich folgende Werte:
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*Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; ergaben sich folgende Werte:
 
:$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
Entsprechend ergab die Simulation mit $μ = 0.5$:
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*Entsprechend ergab die Simulation mit &nbsp;$μ = 0.5$:
 
:$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung  vernachlässigt werden. Das Sinkensignal $v(t)$ ergibt sich aus $a(t)$ wie folgt:
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:Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung  vernachlässigt werden.  
:$$v(t) = 2 \cdot [a(t ) - A_{\rm 0}] \hspace{0.05cm}.$$
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*Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$a(t)$&nbsp; wie folgt:
Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten $A_0$ den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.
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:$$v(t) = 2 \cdot \big [a(t ) - A_{\rm 0} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
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:Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten &nbsp;$A_0$&nbsp; den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.
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Für die Fragen '''(1)''' bis '''(3)''' wird &nbsp;$A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $μ = 1$&nbsp; vorausgesetzt, während ab Frage '''(4)''' für den Parameter &nbsp;$μ = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$&nbsp; gelten soll.
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Für die Teilaufgaben (1) bis (3) wird $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ und somit $μ = 1$ vorausgesetzt, während ab Frage (4) für den Parameter $μ = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ gelten soll.
 
  
  
 
''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]].
*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation#Seitenband.E2.80.93zu.E2.80.93Tr.C3.A4ger.E2.80.93Verh.C3.A4ltnis|Seitenband-zu-Träger-Verhältnis]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation#Seitenband.E2.80.93zu.E2.80.93Tr.C3.A4ger.E2.80.93Verh.C3.A4ltnis|Seitenband-zu-Träger-Verhältnis]].
*Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$ der Klirrfaktor $K ≈ μ/4$ beträgt.
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*Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis &nbsp;$μ$&nbsp; der Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ μ/4$&nbsp; beträgt.
 
   
 
   
  
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{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals $v(t)$ für $μ = 1$ an.
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{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals &nbsp;$v(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; an.
 
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$v_{\rm max} \ = \ $ { 1.454 3% } $\ \rm V$
 
$v_{\rm max} \ = \ $ { 1.454 3% } $\ \rm V$
 
$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.62--2.48 } $\ \rm V$
 
$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.62--2.48 } $\ \rm V$
  
{Berechnen Sie den Klirrfaktor für $μ = 1$.
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{Berechnen Sie den Klirrfaktor für &nbsp;$μ = 1$.
 
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$K \ = \ $ { 22.3 3%  } $\ \text{%}$
 
$K \ = \ $ { 22.3 3%  } $\ \text{%}$
  
{Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal $v(t)$?
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{Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal &nbsp;$v(t)$?
 
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+ Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
 
+ Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
- Der Gleichsignalanteil ${\rm Ε}[v(t)] = 0$.
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- Der Gleichsignalanteil &nbsp;${\rm Ε}\big[v(t)\big ] = 0$.
  
{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals $v(t)$ für $μ = 0.5$ an.
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{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals &nbsp;$v(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 0.5$&nbsp; an.
 
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$v_{\rm max} \ = \ $ { 0.872 3% } $\ \rm V$
 
$v_{\rm max} \ = \ $ { 0.872 3% } $\ \rm V$
 
$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.19--2.07 } $\ \rm V$
 
$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.19--2.07 } $\ \rm V$
  
{Berechnen Sie den Klirrfaktor für $μ = 0.5$.
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{Berechnen Sie den Klirrfaktor für &nbsp;$μ = 0.5$.
 
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$K \ = \ $ { 12 3% } $\ \text{%}$  
 
$K \ = \ $ { 12 3% } $\ \text{%}$  
  
{Geben Sie eine obere Schranke $K_{\rm max}$ für den Klirrfaktor bei ZSB–AM mit $m = 0.5$ und Hüllkurvendemodulation an, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.
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{Wie lautet die obere Schranke &nbsp;$K_{\rm max}$&nbsp; für den Klirrfaktor bei ZSB–AM mit &nbsp;$m = 0.5$&nbsp; und Hüllkurvendemodulation, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.
 
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$K_{\rm max} \ = \ ${ 6.25 3% } $\ \text{%}$  
 
$K_{\rm max} \ = \ ${ 6.25 3% } $\ \text{%}$  

Version vom 17. Dezember 2018, 14:42 Uhr

(Normierte) Hüllkurve bei der
Einseitenband–Modulation

Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals

$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$

gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines Hüllkurvendemodulators in den NF-Bereich zurückgesetzt.

Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal  $r(t)$  identisch mit dem Sendesignal  $s(t)$  ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis

$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$

kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$

Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter  $μ$:

$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve  $a(t)$  für  $μ = 1$  und  $μ = 0.5$  dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.

  • Das periodische Signal  $a(t)$  kann durch eine Fourierreihe angenähert werden:
$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$
  • Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für  $μ = 1$  ergaben sich folgende Werte:
$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
  • Entsprechend ergab die Simulation mit  $μ = 0.5$:
$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung vernachlässigt werden.
  • Das Sinkensignal  $v(t)$  ergibt sich aus  $a(t)$  wie folgt:
$$v(t) = 2 \cdot \big [a(t ) - A_{\rm 0} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten  $A_0$  den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.


Für die Fragen (1) bis (3) wird  $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$   ⇒   $μ = 1$  vorausgesetzt, während ab Frage (4) für den Parameter  $μ = 0.5$   ⇒   $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$  gelten soll.



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einseitenbandmodulation.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Seitenband-zu-Träger-Verhältnis.
  • Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis  $μ$  der Klirrfaktor  $K ≈ μ/4$  beträgt.




Fragebogen

1

Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals  $v(t)$  für  $μ = 1$  an.

$v_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm V$
$v_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm V$

2

Berechnen Sie den Klirrfaktor für  $μ = 1$.

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

3

Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal  $v(t)$?

Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
Der Gleichsignalanteil  ${\rm Ε}\big[v(t)\big ] = 0$.

4

Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals  $v(t)$  für  $μ = 0.5$  an.

$v_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm V$
$v_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm V$

5

Berechnen Sie den Klirrfaktor für  $μ = 0.5$.

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

6

Wie lautet die obere Schranke  $K_{\rm max}$  für den Klirrfaktor bei ZSB–AM mit  $m = 0.5$  und Hüllkurvendemodulation, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.

$K_{\rm max} \ = \ $

$\ \text{%}$


Musterlösung

(1)  Der Maximalwert $a_{\rm max} = 2\ \rm V$ und der Minimalwert $a_{\rm min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:

$$ a_{\rm max} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$
$$a_{\rm min} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Für die Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:

$$ v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
$$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man:

$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$

Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25\%$.


(3)  Nur der erste Lösungsvorschlag ist richtig. Aufgrund des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators wäre der Gleichsignalanteil auch dann $0$, wenn keine Verzerrungen vorlägen.


(4)  Analog zur Teilaufgabe (1) gilt hier:

$$v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
$$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:

$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$

Die Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5\%$. Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.


(6)  Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird. Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob

  • eine ESB–AM, oder
  • eine durch denm Kanal extrem beeinträchtigte ZSB–AM

vorliegt, gibt $K_{\rm max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.

Ein Vergleich der Parameter $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ und $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$ führt zum Ergebnis:

$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$