Aufgaben:Aufgabe 3.3: Momente bei cos²-WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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Wie in [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]] und [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]] betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
 
Wie in [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]] und [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]] betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
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:$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
  
 
Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:
 
Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:
$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot  y).$$
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:$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot  y).$$
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*Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
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*Au&szlig;erhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ &nbsp;bzw.&nbsp; $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ &nbsp;bzw.&nbsp;  $f_y(y) = 0$.
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*Die beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en können als (normierte) Momentanwerte der zugeh&ouml;rigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden.
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Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt. Au&szlig;erhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ &nbsp; bzw. &nbsp; $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ &nbsp; bzw. &nbsp;  $f_y(y) = 0$.
 
  
Weiter ist anzumerken, dass die beiden Zufallsgr&ouml;&szlig;en als (normierte) Momentanwerte der zugeh&ouml;rigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden k&ouml;nnen.
 
  
  
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?  
 
{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?  
<br>Verwendet sind folgende Größen: &nbsp; $m_1$: linearer Mittelwert, $m_2$: quadratischer Mittelwert, $\sigma^2$: Varianz.
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<br>Verwendet sind folgende Größen: &nbsp; linearer Mittelwert $m_1$, quadratischer Mittelwert $m_2$, Varianz $\sigma^2$.
 
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- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 \ne 0$.
 
- $m_2 = 0$,&nbsp;&nbsp;&nbsp;falls $m_1 \ne 0$.
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{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?
 
{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?
 
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{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $x(t)$?
 
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{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?
 
{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?
 
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$m_y\ = $  { 1 3% }
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{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?
 
{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?
 
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$\sigma_y\ = $ { 0.361 3% }
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$\sigma_y\ = \ $ { 0.361 3% }
  
  
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'''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:
 
'''(3)'''&nbsp; Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
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:$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
  
  
 
Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus:
 
Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus:
$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x  +  \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
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:$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x  +  \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
  
 
Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erh&auml;lt mit $a = \pi/2$:
 
Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erh&auml;lt mit $a = \pi/2$:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6}  +  \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a  x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot  x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm}  
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:$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6}  +  \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a  x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot  x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm}  
 
\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
 
\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
  
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'''(6)'''&nbsp; Der Mittelwert &auml;ndert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegen&uuml;ber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
 
'''(6)'''&nbsp; Der Mittelwert &auml;ndert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegen&uuml;ber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$
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:$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$
 
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Version vom 8. August 2018, 14:09 Uhr

Cosinus–Quadrat–WDF und ähnliche WDF

Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:

$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$

Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:

$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$
  • Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
  • Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$  bzw.  $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$  bzw.  $f_y(y) = 0$.
  • Die beiden Zufallsgrößen können als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden.




Hinweise:

  • Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
$$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu?
Verwendet sind folgende Größen:   linearer Mittelwert $m_1$, quadratischer Mittelwert $m_2$, Varianz $\sigma^2$.

$m_2 = 0$,   falls $m_1 \ne 0$.
$m_2 = 0$,   falls $m_1 = 0$.
$m_1 = 0$,   falls $m_2 = 0$.
$m_2 > \sigma^2$,   falls $m_1 \ne 0$.
$m_1 = 0$,   falls $f_x(-x) = f_x(x)$.
$f_x(-x) = f_x(x)$,   falls $m_1 = 0$.

2

Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$?

$m_x \ = \ $

3

Wie groß ist der Effektivwert des Signals $x(t)$?

$\sigma_x \ = \ $

4

Die Zufallsgröße $y$ lässt sich aus $x$ ableiten. Welche Zuordnung gilt?

$y = 1+x/2.$
$y = 2x.$
$y = x/2-1.$

5

Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$?

$m_y\ = \ $

6

Wie groß ist der Effektivwert des Signals $y(t)$?

$\sigma_y\ = \ $


Musterlösung

(1)  Unter allen Umständen richtig sind die Aussagen 3, 4 und 5:

  • Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist.
  • Die zweite Aussage gilt nur im Sonderfall $x = 0$.

Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.

(2)  Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich $x = 0$ ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.

(3)  Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$


Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus:

$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$

Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$:

$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$

(4)  Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:

  • Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern.
  • Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$.


(5)  Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss.

(6)  Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:

$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$