Aufgaben:Aufgabe 3.3: Momente bei cos²-WDF: Unterschied zwischen den Versionen
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Wie in [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]] und [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]] betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt: | Wie in [[Aufgaben:3.1_cos²_-_und_Dirac-WDF|Aufgabe 3.1]] und [[Aufgaben:3.2_cos²-_und_Dirac-VTF|Aufgabe 3.2]] betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt: | ||
− | $$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$ | + | :$$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$ |
Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert: | Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert: | ||
− | $$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$ | + | :$$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$ |
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+ | *Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ bzw. $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ bzw. $f_y(y) = 0$. | ||
+ | *Die beiden Zufallsgrößen können als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden. | ||
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu? | {Welche der folgenden Aussagen treffen bei jeder beliebigen WDF $f_x(x)$ zu? | ||
− | <br>Verwendet sind folgende Größen: $m_1$ | + | <br>Verwendet sind folgende Größen: linearer Mittelwert $m_1$, quadratischer Mittelwert $m_2$, Varianz $\sigma^2$. |
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- $m_2 = 0$, falls $m_1 \ne 0$. | - $m_2 = 0$, falls $m_1 \ne 0$. | ||
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{Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$? | {Wie groß ist der Gleichanteil (lineare Mittelwert) des Signals $x(t)$? | ||
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{Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$? | {Wie groß ist der Gleichanteil des Signals $y(t)$? | ||
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− | $m_y\ = $ { 1 3% } | + | $m_y\ = \ $ { 1 3% } |
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− | $\sigma_y\ = $ { 0.361 3% } | + | $\sigma_y\ = \ $ { 0.361 3% } |
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'''(3)''' Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt: | '''(3)''' Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem <i>Satz von Steiner</i> gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt: | ||
− | $$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ | + | :$$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ |
Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus: | Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus: | ||
− | $$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ | + | :$$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$ |
Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$: | Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$: | ||
− | $$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} | + | :$$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} |
\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$ | \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$ | ||
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'''(6)''' Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner: | '''(6)''' Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner: | ||
− | $$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$ | + | :$$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$ |
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Version vom 8. August 2018, 14:09 Uhr
Wie in Aufgabe 3.1 und Aufgabe 3.2 betrachten wir die auf den Wertebereich von $-2$ bis $+2$ beschränkte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF in diesem Abschnitt:
- $$f_x(x)= {1}/{2}\cdot \cos^2({\pi}/{4}\cdot { x}).$$
Daneben betrachten wir eine zweite Zufallsgröße $y$ , die nur Werte zwischen $0$ und $2$ mit folgender WDF liefert:
- $$f_y(y)=\sin^2({\pi}/{2}\cdot y).$$
- Beide Dichtefunktionen sind in der Grafik dargestellt.
- Außerhalb der Bereiche $-2 < x < +2$ bzw. $0 < x < +2$ gilt jeweils $f_x(x) = 0$ bzw. $f_y(y) = 0$.
- Die beiden Zufallsgrößen können als (normierte) Momentanwerte der zugehörigen Zufallssignale $x(t)$ bzw. $y(t)$ aufgefasst werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Für die Lösung dieser Aufgabe können Sie das folgende unbestimmte Integral benutzen:
- $$\int x^{2}\cdot {\cos}(ax)\,{\rm d}x=\frac{2 x}{ a^{ 2}}\cdot \cos(ax)+ \left [\frac{x^{\rm 2}}{\it a} - \frac{\rm 2}{\it a^{\rm 3}} \right ]\cdot \rm sin(\it ax \rm ) .$$
Fragebogen
Musterlösung
- Die erste Aussage ist nie erfüllt, wie aus dem Satz von Steiner ersichtlich ist.
- Die zweite Aussage gilt nur im Sonderfall $x = 0$.
Es gibt aber auch mittelwertfreie Zufallsgrößen mit unsymmetrischer WDF. Das bedeutet: Die Aussage 6 trifft nicht immer zu.
(2) Aufgrund der WDF-Symmetrie bezüglich $x = 0$ ergibt sich für den linearen Mittelwert $m_x \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
(3) Der Effektivwert des Signals $x(t)$ ist gleich der Streuung $\sigma_x$ bzw. gleich der Wurzel aus der Varianz $\sigma_x^2$. Da die Zufallsgröße $x$ den Mittelwert $m_x {= 0}$ aufweist, ist die Varianz nach dem Satz von Steiner gleich dem quadratischen Mittelwert. Dieser wird in Zusammenhang mit Signalen auch als die Leistung (bezogen auf $1 \ \rm \Omega$) bezeichnet. Somit gilt:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{\rm 2}\cdot f_x(x)\hspace{0.1cm}{\rm d}x=2 \cdot \int_{\rm 0}^{\rm 2} x^2/2 \cdot \cos^2({\pi}/4\cdot\it x)\hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
Mit der Beziehung $\cos^2(\alpha) = 0.5 \cdot [1 + \cos(2\alpha)]$ folgt daraus:
- $$\sigma_x^2=\int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x + \int_{\rm 0}^{\rm 2}{x^{\rm 2}}/{2}\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot\it x) \hspace{0.1cm} {\rm d}x.$$
Diese beiden Standardintegrale findet man in Tabellen. Man erhält mit $a = \pi/2$:
- $$\sigma_x^{\rm 2}=\left[\frac{x^{\rm 3}}{\rm 6} + \frac{x}{a^2}\cdot {\cos}(a x) + \left( \frac{x^{\rm2}}{{\rm2}a} - \frac{1}{a^3} \right) \cdot \sin(a \cdot x)\right]_{x=0}^{x=2} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{x}^{\rm 2}=\frac{\rm 4}{\rm 3}-\frac{\rm 8}{\rm \pi^2}\approx 0.524\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_x \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.722}.$$
(4) Richtig ist der erstgenannte Vorschlag:
- Die Variante $y = 2x$ würde eine zwischen $-4$ und $+4$ verteilte Zufallsgröße liefern.
- Beim letzten Vorschlag $y = x/2-1$ wäre der Mittelwert $m_y = -1$.
(5) Aus der Grafik auf dem Angabenblatt ist bereits offensichtlich, dass $m_y \hspace{0.15cm}\underline{=+1}$ gelten muss.
(6) Der Mittelwert ändert nichts an der Varianz und an der Streuung. Durch die Stauchung um den Faktor $2$ wird die Streuung gegenüber Teilaufgabe (3) ebenfalls um diesen Faktor kleiner:
- $$\sigma_y=\sigma_x/\rm 2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.361}.$$