Aufgaben:Aufgabe 2.5: „Binomial” oder „Poisson”?: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt. | + | Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die (mindestens) alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt. |
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Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$ binomialverteilt und welche poissonverteilt ist. | Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$ binomialverteilt und welche poissonverteilt ist. | ||
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*Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Binomialverteilung]]. | *Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Binomialverteilung]]. | ||
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{Welche Rate $\lambda$ weist die Poissonverteilung auf? | {Welche Rate $\lambda$ weist die Poissonverteilung auf? | ||
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− | $\lambda \ =$ { 2 3% } | + | $\lambda \ = \ $ { 2 3% } |
{Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich $0$, ... ,$5$ begrenzt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die poissonverteilte Größe gleich $6$ ist bzw. größer als $6$ ist? | {Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich $0$, ... ,$5$ begrenzt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die poissonverteilte Größe gleich $6$ ist bzw. größer als $6$ ist? | ||
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− | ${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} = 6) \ =$ { 0.012 3% } | + | ${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} = 6) \ = \ $ { 0.012 3% } |
− | ${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} > 6) \ =$ { 0.004 3% } | + | ${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} > 6) \ = \ $ { 0.004 3% } |
{Betrachten Sie nun die Binomialverteilung. Geben Sie deren charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ an. | {Betrachten Sie nun die Binomialverteilung. Geben Sie deren charakteristische Wahrscheinlichkeit $p$ an. | ||
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− | $p \ =$ { 0.4 3% } | + | $p \ = \ $ { 0.4 3% } |
{Wie groß ist damit der Parameter $I$ der Binomialverteilung? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit $\rm Pr(0)$. | {Wie groß ist damit der Parameter $I$ der Binomialverteilung? Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit $\rm Pr(0)$. | ||
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− | $I \ =$ { 5 3% } | + | $I \ = \ $ { 5 3% } |
Version vom 7. August 2018, 14:14 Uhr
Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die (mindestens) alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt.
Weiterhin ist bekannt, dass
- eine der Größen binomialverteilt ist, und
- die andere eine Poissonverteilung beschreibt.
Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$ binomialverteilt und welche poissonverteilt ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Poissonverteilung.
- Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel Binomialverteilung.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Bei der Poissonverteilung ist zudem der Mittelwert gleich der Rate. Deshalb muss $\underline{\lambda = 2}$ gelten.
(3) Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet mit $(z_{\rm Poisson} = z_1)$: $${\rm Pr}(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.012}$$ $${\rm Pr}(z_1 > 6)=1 -{\rm Pr}(0) -{\rm Pr}(1) - ... - {\rm Pr}(6)\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.004}$$
(4) Für die Varianz der Binomialverteilung gilt: $$\sigma^{2}= I\cdot p\cdot (1- p)= m_{\rm 1}\cdot ( 1- p).$$
Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich damit aus der Varianz $\sigma^2 = 1.095$ und dem Mittelwert $m_1 = 2$ entsprechend der Gleichung: $$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$
(5) Aus dem Mittelwert $m_1 = 2$ folgt weiterhin $\underline{I= 5}.$ Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten: $${\rm Pr}(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot p^{\rm 0}\cdot (1 - p)^{\rm 5-0}=0.6^5=0.078.$$
Das bedeutet: Das Ergebnis ist richtig.