Aufgaben:Aufgabe 3.10Z: Rayleigh? Oder Rice?: Unterschied zwischen den Versionen
K (Guenter verschob die Seite 3.10Z Rayleigh? Oder Rice? nach Aufgabe 3.10Z: Rayleigh? Oder Rice?) |
K (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “) |
||
Zeile 16: | Zeile 16: | ||
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]]. | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen|Weitere Verteilungen]]. | ||
*Insbesondere wird auf die Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung|Riceverteilung]] Bezug genommen . | *Insbesondere wird auf die Seiten [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Riceverteilung|Riceverteilung]] Bezug genommen . | ||
− | + | ||
*Sie können Ihre Ergebnisse mit Berechnungstool [[WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] überprüfen. | *Sie können Ihre Ergebnisse mit Berechnungstool [[WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] überprüfen. | ||
*Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral: | *Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral: |
Version vom 29. Mai 2018, 13:02 Uhr
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgröße $x$ ist wie folgt gegeben: $$f_x(x)=\frac{\it x}{\lambda^{2}}\cdot{\rm e}^{-x^{\rm 2}/(\lambda^{\rm 2})}.$$
Entsprechend gilt für die zugehörige Verteilungsfunktion:
- $$F_x(r)= {\rm Pr}(x \le r) = 1-{\rm e}^{- r^{\rm 2}/(2 \lambda^{\rm 2})}.$$
Bekannt ist, dass der Wert $x_0 = 2$ am häufigsten auftritt. Das bedeutet auch, dass die WDF $f_x(x)$ bei $x = x_0 $ maximal ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
- Insbesondere wird auf die Seiten Rayleighverteilung und Riceverteilung Bezug genommen .
- Sie können Ihre Ergebnisse mit Berechnungstool WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen überprüfen.
- Berücksichtigen Sie bei der Lösung das folgende bestimmte Integral:
- $$\int_{0}^{\infty}x^{\rm 2}\cdot {\rm e}^{ -x^{\rm 2}/\rm 2} \, {\rm d}x=\sqrt{{\pi}/{\rm 2}}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Aufgrund der gegebenen WDF liegt keine Riceverteilung, sondern eine Rayleighverteilung vor.
- Diese ist um den Mittelwert $m_x$ unsymmetrisch, so dass $\mu_3 \ne 0$ ist.
- Nur bei einer gaußverteilten Zufallsgröße gilt für die Kurtosis $K = 3$.
- Bei der Rayleighverteilung ergibt sich aufgrund ausgeprägterer WDF–Ausläufer ein größerer Wert ($K = 3.245$), und zwar unabhängig von $\lambda$.
(2) Die Ableitung der WDF nach $x$ liefert:
$$\frac{{\rm d} f_x(x)}{{\rm d} x} = \frac{\rm 1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({2 \lambda^{\rm 2}})}+\frac{ x}{ \lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(-\frac{2 x}{2 \lambda^{\rm 2}}).$$
Daraus folgt als Bestimmungsgleichung für $x_0$ (nur die positive Lösung ist sinnvoll): $$\frac{1}{\lambda^{\rm 2}}\cdot{\rm e}^{ -{x_{\rm 0}^{\rm 2}}/{(2 \lambda^{\rm 2}})}\cdot(\rm 1-\frac{\it x_{\rm 0}^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}})=0 \quad \Rightarrow \quad {\it x}_0=\it \lambda.$$
Somit erhält man für den Verteilungsparameter $\lambda = x_0\hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.
(3) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Verteilungsfunktion an der Stelle $r = x_0 = \lambda$:
$${\rm Pr}(x<x_{\rm 0})={\rm Pr}( x \le x_{\rm 0})=
F_x(x_{\rm 0})=1-{\rm e}^{-{\lambda^{\rm 2}}/({ 2 \lambda^{\rm 2}})}=1-{\rm e}^{-0.5}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.393}.$$
(4) Der Mittelwert kann beispielsweise nach folgender Gleichung ermittelt werden:
$$m_x=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.45cm}x\cdot f_x(x)\,{\rm d}x=\int_{\rm 0}^{\infty}\frac{\it x^{\rm 2}}{\it \lambda^{\rm 2}} \cdot \rm e^{-{\it x^{\rm 2}}/({\rm 2\it \lambda^{\rm 2}})}\,{\rm d}\it x = \sqrt{{\rm \pi}/{\rm 2}}\cdot \it \lambda\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.506}.$$
Der Mittelwert $m_x$ ist natürlich größer als $x_0$ (= Maximalwert der WDF), da die WDF zwar nach unten, aber nicht nach oben begrenzt ist.
(5) Allgemein gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$${\rm Pr}(x>m_x)=1- F_x(m_x).$$
Mit der angegebenen Verteilungsfunktion und dem Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man: $${\rm Pr}(x>m_x)={\rm e}^{-{m_x^{\rm 2}}/({ 2\lambda^{\rm 2})}}={\rm e}^{-\pi/ 4}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.456}.$$