Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:
 
'''(1)'''  Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:
$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
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:$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
 
{\rm d}t.$$  
 
{\rm d}t.$$  
 
Die Integration führt zum Ergebnis:
 
Die Integration führt zum Ergebnis:
$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
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:$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
 
t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
 
t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
 
Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.  
 
Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.  
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'''(2)'''  Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:  
 
'''(2)'''  Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:  
$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
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:$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
 
Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:  
 
Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:  
$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
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:$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
 
  d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
 
Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:  
 
Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:  
$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
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:$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert ist.  
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Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus dem links– und dem rechtsseitigen Grenzwert ist.  
  
  
'''(3)'''  Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz:  
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'''(3)'''  Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz $f_{\rm G}$:  
$$|H(f)|  =  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
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:$$|H(f)|  =  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
 
Durch Koeffizientenvergleich erhält man:  
 
Durch Koeffizientenvergleich erhält man:  
$$f_{\rm G} =  \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$
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:$$f_{\rm G} =  \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Wegen $h(t) = 0$ für $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung. Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:  
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist  <u> der erste Lösungsvorschlag}</u>.:
$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
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*Wegen $h(t) = 0$ für $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung.  
$H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe Aufgabe Z1.1):  
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*Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:  
$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
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:$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.  
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*$H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe [[Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]]):  
 
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:$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f = f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
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*Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.  
$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
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*Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f = f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal. Richtig ist somit <u> der erste Lösungsvorschlag}</u>.  
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:$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
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*Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal.  
  
 
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Version vom 15. Februar 2018, 16:25 Uhr

Exponentiell abfallende Impulsantwort

Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist und für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:

$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$

Der Funktionsparameter sei $T = 1 \ \rm ms$. In der Teilaufgabe (3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:

$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$




Hinweise:

$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.



Fragebogen

1

Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

2

Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t = 0$?

$h(t = 0) \ = \ $

 $\rm 1/s$

3

Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.

$f_{\rm G} \ =\ $

 $\rm Hz$

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Das betrachtete System ist kausal.
Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.
Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.


Musterlösung

(1)  Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t.$$

Die Integration führt zum Ergebnis:

$$H(f) = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$

Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.


(2)  Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:

$$H(f) = \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$

Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:

$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$

Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:

$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$

Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus dem links– und dem rechtsseitigen Grenzwert ist.


(3)  Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz $f_{\rm G}$:

$$|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$

Durch Koeffizientenvergleich erhält man:

$$f_{\rm G} = \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$


(4)  Richtig ist der erste Lösungsvorschlag}.:

  • Wegen $h(t) = 0$ für $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung.
  • Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:
$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
  • $H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe Aufgabe 1.1Z):
$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
  • Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.
  • Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f = f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
  • Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal.