Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 2: Zeile 2:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}
  
[[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|Exponentiell abfallende Impulsantwort]]
+
[[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|frame|Exponentiell abfallende Impulsantwort]]
 
Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist und für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
 
Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist und für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
+
:$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
 
Der Funktionsparameter sei $T = 1 \ \rm ms$. In der Teilaufgabe (3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:  
 
Der Funktionsparameter sei $T = 1 \ \rm ms$. In der Teilaufgabe (3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:  
$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$
+
:$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]  
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]  
 +
*Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
 +
:$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
*Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
+
 
$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
+
 
  
  
Zeile 21: Zeile 28:
 
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?
 
{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$H(f = 0) \ =$ { 1 3% }
+
$H(f = 0) \ = \ $ { 1 3% }
  
  
 
{Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t = 0$?  
 
{Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t = 0$?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$h(t = 0)  \ =$ { 500 3% } &nbsp;$\rm 1/s$
+
$h(t = 0)  \ = \ $ { 500 3% } &nbsp;$\rm 1/s$
  
  
 
{Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.
 
{Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_{\rm G}  \ =$ { 159 3% } &nbsp;$\rm Hz$
+
$f_{\rm G}  \ =\ $ { 159 3% } &nbsp;$\rm Hz$
  
  

Version vom 15. Februar 2018, 16:16 Uhr

Exponentiell abfallende Impulsantwort

Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist und für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:

$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$

Der Funktionsparameter sei $T = 1 \ \rm ms$. In der Teilaufgabe (3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:

$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$




Hinweise:

$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.



Fragebogen

1

Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

2

Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t = 0$?

$h(t = 0) \ = \ $

 $\rm 1/s$

3

Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.

$f_{\rm G} \ =\ $

 $\rm Hz$

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Das betrachtete System ist kausal.
Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.
Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.


Musterlösung

(1)  Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$: $$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t.$$ Die Integration führt zum Ergebnis: $$H(f) = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$ Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.


(2)  Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden: $$H(f) = \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$ Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man: $$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$ Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich: $$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$ Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert ist.


(3)  Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz: $$|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$ Durch Koeffizientenvergleich erhält man: $$f_{\rm G} = \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$


(4)  Wegen $h(t) = 0$ für $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung. Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen: $$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$ $H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe Aufgabe Z1.1): $$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$ Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.

Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f = f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal: $$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$ Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal. Richtig ist somit der erste Lösungsvorschlag}.