Aufgaben:Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''1 | + | '''(1)''' Durch Fourierrücktransformation von $S_+(f)$ unter Berücksichtigung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]] gilt: |
− | $$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm | + | :$$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm |
j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4 | j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4 | ||
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} | ||
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− | Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik) | + | Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen. |
+ | *In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$. | ||
+ | *Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik). | ||
+ | *Man erhält den <u>rein reellen</u> Wert $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$. | ||
− | [[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|Drei verschiedene | + | [[Datei:P_ID728__Sig_A_4_4_ML.png|center|frame|Drei verschiedene analytische Signale]] |
− | + | '''(2)''' Die <u>erste Aussage</u> ist richtig und ergibt sich aus der [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Darstellung_mit_der_Hilberttransformation|Hilbert-Transformation]]. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht: | |
− | '''2 | ||
*$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte. | *$s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte. | ||
*Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell. | *Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell. | ||
− | '''3 | + | '''(3)''' Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$. Nach $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal): |
− | $$ | + | :$$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 |
\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi | \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi | ||
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}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm | }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm | ||
j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40 | j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40 | ||
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\hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ | \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ | ||
}+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm | }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm | ||
j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot | j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot | ||
− | {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }. | + | {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$ |
− | Somit sind die in $ 5 \ | + | Somit sind die in $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$ <u>rein imaginär</u> und man erhält: |
− | $${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} \ | + | :$${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] = |
{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} | {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} | ||
V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$ | V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$ | ||
− | '''4 | + | '''(4)''' Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder <u>rein reell</u> und ergibt entsprechend der rechten Grafik: |
− | $${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} \ | + | :$${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] = |
{\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} | {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} | ||
V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$ | V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$ | ||
− | '''5 | + | '''(5)''' Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt: |
− | $$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm | + | :$$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm |
0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$ | 0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$ | ||
Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt: | Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt: | ||
− | $$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0 \;\underline{= 50 \ | + | :$$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0 \;\underline{= 50 \ {\rm µ} \text{s}}.$$ |
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^4. Bandpassartige Signale^]] |
Version vom 24. Januar 2018, 12:42 Uhr
Wir gehen aus von einem cosinusförmigen Quellensignal $q(t)$ mit
- der Amplitude $A_{\rm N} = 0.8 \ \text{V}$ und
- der Frequenz $f_{\rm N}= 10 \ \text{kHz}$.
Die Frequenzumsetzung erfolgt mittels Zweiseitenband–Amplitudenmodulation mit Träger, abgekürzt ZSB–AM.
Das modulierte Signal $s(t)$ lautet mit dem (normierten) Träger $z(t) = \text{cos}(\omega_{\rm T} \cdot t)$ und dem Gleichanteil $q_0 = 1 \ \text{V}$:
- $$\begin{align*} s(t) & = \left(q_0 + q(t)\right) \cdot z(t)= \left({\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + {\rm 0.8 \hspace{0.05cm}V}\cdot {\cos} ( \omega_{\rm N}\cdot t)\right) \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) = \\ & = q_0 \cdot {\cos} ( \omega_{\rm T}\cdot t) + {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}+ \omega_{\rm N}) \cdot t) + {A_{\rm N}}/{2} \cdot {\cos} ( (\omega_{\rm T}- \omega_{\rm N}) \cdot t).\end{align*}$$
Der erste Term beschreibt den Träger, der zweite Term das sogenannte obere Seitenband (OSB) und der letzte Term das untere Seitenband (USB).
Die Skizze zeigt das Spektrum $S_+(f)$ des dazugehörigen analytischen Signals für $f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}$. Man erkennt
- den Träger (rot),
- das obere Seitenband (blau) und
- das untere Seitenband (grün).
In der Teilaufgabe (5) ist nach dem Betrag von $s_+(t)$ gefragt. Hierunter versteht man die Länge des resultierenden Zeigers.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Sie können Ihre Lösung mit dem Interaktionsmodul Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
- $$s_{+}(t) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 50}\hspace{0.05cm} t } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 60} \hspace{0.05cm} t }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \omega_{\rm 40}\hspace{0.05cm} t }.$$
Der Ausdruck beschreibt die Summe dreier Zeiger, die mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten drehen.
- In obiger Gleichung bedeutet beispielsweise $\omega_{60} = 2\pi (f_{\rm T} + f_{\rm N}) = 2\pi \cdot 60 \ \text{kHz}$.
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ zeigen alle drei Zeiger in Richtung der reellen Achse (siehe linke Grafik).
- Man erhält den rein reellen Wert $s_+(t = 0) \;\underline{= 1.8 \ \text{V}}$.
(2) Die erste Aussage ist richtig und ergibt sich aus der Hilbert-Transformation. Dagegen stimmen die nächsten beiden Aussagen nicht:
- $s_+(t)$ ist stets eine komplexe Zeitfunktion mit Ausnahme des Grenzfalls $s(t) = 0$. Jede komplexe Funktion hat jedoch zu einigen Zeitpunkten auch rein reelle Werte.
- Der Zeigerverbund dreht immer in mathematisch positiver Richtung. Überschreitet der Summenvektor die reelle Achse, so verschwindet zu diesem Zeitpunkt der Imaginärteil und $s_+(t)$ ist rein reell.
(3) Die Periodendauer des Trägersignals beträgt $T_0 = 1/f_T = 20 \ {\rm µ} \text{s}$. Nach $t = 5 \ {\rm µ} \text{s}$ (siehe mittlere Grafik) hat sich der Träger somit um $90^{\circ}$ gedreht. Der blaue Zeiger (OSB) dreht um 20% schneller, der grüne (USB) um 20% langsamer als der rote Drehzeiger (Trägersignal):
- $$s_{+}({\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s}) = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}50 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } + {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}60 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}40 \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.08cm}0.005 } = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 90^\circ }+ {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 108^\circ }+{\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} 72^\circ }.$$
Somit sind die in $ 5 \ {\rm µ} \text{s}$ zurückgelegten Winkel von OSB und USB $108^{\circ}$ bzw. $72^{\circ}$. Da sich zu diesem Zeitpunkt die Realteile von OSB und USB kompensieren, ist $s_+(t=5 \ {\rm µ} \text{s})$ rein imaginär und man erhält:
- $${\rm Im}\left[s_{+}(t = {\rm 5 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}\cdot \cos (18^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.761 \hspace{0.05cm} V}}.$$
(4) Nach einer Umdrehung des roten Trägers, also zum Zeitpunkt $t$ = $T_0 = 20 \ {\rm µ} \text{s}$ hat der blaue Zeiger bereits $72^{\circ}$ mehr zurückgelegt und der grüne Zeiger dementsprechend $72^{\circ}$ weniger. Die Summe der drei Zeiger ist wieder rein reell und ergibt entsprechend der rechten Grafik:
- $${\rm Re}\left[s_{+}({\rm 20 \hspace{0.05cm} {\rm µ} s})\right] = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} + 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V}\cdot \cos (72^\circ ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 1.236 \hspace{0.05cm} V}}.$$
(5) Der Betrag ist minimal, wenn die Zeiger der beiden Seitenbänder gegenüber dem Träger um $180^{\circ}$ versetzt sind. Daraus folgt:
- $$|s_{+}(t)|_{\rm min} = {\rm 1 \hspace{0.05cm} V} - 2 \cdot {\rm 0.4 \hspace{0.05cm} V} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm 0.2 \hspace{0.05cm} V}}.$$
Innerhalb einer Periode $T_0$ des Trägers tritt gegenüber den Zeigern der beiden Seitenbändern ein Phasenversatz von $\pm72^{\circ}$ auf. Daraus folgt:
- $$t_{\text{min}} = 2.5 \cdot T_0 \;\underline{= 50 \ {\rm µ} \text{s}}.$$