Aufgaben:Aufgabe 3.6: Zustandsübergangsdiagramm: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 4. Januar 2018, 07:46 Uhr
Eine Beschreibungsmöglichkeit für Faltungscodierer bietet das so genannte Zustandsübergangsdiagramm- Beinhaltet der Coder $m$ Speicherregister ⇒ Einflusslänge $\nu = m + 1$, so gibt es nach der aktuellen Speicherbelegung verschiedene Zustände $S_{\mu}$ mit $0 ≤ \mu ≤ 2^m \, –1$, wobei für den Index gilt:
- $$\mu = \sum_{l = 1}^{m} \hspace{0.1cm}2^{l-1} \cdot u_{i-l} \hspace{0.05cm}.$$
Diese Art der Coderbeschreibung soll auf den oben skizzierten Faltungscodierer der Rate $R = 1/2$ angewendet werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- den Zustand $S_0 \ \Rightarrow \ u_{i–1} = 0$,
- den Zustand $S_1 \ \Rightarrow \ u_{i–1} = 1$.
(2) Von jedem Zustand gehen $2^k = 2$ Pfeile zu verschiedenene Zuständen ab. Da es nur zwei Zustände gibt, ist die Antwort JA richtig.
(3) Das zum Zeitpunkt $i$ anliegende Informationsbit $u_i$ ist hinsichtlich des darauf folgenden Zeitpunkts $(j = i + 1)$ das vorherige Bit $(u_{j–1})$. Damit gilt $s_{i+1} = u_i$. Nur mit $u_i = 0$ kommt man von $s_i = S_1$ nach $s_{i+1} = S_0$ ⇒ Lösungsvorschlag 1.
Aus $s_i = S_1$ ⇒ $u_{i–1} = 1$ folgt weiter:
- $${x}_i^{(1)} = u_i = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{x}_i^{(2)} = u_i + u_{i-1}= 0+1 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{x}_i = (0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \hspace{0.05cm}. $$
Richtig ist also zusätzlich noch der Lösungsvorschlag 3. Den Lösungsvorschlag 4 hätte man von Anfang an ausschließen können. Die Grafik auf dem Angabenblatt zeigt eindeutig, dass der Coder systematisch ist: $x_i^{(1)} = u_i$. Die Kombination $u_i = 0$ und $\underline{x}_i = (1, 0)$ würde dem widersprechen.
(4) Auf ähnlichem Lösungsweg wie in der Teilaufgabe (3) gelangt man zum Ergebnis, dass hier die Lösungsvorschläge 2 und 4 zutreffen. Damit ergeben sich das folgende Zustandsübergangsdiagramm (links) und das daraus ableitbare Trellisdiagramm:
Rote Pfeile kennzeichnen das Informationsbit $u_i = 0$, während bei blauen Pfeilen $u_i = 1$ anzusetzen ist.
(5) Beide Lösungsvorschläge sind richtig. Für die Informationssequenzen gibt es (außer binär) keine weiteren Beschränkungen.
(6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1. Ausgehend vom Zustand $S_0$ kommt man
- mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe $11$,
- mit $u_2 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe $10$,
- mit $u_3 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe $01$,
- mit $u_4 = 0$ zum Zustand $S_0$, Ausgabe $00$,
- mit $u_5 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe $11$,
- mit $u_6 = 1$ zum Zustand $S_1$, Ausgabe $10$.
Dagegen ist die zweite Codesequenz nicht möglich:
- Die Ausgabe „$11$” bedeutet, dass man bei $S_0$ gestartet ist und mit $u_1 = 1$ zum Zustand $S_1$ kommt.
- Im Zustand $S_1$ sind dann aber nur die Ausgaben „$01$” und „$10$” möglich, nicht jedoch „$00$”.