Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 11. Dezember 2017, 16:34 Uhr

Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung

Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:

  • ein systematischer (5, 2)–Blockcode C mit den Codeworten
x_0 = (0,0,0,0,0),
x_1 = (0,1,0,1,0),
x_2 = (1,0,1,0,1),
x_3 = (1,1,1,1,1);
  • ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor x_GF(25) in den Vektor y_GF(25) verfälscht;
  • ein Maximum–Likelihood–Decoder mit der Entscheidungsregel
z_=argmaxx_iCPr(x_i|y_)=argminx_iCdH(y_,x_i).

In der Gleichung bezeichnet dH(y_, xi_) die Hamming–Distanz zwischen Empfangswort y_ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort xi_.


Hinweise:


Fragebogen

1

Es sei y_=(1,0,0,0,1). Welche Entscheidungen erfüllen das ML–Kriterium?

z_=x_0=(0,0,0,0,0),
z_=x_1=(0,1,0,1,0),
z_=x_2=(1,0,1,0,1),
z_=x_3=(1,1,1,1,1).

2

Es sei y_=(0,0,0,1,0). Welche Entscheidungen erfüllen das ML–Kriterium?

z_=x_0=(0,0,0,0,0),
z_=x_1=(0,1,0,1,0),
z_=x_2=(1,0,1,0,1),
z_=x_3=(1,1,1,1,1).

3

Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für y_=(1,0,1,1,1), wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole eher unsicher sind?

z_=x_0=(0,0,0,0,0),
z_=x_1=(0,1,0,1,0),
z_=x_2=(1,0,1,0,1),
z_=x_3=(1,1,1,1,1).

4

Zu welchem Informationswort v=(v1,v2) führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?

v1 =

v2 =


Musterlösung

(1)  Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort y_=(1,0,0,0,1) und den vier möglichen Codeworten x_i ergeben sich wie folgt:

dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3.

Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz ⇒ Antwort 3.

(2)  Für y_=(0,0,0,1,0) sind Antwort 1und Antwort 2 richtig, wie die folgende Rechnung zeigt:

dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4.

(3)  Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von x2 genau so möglich wie für x3, wenn der Vektor y_=(1,0,1,1,1) empfangen wird:

dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1.

Der Empfangsvektor y unterscheidet sich von x2 bezüglich des vierten Bits und von x3 im zweiten Bit. Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für x2 entscheiden ⇒ Antwort 3.

(4)  Da es sich hier um einen systematischen Code handelt, ist die Entscheidung für z_=(1,0,1,0,1) gleichbedeutend mit der Entscheidung υ1 =1_,υ2 =0_. Es ist nicht sicher, dass u = (1, 0) tatsächlich gesendet wurde, aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors y_=(1,0,1,1,1) hierfür am größten.