Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 11. Dezember 2017, 16:34 Uhr
Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:
- ein systematischer (5, 2)–Blockcode C mit den Codeworten
- x_0 = (0,0,0,0,0),x_1 = (0,1,0,1,0),x_2 = (1,0,1,0,1),x_3 = (1,1,1,1,1);
- ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor x_∈GF(25) in den Vektor y_∈GF(25) verfälscht;
- ein Maximum–Likelihood–Decoder mit der Entscheidungsregel
- z_=argmaxx_i∈CPr(x_i|y_)=argminx_i∈CdH(y_,x_i).
In der Gleichung bezeichnet dH(y_, xi_) die Hamming–Distanz zwischen Empfangswort y_ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort xi_.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- dH(y_,x_0)=2,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=3.
Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz ⇒ Antwort 3.
(2) Für y_=(0,0,0,1,0) sind Antwort 1und Antwort 2 richtig, wie die folgende Rechnung zeigt:
- dH(y_,x_0)=1,dH(y_,x_1)=1,dH(y_,x_2)=4,dH(y_,x_3)=4.
(3) Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von x2 genau so möglich wie für x3, wenn der Vektor y_=(1,0,1,1,1) empfangen wird:
- dH(y_,x_0)=4,dH(y_,x_1)=4,dH(y_,x_2)=1,dH(y_,x_3)=1.
Der Empfangsvektor y unterscheidet sich von x2 bezüglich des vierten Bits und von x3 im zweiten Bit. Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für x2 entscheiden ⇒ Antwort 3.
(4) Da es sich hier um einen systematischen Code handelt, ist die Entscheidung für z_=(1,0,1,0,1) gleichbedeutend mit der Entscheidung υ1 =1_,υ2 =0_. Es ist nicht sicher, dass u = (1, 0) tatsächlich gesendet wurde, aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors y_=(1,0,1,1,1) hierfür am größten.