Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Mehrwege-Szenario: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''&nbsp; Die Dopplerfrequenz ist für $\tau_0$ positiv. Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt &#8658; <u>Aussage 2</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Die Dopplerfrequenz ist für $\tau_0$ positiv. Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Aussage 2</u>.
  
  
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'''(3)'''&nbsp; Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung. Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 &ndash; E}$ beträgt $60°$:
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
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*Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.  
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*Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 &ndash; E}$ beträgt $60^\circ$:
 
:$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}}  = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2
 
:$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}}  = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2
 
   \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} }  
 
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Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>. Aus $f_{\rm D} = \, &ndash;50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 &plusmn; \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.
  
'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>. Aus $f_{\rm D} = \, &ndash;50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 &plusmn; \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240°}$.
 
  
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'''(5)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen stimmen</u>:
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*Die beiden Diracfunktionen bei $&plusmn; 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
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*Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch $d_3 = d_2$ und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.
  
'''(5)'''&nbsp; <u>Alle Aussagen stimmen</u>. Die beiden Diracfunktionen bei $&plusmn; 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$. Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch $d_3 = d_2$ und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.
 
  
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'''(6)'''&nbsp; Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht. Damit ergibt sich die Längendifferenz:
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:$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{&ndash;6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$
  
'''(6)'''&nbsp; Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht. Damit ergibt sich die Längendifferenz $\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{&ndash;6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}$.
 
  
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'''(7)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt. Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$.
  
'''(7)'''&nbsp; Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt. Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$. Das Minuszeichn berücksichtigt hierbei die 180°&ndash;Phasendrehung auf den Nebenpfaden. Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = 2^{&ndash;0.5}$ und $k_2 = \ &ndash;0.5$ ablesen. Daraus folgt:
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Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die $180^\circ$&ndash;Phasendrehung auf den Nebenpfaden. Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = \sqrt{0.5}$ und $k_2 = -0.5$ ablesen. Daraus folgt:
 
:$$\frac{d_2}{d_1}  = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2}
 
:$$\frac{d_2}{d_1}  = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2}
 
   \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414}  
 
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Version vom 5. Dezember 2017, 18:06 Uhr

Mobilfunk–Szenario mit 3 Pfaden

In Aufgabe A2.5 war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion $s(\tau_0, f_{\rm D})$ lautete:

$$s(\tau_0, f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$
$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ - \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: In unserem Lerntutorial wird $s(\tau_0, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ auch mit $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ bezeichnet.

Wir haben hier die Verzögerungsvariable $\tau$ durch $\tau_0$ ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable $\tau_0$ die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit $\tau_1$ des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch $\tau_0 = 0$ gekennzeichnet.

Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich dieses Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:

  • Gesendet wird eine einzige Frequenz $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
  • Der mobile Empfänger $\rm (E)$ ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender $\rm (S)$ zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
  • Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um $\pi$.
  • ${\rm S}_2$ und ${\rm S}_3$ sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel $\alpha_2$ und $\alpha_3$ der Nebenpfade ermittelt werden können.
  • Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz $f_{\rm S}$, dem Winkel $\alpha$, der Geschwindigkeit $\upsilon$ und der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:
$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Dämpfungsfaktoren $k_1$, $k_2$ und $k_3$ sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen $d_1$, $d_2$ und $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz $d$ ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit $d$.



Hinweise:


Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei $\tau = 0$ und $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Welche Aussagen gelten für den Empfänger?

Der Empfänger steht.
Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.

2

Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?

$v \ = \ $

$\ \rm km/h$

3

Welche Aussagen gelten für den Dirac bei $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?

Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
Der Winkel $\alpha_2$ (siehe Grafik) beträgt $30^\circ$.
Der Winkel $\alpha_2$ (siehe Grafik) beträgt $60^\circ$.

4

Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?

Für diesen gilt $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$.
Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $60^\circ$.
Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $240^\circ$.

5

Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?

Es gilt $d_3 = d_2$.
Es gilt $k_3 = k_2$.
Es gilt $\tau_3 = \tau_2$.

6

Wie groß ist die Laufzeitdifferenz $\Delta d = d_2 - d_1$?

$\Delta d \ = \ $

$\ \rm m$

7

Welches Verhältnis besteht zwischen $d_2$ und $d_1$?

$d_2/d_1 \ = \ $

8

Geben Sie die Distanzen $d_1$ und $d_2$ an.

$d_1 \ = \ $

$\ \rm m$
$d_2 \ = \ $

$\ \rm m$


Musterlösung

(1)  Die Dopplerfrequenz ist für $\tau_0$ positiv. Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt   ⇒   Aussage 2.


(2)  Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winkel $\alpha = 0$.

$$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man für die Geschwindigkeit

$$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s} \hspace{0.1cm} \underline {= 54 \,{\rm km/h}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.
  • Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 – E}$ beträgt $60^\circ$:
$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} } \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3. Aus $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 ± \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.


(5)  Alle Aussagen stimmen:

  • Die beiden Diracfunktionen bei $± 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
  • Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch $d_3 = d_2$ und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.


(6)  Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht. Damit ergibt sich die Längendifferenz:

$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{–6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$


(7)  Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt. Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$.

Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die $180^\circ$–Phasendrehung auf den Nebenpfaden. Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = \sqrt{0.5}$ und $k_2 = -0.5$ ablesen. Daraus folgt:

$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414} \hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante $K$ ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.


(8)  Aus $d_2/d_1 = 2^{–0.5}$ und $\Delta d = d_2 \, – d_1 = 300 \ \rm m$ folgt schließlich:

$$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2} - 1} \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \hspace{0.15cm} \underline {= 1024\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}. $$