Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Nochmals OOK und BPSK: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von OOK und BPSK]]
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[[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von <i>On&ndash;Off&ndash;Keying</i> (OOK) und <i>Binary Phase Shift Keying</i> (BPSK)]]
 
Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q&ndash;Funktion
 
Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q&ndash;Funktion
:$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it
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:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it
 
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x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
  
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:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
 
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* und für <i>Binary Phase Shift Keying</i> (BPSK):
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* für <i>Binary Phase Shift Keying</i> (BPSK):
 
:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
 
:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
 
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Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
 
Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
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Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm &ndash;5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 &#8805; 9.6 \ \rm dB$ sein.
 
Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm &ndash;5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 &#8805; 9.6 \ \rm dB$ sein.
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]] des vorliegenden Buches.
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation]].
 
* Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| Lineare digitale Modulation &ndash; Kohärente Demodulation]].
 
* Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| Lineare digitale Modulation &ndash; Kohärente Demodulation]].
* Für die numerischen Auswertungen können Sie die folgende obere Schranke verwenden:
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* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
:$${\rm Q}(x)  \le   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
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* Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
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:$${\rm Q}(x)  \approx   \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
  
  
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===Fragebogen===
 
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{Berechnen Sie die OOK&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke.
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{Berechnen Sie die '''OOK'''&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke.
 
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${\rm OOK}, \ 10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = { 8.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;4}$
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$p_{\rm S}\ = \ $ { 85 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
  
{Wie groß ist die BPSK&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$?
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{Wie groß ist die '''BPSK'''&ndash;Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$?
 
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${\rm BPSK}, \ 10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}$ = { 4.05 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;6}$
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$p_{\rm S}\ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
  
{Geben Sie für On&ndash;Off&ndash;Keying den minimalen Wert für $E_{\rm S}/N_0$ (in $\rm dB$) an, damit gerade noch die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 10^{\rm &ndash;5}$ erreicht wird.
+
{Geben Sie für '''OOK''' den minimalen Wert für $E_{\rm S}/N_0$ (in $\rm dB$) an, damit gerade noch die Bitehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 10^{\rm &ndash;5}$ erreicht wird.
 
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${\rm OOK} \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0$ = { 12.6 3% } $\ \rm dB$
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$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$
 
</quiz>
 
</quiz>
  

Version vom 22. November 2017, 17:40 Uhr

Fehlerwahrscheinlichkeiten von On–Off–Keying (OOK) und Binary Phase Shift Keying (BPSK)

Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion

$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$

für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)

  • für On–Off–Keying (OOK), oft auch Amplitude Shift Keying (2–ASK) genannt:
$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
  • für Binary Phase Shift Keying (BPSK):
$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:

$$p_{\rm S} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (OOK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm S} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm}.$$

Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein.


Hinweise:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie die OOK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke.

$p_{\rm S}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –5}$

2

Wie groß ist die BPSK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$?

$p_{\rm S}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –5}$

3

Geben Sie für OOK den minimalen Wert für $E_{\rm S}/N_0$ (in $\rm dB$) an, damit gerade noch die Bitehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ erreicht wird.

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 } \underline{=8.5 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 \cdot 10^{\rm –4}$. Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.


(2)  Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:

$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 } \underline{=4.05 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$

Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$. Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.


(3)  Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich. Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_{\rm 0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}}$.