Aufgaben:Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen „x“ und „e hoch x“: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | '''(1)''' Der Mittelwert $m_y$ kann in bekannter Weise aus der WDF $f_y(y)$ ermittelt werden. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln für Erwartungswerte: | |
− | + | $$m_y={\rm E}[ y] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{1}{\rm e}^{ x}\,\,{\rm d}x=\rm {1}/{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$ | |
− | + | '''(2)''' Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $y$ gilt: | |
− | + | $$m_{2 y} = {\rm E}[ y^{\rm 2}] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]= {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$ | |
− | + | Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner: | |
− | + | $$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2 y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$ | |
− | + | '''(3)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>: | |
+ | *Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist die WDF natürlich $0$. | ||
+ | *Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich $1$ ist, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich $y = {\rm e}^x$ unendlich groß. | ||
+ | *Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF $f_y(y)$ mit steigenden $y$ nimmt die Höhe dieser Diracwand von $(-1, 1/{\rm e})$ bis zu $(+1, {\rm e})$kontinuierlich ab. | ||
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− | + | '''(4)''' Für das gemeinsame Moment gilt: | |
+ | $$m_{xy} = {\rm E}[ x\cdot y] = {\rm E}[ x\cdot {\rm e}^{x}].$$ | ||
− | + | Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung: | |
− | + | $$m_{xy} \approx {\rm E}[x] + {\rm E}[x^{\rm 2}] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 3}] + \frac{1}{6} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 4}]+ \frac{1}{24} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 5}].$$ | |
− | + | Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße $x$ gilt für alle ungeradzahligen Werte von $k$ $\rm E[\it x^{k}\rm ] =\rm 0.$ Weiterhin gilt: | |
− | + | $${\rm E}[ x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} | |
+ | {\rm E}[ x^{\rm 4}] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4} \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$ | ||
− | + | '''(5)''' Wegen $m_x = 0$ gilt $\mu_{xy} = m_{xy}$. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten: | |
− | + | $$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$ | |
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− | + | Zwischen $x$ und $y$ besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient $ \rho_{xy} \ne 1$. | |
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Version vom 18. März 2017, 18:37 Uhr
Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen $-1$ und $+1$. Damit ist
- der Mittelwert $m_x = 0$, und
- die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.
Durch die nichtlineare Kennlinie $y = g(x) = {\rm e}^x$ wird die Zufallsgröße $y $ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/{\rm e}$ und ${\rm e}$ annehmen.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip Transformation von Zufallsgrößen:
- $$f_y(y) = {\rm 1}/({\rm 2\it y}). $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Zweidimensionale Zufallsgrößen.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Erwartungswerte und Momente.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:
- $$y={\rm e}^{x}\approx 1+ \frac{ x}{1!} + \frac{{ x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(2) Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $y$ gilt: $$m_{2 y} = {\rm E}[ y^{\rm 2}] = {\rm E}[{\rm e}^{ 2 x}]= {1}/{2}\cdot\int_{-1}^{+1}{\rm e}^{2 x} \,\,{\rm d}x = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2}) = 1.813.$$
Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner: $$\sigma_y^{\rm 2} = m_{ 2 y}- m_{ y}^2 = {1}/{4}\cdot({\rm e}^{2}-{\rm e}^{-2})-{1}/{4}\cdot( {\rm e}^{2}-2+{\rm e}^{-2})={1}/{2}\cdot(1-{\rm e}^{-2})=0.432 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4:
- Außerhalb der Kurve $y = {\rm e}^x$ ist die WDF natürlich $0$.
- Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich $1$ ist, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich $y = {\rm e}^x$ unendlich groß.
- Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF $f_y(y)$ mit steigenden $y$ nimmt die Höhe dieser Diracwand von $(-1, 1/{\rm e})$ bis zu $(+1, {\rm e})$kontinuierlich ab.
(4) Für das gemeinsame Moment gilt:
$$m_{xy} = {\rm E}[ x\cdot y] = {\rm E}[ x\cdot {\rm e}^{x}].$$
Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung: $$m_{xy} \approx {\rm E}[x] + {\rm E}[x^{\rm 2}] + \frac{1}{2} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 3}] + \frac{1}{6} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 4}]+ \frac{1}{24} \cdot {\rm E}[ x^{\rm 5}].$$
Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße $x$ gilt für alle ungeradzahligen Werte von $k$ $\rm E[\it x^{k}\rm ] =\rm 0.$ Weiterhin gilt: $${\rm E}[ x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} {\rm E}[ x^{\rm 4}] = \frac{1}{2}\int_{-1}^{+1} x^{\rm 4} \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\it m_{xy}} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$
(5) Wegen $m_x = 0$ gilt $\mu_{xy} = m_{xy}$. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten: $$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$
Zwischen $x$ und $y$ besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient $ \rho_{xy} \ne 1$.