Aufgaben:Aufgabe 2.5: „Binomial” oder „Poisson”?: Unterschied zwischen den Versionen
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− | {Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich $0$, ... ,$5$ begrenzt. Wie groß | + | {Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich $0$, ... ,$5$ begrenzt. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die poissonverteilte Größe gleich $6$ ist bzw. größer als $6$ ist? |
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− | $\rm Pr(6)$ = { 0. | + | ${\rm Pr}(z_{Poisson} = 6) \ =$ { 0.012 3% } |
+ | ${\rm Pr}(z_{Poisson} > 6) \ =$ { 0.004 3% } | ||
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− | + | '''(1)''' Bei der Poissonverteilung sind Mittelwert $m_1$ und Varianz $\sigma^2$ gleich. Die Zufallsgröße $z_1$ erfüllt diese Bedingung ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1</u>. | |
− | + | '''(2)''' Bei der Poissonverteilung ist zudem der Mittelwert gleich der Rate. Deshalb muss $\underline{\lambda = 2}$ gelten. | |
− | + | '''(3)''' Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet: | |
− | + | $$\rm Pr(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.012}.$$ | |
− | + | Die Wahrscheinlichkeit Pr(<i>z</i><sub>1</sub> > 6) ergibt sich zu 1 – Pr(0) – Pr(1) – ... – Pr(6). Es ergibt sich der Zahlenwert Pr(<i>z</i><sub>1</sub> > 6) ≈ 0.004. | |
− | + | '''(4)''' Für die Varianz der Binomialverteilung gilt: | |
− | + | $$\sigma^{\rm 2}=\it I\cdot p\cdot (\rm 1-\it p)=\it m_{\rm 1}\cdot (\rm 1-\it p).$$ | |
:Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich damit aus der Varianz <nobr>1.095<sup>2</sup> = 1.2</nobr> und dem Mittelwert 2 entsprechend der Gleichung: | :Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich damit aus der Varianz <nobr>1.095<sup>2</sup> = 1.2</nobr> und dem Mittelwert 2 entsprechend der Gleichung: | ||
− | + | $$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$ | |
− | + | '''(5)''' Aus dem Mittelwert <i>m</i><sub>1</sub> = 2 folgt weiterhin <u><i>I</i> = 5</u>. Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten: | |
− | + | $$\rm Pr(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot \it p^{\rm 0}\cdot (\rm 1 -\it p)^{\rm 5-0}=\rm 0.6^5=0.078.$$ | |
:Das bedeutet: Das Ergebnis ist richtig. | :Das bedeutet: Das Ergebnis ist richtig. |
Version vom 5. März 2017, 15:22 Uhr
Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$, die alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $5$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben. Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt.
Weiterhin ist bekannt, dass
- eine der Größen binomialverteilt ist, und
- die andere eine Poissonverteilung beschreibt.
Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Zufallsgrößen $z_1$ und $z_2$ binomialverteilt und welche poissonverteilt ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Poissonverteilung.
- Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel Binomialverteilung.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Bei der Poissonverteilung ist zudem der Mittelwert gleich der Rate. Deshalb muss $\underline{\lambda = 2}$ gelten.
(3) Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet: $$\rm Pr(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.012}.$$
Die Wahrscheinlichkeit Pr(z1 > 6) ergibt sich zu 1 – Pr(0) – Pr(1) – ... – Pr(6). Es ergibt sich der Zahlenwert Pr(z1 > 6) ≈ 0.004.
(4) Für die Varianz der Binomialverteilung gilt: $$\sigma^{\rm 2}=\it I\cdot p\cdot (\rm 1-\it p)=\it m_{\rm 1}\cdot (\rm 1-\it p).$$
- Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich damit aus der Varianz <nobr>1.0952 = 1.2</nobr> und dem Mittelwert 2 entsprechend der Gleichung:
$$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$
(5) Aus dem Mittelwert m1 = 2 folgt weiterhin I = 5. Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten: $$\rm Pr(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot \it p^{\rm 0}\cdot (\rm 1 -\it p)^{\rm 5-0}=\rm 0.6^5=0.078.$$
- Das bedeutet: Das Ergebnis ist richtig.