Aufgaben:Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge $A \ B \ B \ A$ erzeugt wird?
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge „$A - B -B - A$” erzeugt wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
${\rm Pr}(A \ B \ B \ A)\ =$ { 0.0864 3% }
+
${\rm Pr}(A - B -B - A)\ =$ { 8.64 3% } $\ \%$
  
 
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Version vom 23. Februar 2017, 15:05 Uhr

20 Realisierungen der betrachteten Markovkette

Rechts sehen Sie 20 Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$:

  • Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn ($ν = 0$) das Ereignis $A$ überwiegt.
  • Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ auf.

Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:

$${\rm Pr}(A_\text{v=0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_\text{v=1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_\text{v>4}) \approx 0.4.$$

Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung


Fragebogen

1

Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν = 9$, wenn man nur die 20 dargestellten Realisierungen berücksichtigt?

${\rm Pr}(A_\text{v=0}) \ =$

${\rm Pr}(A_\text{v=1}) \ =$

${\rm Pr}(A_\text{v=9}) \ =$

2

Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?

Nach $A$ ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.
Sowohl nach $A$ als auch nach $B$ kann wieder $A$ oder $B$ folgen.
Die Folge $B B B B ...$ ist nicht möglich.

3

Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ und ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$$?

${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ =$

${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ =$

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils $B$ sind?

${\rm Pr}(B_0, ... , B_9)\ =$

$\ \cdot 10^{-5}$

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge „$A - B -B - A$” erzeugt wird?

${\rm Pr}(A - B -B - A)\ =$

$\ \%$


Musterlösung

1.  Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:
$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 0}) = \underline{17/20 = 0.85},$$
$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 1}) = \underline{2/20 = 0.10},$$
$$*Pr(A_\text{$\nu$ = 9}) = \underline{8/20 = 0.40},$$
3.  Nach A folgt B sehr viel häufiger als A, das heißt, es wird sicher Pr(B | A) > Pr(A | A) sein. Alle vier Übergänge zwischen den zwei Ereignissen A und B sind möglich. Daraus folgt weiter, dass alle vier Übergangswahrscheinlichkeiten ungleich 0 sein werden. Wegen Pr(Bν=0) ≠ 0 und Pr(B | B) ≠ 0 kann natürlich auch die Folge B B B B ... erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2.
3.  Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit der Abkürzung Pr(A0) = Pr(Aν=0) usw.:
$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind Pr(A) = Pr(Aν>4) = 0.4 und Pr(B) = Pr(Bν>4) = 0.6. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
Multipliziert man die erste Gleichung mit 6 und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $Pr(A | B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind $Pr(B | A) = 1 - Pr(A | A) = 0.9, Pr(B | B) = 1 - Pr(A | B)\ \underline{= 0.4}$.
4.  Dieser Fall ist nur dann möglich, wenn die Markovkette mit B beginnt und danach neunmal ein Übergang von B nach B stattfindet:
$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
5.  Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit Pr(A) ausgegangen werden und man erhält:
$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}10^{-2}}.$$