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{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion (AKF)
}}

[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|]]
:Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess {xi(t)}, der durch die dargestellte Musterfunktion x(t) vollständig charakterisiert ist.

:Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses {xi(t)} erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen τi, wobei τi als gleichverteilt zwischen 0 und der Periodendauer T0 angenommen wird.

:Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Ermitteln Sie die Periodendauer T0, normiert auf die Zeitdauer T.
|type="{}"}
$T_0/T$ = { 5 3% }

{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses?
|type="{}"}
$m_x$ = { 0.4 3% } V

{Wie groß ist die (auf den Widerstand 1 Ω bezogene) Prozessleistung?
|type="{}"}
$P_x$ = { 2 3% } $V^2$

{Berechnen Sie die AKF-Werte für τ = T und τ = 2T.
|type="{}"}
$\phi_x(\tau = T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
$\phi_x(\tau = 2T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$

{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für τ = 3T und τ = 4T?
|type="{}"}
$\phi_x(\tau = 3T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$
$\phi_x(\tau = 4T)$ = { 0.6 3% } $V^2$

{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller τ-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.
|type="{}"}
$E[\phi_x(\tau)]$ = { 0.16 3% } $V^2$

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|]]
:1.  Die Periodendauer beträgt T0 = 5T.

:2. Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer T0:
:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t \\ = \rm \frac{1}{5 \it T} (\rm 2V \cdot 2 \it T - \rm 1V \cdot 2 \it T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$

:3. In analoger Weise zu Aufgabe 2) erhält man für die mittlere Leistung:
:$$P_x = \rm \frac{2 \it T}{5 \it T} ((\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 )\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$

:4. Die Bilder zeigen das Produkt x(t) · x(t + T) bzw. x(t) · x(t + 2T), jeweils im Bereich von 0 bis T0 = 5T.

:Zu beachten ist, dass x(t + T) eine Verschiebung des Signals x(t) um T nach links bedeutet. Aus den beiden Grafiken folgen die Beziehungen:
:$$\varphi_x (T)= \rm \frac{1}{5 } (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
:$$\varphi_x (\rm 2\it T)= \rm \frac{1}{5 } (-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$

:5.  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: φx(–τ) = φx(τ). Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer T0 wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
:$$\varphi_x (\rm 0) = \varphi_x (\rm 5\it T) = \varphi_x (\rm 10\it T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
:$$\varphi_x (\rm 3\it T) = \varphi_x (\rm -3\it T) =\varphi_x (\rm 2\it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
:$$\varphi_x (\rm 4\it T) = \varphi_x (\rm -4\it T) =\varphi_x (\rm \it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

:Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|center|]]

:6.  Die Mittelung über die 5 Intervalle 0 bis T, T bis 2T, ... , 4T bis 5T liefern (jeweils mit der Einheit V2): 1.3; –0.3, –1.2, –0.3, 1.3. Daraus ergibt sich der Erwartungswert E[φx(τ)] = 0.16 V2. Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes mx (siehe Teilaufgabe 2).

{{ML-Fuß}}

[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.4 Autokorrelationsfunktion (AKF)^]]

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−	~~{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion (AKF)~~
−	}}
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−	~~[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|]]~~
−	:Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess {<i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>)}, der durch die dargestellte Musterfunktion <i>x</i>(<i>t</i>) vollständig charakterisiert ist.
−
−	:Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses {<i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>)} erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen <i>τ<sub>i</sub></i>, wobei <i>τ<sub>i</sub></i> als gleichverteilt zwischen 0 und der Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> angenommen wird.
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−	~~:<b>Hinweis</b>: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.~~
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−	~~===Fragebogen===~~
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−	~~<quiz display=simple>~~
−	~~{Ermitteln Sie die Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>, normiert auf die Zeitdauer <i>T</i>.~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$T_0/T$ = { 5 3% }~~
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−	~~{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses?~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$m_x$ = { 0.4 3% } V~~
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−	~~{Wie groß ist die (auf den Widerstand 1 Ω bezogene) Prozessleistung?~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$P_x$ = { 2 3% } $V^2$~~
−
−
−	~~{Berechnen Sie die AKF-Werte für <i>τ</i> = <i>T</i> und <i>τ</i> = 2<i>T</i>.~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$\phi_x(\tau = T)$ = { 0.6 3% } $V^2$~~
−	~~$\phi_x(\tau = 2T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$~~
−
−
−	~~{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für <i>τ</i> = 3<i>T</i> und <i>τ</i> = 4<i>T</i>?~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$\phi_x(\tau = 3T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$~~
−	~~$\phi_x(\tau = 4T)$ = { 0.6 3% } $V^2$~~
−
−
−	~~{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller <i>τ</i>-Werte.<br>Interpretieren Sie das Ergebnis.~~
−	~~\|type="{}"}~~
−	~~$E[\phi_x(\tau)]$ = { 0.16 3% } $V^2$~~
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−	~~</quiz>~~
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−	~~===Musterlösung===~~
−	~~{{ML-Kopf}}~~
−	~~[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|]]~~
−	~~:<b>1.</b>  Die Periodendauer beträgt <u><i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i></u>.~~
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−	~~:<b>2.</b> Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>:~~
−	~~:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t \\ = \rm \frac{1}{5 \it T} (\rm 2V \cdot 2 \it T - \rm 1V \cdot 2 \it T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$~~
−
−	~~:<b>3.</b> In analoger Weise zu Aufgabe 2) erhält man für die mittlere Leistung:~~
−	~~:$$P_x = \rm \frac{2 \it T}{5 \it T} ((\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 )\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$~~
−
−	:<b>4.</b> Die Bilder zeigen das Produkt <i>x</i>(<i>t</i>) · <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) bzw. <i>x</i>(<i>t</i>) · <i>x</i>(<i>t</i> + 2<i>T</i>), jeweils im Bereich von 0 bis <i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i>.
−
−	~~:Zu beachten ist, dass <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) eine Verschiebung des Signals <i>x</i>(<i>t</i>) um <i>T</i> nach links bedeutet. Aus den beiden Grafiken folgen die Beziehungen:~~
−	~~:$$\varphi_x (T)= \rm \frac{1}{5 } (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$~~
−	~~:$$\varphi_x (\rm 2\it T)= \rm \frac{1}{5 } (-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$~~
−
−	:<b>5.</b>  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: <i>φ<sub>x</sub></i>(–<i>τ</i>) = <i>φ<sub>x</sub></i>(<i>τ</i>). Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
−	~~:$$\varphi_x (\rm 0) = \varphi_x (\rm 5\it T) = \varphi_x (\rm 10\it T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$~~
−	~~:$$\varphi_x (\rm 3\it T) = \varphi_x (\rm -3\it T) =\varphi_x (\rm 2\it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$~~
−	~~:$$\varphi_x (\rm 4\it T) = \varphi_x (\rm -4\it T) =\varphi_x (\rm \it T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$~~
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−	~~:Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.~~
−	~~[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|center\|]]~~
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−	:<b>6.</b>  Die Mittelung über die 5 Intervalle 0 bis <i>T</i>, <i>T</i> bis 2<i>T</i>, ... , 4<i>T</i> bis 5<i>T</i> liefern (jeweils mit der Einheit V<sup>2</sup>): 1.3; –0.3, –1.2, –0.3, 1.3. Daraus ergibt sich der Erwartungswert <u>E[<i>φ<sub>x</sub></i>(<i>τ</i>)] = 0.16 V<sup>2</sup></u>. Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes <i>m<sub>x</sub></i> (siehe Teilaufgabe 2).
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Zusatzaufgaben:4.9 Periodische AKF - Versionsgeschichte

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