Zusatzaufgaben:1.2Z Nochmals Lognormal–Fading - Versionsgeschichte

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[[Datei:P_ID2123__Mob_Z_1_2.png|right|frame]]
Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der [[Aufgaben:1.2_Lognormal_%E2%80%93_Kanalmodell|Aufgabe A1.2]] aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ und den Mittelwert $m_S$ des Lognormal–Fadings zusammen (der Index S steht für Shadowing):
:$$V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$

Der gesamte Pfadverlust ist dann durch die Gleichung
:$$V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t)$$

gegeben, wobei $V_2(t)$ eine Lognormal–Verteilung mit Mittelwert 0 beschreibt:
:$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet. Multipliziert man das Sendesignal $s(t)$ zunächst mit einem konstanten Faktor $k_1$ und weiter mit einer stochastischen Größe $z_2(t)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal $r(t)$, dessen Leistung $P_E(t)$ aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist. Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße $z_2$ lautet für $z_2 ≥ 0$:
:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Für $z_2 ≤ 0$ ist diese WDF identisch 0.

''Hinweis:'' Die Aufgabe gehört zum [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Kapitel 1.1]].
Verwenden Sie folgende Kenngrößen:
:$$V_{\rm 1} = 60\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $z$ einen größeren Wert besitzt als ihre Streuung $\sigma$, ist bekanntlich
:$${\rm Pr}(z > \sigma) = {\rm Pr}(z < -\sigma) = {\rm Q}(1) \approx 0.158\hspace{0.05cm}.$$

Weiterhin gilt:
:$${\rm Pr}(z > 2\sigma) = {\rm Pr}(z < -2\sigma) = {\rm Q}(2) \approx 0.023\hspace{0.05cm}.$$

Nochmals zur Verdeutlichung: $z_2$ ist die lineare Fading–Größe, während die Beschreibungsgröße $V_2$ auf dem Zehner–Logarithmus basiert. Es gelten folgende Umrechnungen:
:$$z_2 = 10^{-V_{\rm 2}/20\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
V_{\rm 2} = -20\,{\rm dB} \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}z_2\hspace{0.05cm}.$$

{{Display}}

[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung^]]

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−	~~{{quiz-Header\|Buchseite=Mobile Kommunikation/Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung~~
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−	~~[[Datei:P_ID2123__Mob_Z_1_2.png\|right\|frame]]~~
−	Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der [[Aufgaben:1.2_Lognormal_%E2%80%93_Kanalmodell\|Aufgabe A1.2]] aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ und den Mittelwert $m_S$ des Lognormal–Fadings zusammen (der Index S steht für <i>Shadowing</i>):
−	~~:$$V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$~~
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−	~~Der gesamte Pfadverlust ist dann durch die Gleichung~~
−	~~:$$V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t)$$~~
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−	~~gegeben, wobei $V_2(t)$ eine<span style="color: rgb(204, 0, 0);"> <b>Lognormal–Verteilung mit Mittelwert 0</b> </span>beschreibt:~~
−	~~:$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$~~
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−	Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet. Multipliziert man das Sendesignal $s(t)$ zunächst mit einem konstanten Faktor $k_1$ und weiter mit einer stochastischen Größe $z_2(t)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal $r(t)$, dessen Leistung $P_E(t)$ aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist. Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße $z_2$ lautet für $z_2 ≥ 0$:
−	:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
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−	~~Für $z_2 ≤ 0$ ist diese WDF identisch 0.~~
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−	~~''Hinweis:'' Die Aufgabe gehört zum [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung\|Kapitel 1.1]].~~
−	~~Verwenden Sie folgende Kenngrößen:~~
−	~~:$$V_{\rm 1} = 60\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$~~
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−	~~Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $z$ einen größeren Wert besitzt als ihre Streuung $\sigma$, ist bekanntlich~~
−	~~:$${\rm Pr}(z > \sigma) = {\rm Pr}(z < -\sigma) = {\rm Q}(1) \approx 0.158\hspace{0.05cm}.$$~~
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−	~~Weiterhin gilt:~~
−	~~:$${\rm Pr}(z > 2\sigma) = {\rm Pr}(z < -2\sigma) = {\rm Q}(2) \approx 0.023\hspace{0.05cm}.$$~~
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−	~~Nochmals zur Verdeutlichung: $z_2$ ist die lineare Fading–Größe, während die Beschreibungsgröße $V_2$ auf dem Zehner–Logarithmus basiert. Es gelten folgende Umrechnungen:~~
−	~~:$$z_2 = 10^{-V_{\rm 2}/20\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}~~
−	~~V_{\rm 2} = -20\,{\rm dB} \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}z_2\hspace{0.05cm}.$$~~
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