Stochastische Signaltheorie/Zweidimensionale Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:28:57Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
Zeile 293:		Zeile 293:

	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Two-Dimensional_Random_Variables]]

Maintenance script: Domain migration: replace www.lntwww.de with relative paths

2026-02-24T13:11:40Z

Domain migration: replace www.lntwww.de with relative paths

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:11 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP–Version des Programms,		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP–Version des Programms,
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung – Teil A]   ⇒   Link verweist auf die PDF–Version mit Kapitel 5:  Seite 81-97,		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung – Teil A]   ⇒   Link verweist auf die PDF–Version mit Kapitel 5:  Seite 81-97,
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung – Teil B]   ⇒   Link verweist auf die PDF–Version mit Kapitel 9:  Seite 207-228.		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung – Teil B]   ⇒   Link verweist auf die PDF–Version mit Kapitel 9:  Seite 207-228.

Guenter am 24. Januar 2022 um 13:01 Uhr

2022-01-24T13:01:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2022, 15:01 Uhr
Zeile 273:		Zeile 273:
	*Die Regression in Gegenrichtung – also von  $x$  auf  $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in  $x$–Richtung.		*Die Regression in Gegenrichtung – also von  $x$  auf  $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in  $x$–Richtung.

	*Das interaktive Applet  [[Applets:~~Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade\|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade~~]]  verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen  $($falls  $σ_y \ne σ_x)$  für die Regression von  $x$  auf  $y$  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:		*Das interaktive Applet  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade]]  verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen  $($falls  $σ_y \ne σ_x)$  für die Regression von  $x$  auf  $y$  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
	:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$		:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$

Guenter am 24. Januar 2022 um 12:56 Uhr

2022-01-24T12:56:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2022, 14:56 Uhr
Zeile 217:		Zeile 217:
	Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $x$  und  $y$  ist die Kovarianz  $\mu_{xy} \equiv 0$.  Dieser Fall wurde bereits im  $\text{Beispiel 2}$  auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten\|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]]  betrachtet.		Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $x$  und  $y$  ist die Kovarianz  $\mu_{xy} \equiv 0$.  Dieser Fall wurde bereits im  $\text{Beispiel 2}$  auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten\|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]]  betrachtet.

	*Das Ergebnis  $\mu_{xy} = 0$  ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $x$  und  $y$  möglich,  nämlich dann,  wenn diese unkorreliert, also~~  "~~linear unabhängig~~" ~~ sind.		*Das Ergebnis  $\mu_{xy} = 0$  ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $x$  und  $y$  möglich,  nämlich dann,  wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.
	*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster,  sondern von höherer Ordnung,  zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $y=x^2.$		*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster,  sondern von höherer Ordnung,  zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $y=x^2.$

Guenter am 24. Januar 2022 um 12:53 Uhr

2022-01-24T12:53:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2022, 14:53 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	*Manchmal wird jedoch auch auf die Besonderheiten zweidimensionaler diskreter Zufallsgrößen genauer eingegangen.		*Manchmal wird jedoch auch auf die Besonderheiten zweidimensionaler diskreter Zufallsgrößen genauer eingegangen.
	*Die meisten der vorher für eindimensionale Zufallsgrößen definierten Kenngrößen kann man problemlos auf zweidimensionale Größen erweitern.		*Die meisten der vorher für eindimensionale Zufallsgrößen definierten Kenngrößen kann man problemlos auf zweidimensionale Größen erweitern.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

Guenter am 24. Januar 2022 um 12:51 Uhr

2022-01-24T12:51:13Z

Änderungen zeigen

Guenter am 24. Januar 2022 um 10:36 Uhr

2022-01-24T10:36:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Januar 2022, 12:36 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.  Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns der Autokorrelationsfunktion  (AKF),  der Kreuzkorrelationsfunktion  (KKF)  ~~und~~ den zugehörigen Spektralfunktionen  (~~LDS~~, ~~KLDS~~)~~  zu~~.		Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.

			Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns folgenden Beschreibungsgrößen zu:

			#der Autokorrelationsfunktion  (AKF),
			#der Kreuzkorrelationsfunktion  (KKF),
			#den zugehörigen Spektralfunktionen  (Leistungsdichtespektrum, Kreuzleistungsdichtespektrum).


	Im Einzelnen werden behandelt:		Im Einzelnen werden behandelt:

	*die statistische Beschreibung von ''2D–Zufallsgrößen''  mit Hilfe der ~~(Verbund–)WDF~~,		*die statistische Beschreibung von  »2D–Zufallsgrößen«  mit Hilfe der Verbund–WDF,
	*der Unterschied zwischen ''statistischer Abhängigkeit''  und ''Korrelation'',		*der Unterschied zwischen  »statistischer Abhängigkeit«  und  »Korrelation«,
	*die Klassifizierungsmerkmale ''Stationarität''  und ''Ergodizität''  stochastischer Prozesse,		*die Klassifizierungsmerkmale  »Stationarität«  und  »Ergodizität«  stochastischer Prozesse,
	* die Definitionen von ''Autokorrelationsfunktion''  (AKF) und ''Leistungsdichtespektrum''  (LDS),		* die Definitionen von  »Autokorrelationsfunktion«  $\rm (AKF)$  und  »Leistungsdichtespektrum«  $\rm (LDS)$,
	*die Definitionen von ''Kreuzkorrelationsfunktion''  und ''Kreuzleistungsdichtespektrum'', ~~und~~		*die Definitionen von  »Kreuzkorrelationsfunktion«  und  »Kreuzleistungsdichtespektrum«,
	*die numerische Ermittlung all dieser Größen im zwei– und mehrdimensionalen Fall.		*die numerische Ermittlung all dieser Größen im zwei– und mehrdimensionalen Fall.

Guenter am 25. November 2019 um 16:56 Uhr

2019-11-25T16:56:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2019, 18:56 Uhr
Zeile 207:		Zeile 207:
	==Korrelationskoeffizient==		==Korrelationskoeffizient==
	<br>		<br>
	Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $x$ und $y$ ist die Kovarianz $\mu_{xy} \equiv 0$. Dieser Fall wurde bereits im $\text{Beispiel 2}$ auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten\|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]] betrachtet.		Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten  $x$  und  $y$  ist die Kovarianz  $\mu_{xy} \equiv 0$.  Dieser Fall wurde bereits im  $\text{Beispiel 2}$  auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten\|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]]  betrachtet.

	*Das Ergebnis $\mu_{xy} = 0$ ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten $x$ und $y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also ''linear unabhängig'' sind.		*Das Ergebnis  $\mu_{xy} = 0$  ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten  $x$  und  $y$  möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also  ''linear unabhängig''  sind.
	*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $y=x^2.$		*Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung  $y=x^2.$


	Man spricht von &~~bdquo~~;vollständiger Korrelation~~”~~, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ durch die Gleichung $y = K · x$ ausgedrückt wird. Dann ergibt sich für die Kovarianz:		Man spricht von  '''vollständiger Korrelation''', wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen  $x$  und  $y$  durch die Gleichung  $y = K · x$  ausgedrückt wird. Dann ergibt sich für die Kovarianz:
	* $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$ bei positivem Wert von $K$,		* $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$  bei positivem Wert von  $K$,
	* $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$ bei negativem $K$–Wert.		* $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$  bei negativem  $K$–Wert.


Zeile 221:		Zeile 221:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Der '''Korrelationskoeffizient''' ist der ~~Quoient~~ aus Kovarianz $\mu_{xy}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_x$ und $σ_y$ der beiden Komponenten:		$\text{Definition:}$  Der  '''Korrelationskoeffizient'''  ist der Quotient aus der Kovarianz  $\mu_{xy}$  und dem Produkt der Effektivwerte  $σ_x$  und  $σ_y$  der beiden Komponenten:
	:$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$}}		:$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$}}


	Der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$ weist folgende Eigenschaften auf:		Der Korrelationskoeffizient  $\rho_{xy}$  weist folgende Eigenschaften auf:
	*Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{xy} ≤ +1$.		*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le ρ_{xy} ≤ +1$.
	*Sind die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ unkorreliert, so ist $ρ_{xy} = 0$.		*Sind die beiden Zufallsgrößen  $x$  und  $y$  unkorreliert, so ist  $ρ_{xy} = 0$.
	*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ ist $ρ_{xy}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.		*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen  $x$  und  $y$  ist  $ρ_{xy}= ±1$   ⇒   vollständige Korrelation.
	*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$  größer ist als bei kleinerem $x$.		*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem  $x$–Wert im statistischen Mittel auch  $y$  größer ist als bei kleinerem  $x$.
	*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $y$  mit steigendem $x$ im Mittel kleiner wird.		*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass  $y$  mit steigendem  $x$  im Mittel kleiner wird.


Zeile 236:		Zeile 236:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$  Es gelten folgende Voraussetzungen:		$\text{Beispiel 5:}$  Es gelten folgende Voraussetzungen:
	*Die betrachteten Komponenten $x$ und $y$ besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.		*Die betrachteten Komponenten  $x$  und  $y$  besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
	*Die beiden Streuungen sind unterschiedlich $(σ_y < σ_x)$.		*Die beiden Streuungen sind unterschiedlich  $(σ_y < σ_x)$.
	*Der Korrelationskoeffizient beträgt $ρ_{xy} = 0.8$.		*Der Korrelationskoeffizient beträgt  $ρ_{xy} = 0.8$.


	Im Unterschied zum [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten\| Beispiel 2]] mit statistisch unabhängigen Komponenten   ⇒   $ρ_{xy} = 0$ (trotz $σ_y < σ_x$) erkennt man, dass hier bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.}}		Im Unterschied zum  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten\| Beispiel 2]]  mit statistisch unabhängigen Komponenten   ⇒   $ρ_{xy} = 0$  $($trotz  $σ_y < σ_x)$  erkennt man, dass hier bei größerem  $x$–Wert im statistischen Mittel auch  $y$  größer ist als bei kleinerem  $x$.}}


	==Korrelationsgerade==		==Korrelationsgerade==
	<br>		<br>

	[[Datei: P_ID1089__Sto_T_4_1_S7b_neu.png \|frame\| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade]]		[[Datei: P_ID1089__Sto_T_4_1_S7b_neu.png \|frame\| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade]]
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Als '''Korrelationsgerade''' bezeichnet man die Gerade $y = K(x)$ in der $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch ''Regressionsgerade'' genannt.		$\text{Definition:}$  Als  '''Korrelationsgerade'''  bezeichnet man die Gerade  $y = K(x)$  in der  $(x, y)$–Ebene durch den „Mittelpunkt”  $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch  ''Regressionsgerade''  genannt.

	Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:		Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:

	*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$–Richtung betrachtet und über alle $N$ Punkte gemittelt – ist minimal:		*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in  $y$–Richtung betrachtet und über alle  $N$  Punkte gemittelt – ist minimal:
	:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$		:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
	*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:		*Die Korrelationsgerade kann als eine Art  „statistische Symmetrieachse“  interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:
	:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$}}		:$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$}}


	Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$–Achse einnimmt, beträgt:		Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur  $x$–Achse einnimmt, beträgt:
	:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$		:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$

	Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von $y$ auf $x$ handelt.		Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von  $y$  auf  $x$  handelt.

	*Die Regression in Gegenrichtung – also von $x$ auf $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in $x$–Richtung.		*Die Regression in Gegenrichtung – also von  $x$  auf  $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in  $x$–Richtung.

	*Das interaktive Applet [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade\|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]] verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen (falls $σ_y \ne σ_x$) für die Regression von $x$ auf $y$ ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:		*Das interaktive Applet  [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade\|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]]  verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen  $($falls  $σ_y \ne σ_x)$  für die Regression von  $x$  auf  $y$  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
	:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$		:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$

Guenter am 25. November 2019 um 16:23 Uhr

2019-11-25T16:23:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. November 2019, 18:23 Uhr
Zeile 194:		Zeile 194:


			[[Datei:P_ID628__Sto_T_4_1_S6Neu.png \|right\|frame\| Beispielhafte 2D-Erwartungswerte]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  In den beiden ersten Zeilen der ~~folgenden~~ Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen $〈x_ν〉$ und $〈y_ν〉$ eingetragen. In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte $x_ν · y_ν$ angegeben.		$\text{Beispiel 4:}$  In den beiden ersten Zeilen der Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen  $〈x_ν〉$  und  $〈y_ν〉$  eingetragen.  In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte  $x_ν · y_ν$  angegeben.

	~~[[Datei:P_ID628__Sto_T_4_1_S6Neu.png \|center\|frame\| Beispielhafte 2D-Erwartungswerte]]~~		*Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man
			:$$m_x =0.5,\ \ m_y = 1, \ \ m_{xy} = 0.69.$$
	~~Die Tabelle zeigt folgenden Sachverhalt:~~		*Daraus ergibt sich direkt der Wert für die Kovarianz:
	*Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man $m_x =0.5$, $m_y = 1~~$ und $~~m_{xy} = 0.69$.		:$$\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$$
	*Daraus ergibt sich die Kovarianz zu $\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$		<br clear=all>
	*Ohne Kenntnis der Gleichung $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$ hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte $m_x$ und $m_y$ ermitteln müssen, um im zweiten Durchlauf die Kovarianz $\mu_{xy}$ als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.}}		Ohne Kenntnis der Gleichung  $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$  hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte  $m_x$  und  $m_y$  ermitteln müssen, <br>um dann in einem zweiten Durchlauf die Kovarianz  $\mu_{xy}$  als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.}}

	==Korrelationskoeffizient==		==Korrelationskoeffizient==

Guenter am 25. November 2019 um 16:07 Uhr

2019-11-25T16:07:32Z

Änderungen zeigen