Stochastische Signaltheorie/Zweidimensionale Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

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Guenter am 15. August 2018 um 10:42 Uhr

2018-08-15T10:42:59Z

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 *Die Regression in Gegenrichtung – also von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in&nbsp; $x$–Richtung.
-*Das interaktive Applet&nbsp;  [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]]&nbsp; verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen&nbsp; $($falls&nbsp; $σ_y \ne σ_x)$&nbsp; für die Regression von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$&nbsp;  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
+*Das interaktive Applet&nbsp;  [[Applets:Korrelation_und_Regressionsgerade]]&nbsp; verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen&nbsp; $($falls&nbsp; $σ_y \ne σ_x)$&nbsp; für die Regression von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$&nbsp;  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
 :$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$

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 Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy} \equiv 0$.&nbsp; Dieser Fall wurde bereits im&nbsp; $\text{Beispiel 2}$&nbsp; auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]]&nbsp; betrachtet.
-*Das Ergebnis&nbsp; $\mu_{xy} = 0$&nbsp; ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; möglich,&nbsp; nämlich dann,&nbsp; wenn diese unkorreliert, also&nbsp;    "linear unabhängig"&nbsp; sind.
+*Das Ergebnis&nbsp; $\mu_{xy} = 0$&nbsp; ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; möglich,&nbsp; nämlich dann,&nbsp; wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig  sind.
 *Die  statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster,&nbsp; sondern von höherer Ordnung,&nbsp; zum Beispiel entsprechend der Gleichung&nbsp; $y=x^2.$

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 *Manchmal wird jedoch auch auf die Besonderheiten zweidimensionaler diskreter Zufallsgrößen genauer eingegangen.&nbsp;
 *Die meisten der vorher für eindimensionale Zufallsgrößen definierten Kenngrößen kann man problemlos auf zweidimensionale Größen erweitern.
 {{BlaueBox|TEXT=

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 == # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.&nbsp; Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns der Autokorrelationsfunktion&nbsp; (AKF),&nbsp; der Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; (KKF)&nbsp; und den zugehörigen Spektralfunktionen&nbsp; (LDS, KLDS)&nbsp; zu.
+Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.&nbsp;
 Im Einzelnen werden behandelt:
-*die statistische Beschreibung von ''2D–Zufallsgrößen''&nbsp; mit Hilfe der (Verbund–)WDF,
+*die statistische Beschreibung von&nbsp; &raquo;2D–Zufallsgrößen&laquo;&nbsp; mit Hilfe der Verbund–WDF,
-*der Unterschied zwischen ''statistischer Abhängigkeit''&nbsp; und ''Korrelation'',
+*der Unterschied zwischen&nbsp; &raquo;statistischer Abhängigkeit&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Korrelation&laquo;,
-*die Klassifizierungsmerkmale ''Stationarität''&nbsp; und ''Ergodizität''&nbsp; stochastischer Prozesse,
+*die Klassifizierungsmerkmale&nbsp; &raquo;Stationarität&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Ergodizität&laquo;&nbsp; stochastischer Prozesse,
-* die Definitionen von ''Autokorrelationsfunktion''&nbsp; (AKF) und ''Leistungsdichtespektrum''&nbsp; (LDS),
+* die Definitionen von&nbsp; &raquo;Autokorrelationsfunktion&laquo;&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; und&nbsp; &raquo;Leistungsdichtespektrum&laquo;&nbsp; $\rm (LDS)$,
-*die Definitionen von ''Kreuzkorrelationsfunktion''&nbsp; und ''Kreuzleistungsdichtespektrum'', und
+*die Definitionen von&nbsp; &raquo;Kreuzkorrelationsfunktion&laquo;&nbsp; und&nbsp; &raquo;Kreuzleistungsdichtespektrum&laquo;,
 *die numerische Ermittlung all dieser Größen im zwei– und mehrdimensionalen Fall.

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 ==Korrelationskoeffizient==
 <br>
-Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $x$ und $y$ ist die Kovarianz $\mu_{xy} \equiv 0$. Dieser Fall wurde bereits im $\text{Beispiel 2}$ auf der Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]] betrachtet.
+Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy} \equiv 0$.&nbsp; Dieser Fall wurde bereits im&nbsp; $\text{Beispiel 2}$&nbsp; auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten|WDF und VTF bei statistisch unabhängigen Komponenten]]&nbsp; betrachtet.
-*Das Ergebnis $\mu_{xy} = 0$ ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten $x$ und $y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also    ''linear unabhängig'' sind.
+*Das Ergebnis&nbsp; $\mu_{xy} = 0$&nbsp; ist aber auch bei statistisch abhängigen Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also&nbsp;    ''linear unabhängig''&nbsp; sind.
-*Die  statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $y=x^2.$
+*Die  statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung&nbsp; $y=x^2.$
-Man spricht von &bdquo;vollständiger Korrelation&rdquo;, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $x$ und  $y$  durch die Gleichung $y = K · x$ ausgedrückt wird. Dann ergibt sich  für die Kovarianz:
+Man spricht von&nbsp; '''vollständiger Korrelation''', wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp;  $y$&nbsp;  durch die Gleichung&nbsp; $y = K · x$&nbsp; ausgedrückt wird. Dann ergibt sich  für die Kovarianz:
-* $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$ bei positivem Wert von $K$,
+* $\mu_{xy} = σ_x · σ_y$&nbsp; bei positivem Wert von&nbsp; $K$,
-* $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$ bei negativem $K$&ndash;Wert.
+* $\mu_{xy} = - σ_x · σ_y$&nbsp; bei negativem&nbsp; $K$&ndash;Wert.
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Der '''Korrelationskoeffizient''' ist der Quoient aus Kovarianz $\mu_{xy}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_x$ und $σ_y$ der beiden Komponenten:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Korrelationskoeffizient'''&nbsp; ist der Quotient aus der Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; und dem Produkt der Effektivwerte&nbsp; $σ_x$&nbsp; und&nbsp; $σ_y$&nbsp; der beiden Komponenten:
 :$$\rho_{xy}=\frac{\mu_{xy} }{\sigma_x \cdot \sigma_y}.$$}}
-Der Korrelationskoeffizient $\rho_{xy}$ weist folgende Eigenschaften auf:
+Der Korrelationskoeffizient&nbsp; $\rho_{xy}$&nbsp; weist folgende Eigenschaften auf:
-*Aufgrund der Normierung gilt stets  $-1 \le  ρ_{xy}  ≤ +1$.
+*Aufgrund der Normierung gilt stets&nbsp;  $-1 \le  ρ_{xy}  ≤ +1$.
-*Sind die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ unkorreliert, so ist $ρ_{xy} = 0$.
+*Sind die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; unkorreliert, so ist&nbsp; $ρ_{xy} = 0$.
-*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $x$ und $y$ ist $ρ_{xy}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
+*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist&nbsp; $ρ_{xy}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
-*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem $x$.
+*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem&nbsp; $x$–Wert im statistischen Mittel auch&nbsp; $y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem&nbsp; $x$.
-*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $y$&nbsp; mit steigendem $x$ im Mittel kleiner wird.
+*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass&nbsp; $y$&nbsp; mit steigendem&nbsp; $x$&nbsp; im Mittel kleiner wird.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Es gelten folgende Voraussetzungen:
-*Die betrachteten Komponenten $x$ und $y$ besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
+*Die betrachteten Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; besitzen jeweils eine gaußförmige WDF.
-*Die beiden Streuungen sind unterschiedlich $(σ_y < σ_x)$.
+*Die beiden Streuungen sind unterschiedlich&nbsp; $(σ_y < σ_x)$.
-*Der Korrelationskoeffizient beträgt $ρ_{xy} = 0.8$.
+*Der Korrelationskoeffizient beträgt&nbsp; $ρ_{xy} = 0.8$.
-Im Unterschied zum [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten| Beispiel 2]] mit statistisch unabhängigen Komponenten &nbsp; &rArr; &nbsp; $ρ_{xy} = 0$ (trotz $σ_y < σ_x$) erkennt man, dass hier bei größerem $x$–Wert im statistischen Mittel auch $y$ größer ist als bei kleinerem $x$.}}
+Im Unterschied zum&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#WDF_und_VTF_bei_statistisch_unabh.C3.A4ngigen_Komponenten| Beispiel 2]]&nbsp; mit statistisch unabhängigen Komponenten &nbsp; &rArr; &nbsp; $ρ_{xy} = 0$&nbsp; $($trotz&nbsp; $σ_y < σ_x)$&nbsp; erkennt man, dass hier bei größerem&nbsp; $x$–Wert im statistischen Mittel auch&nbsp; $y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem&nbsp; $x$.}}
 ==Korrelationsgerade==
 <br>
 [[Datei: P_ID1089__Sto_T_4_1_S7b_neu.png  |frame| Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade]]
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Als '''Korrelationsgerade''' bezeichnet man  die Gerade $y = K(x)$  in der $(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch   ''Regressionsgerade'' genannt.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Als&nbsp; '''Korrelationsgerade'''&nbsp; bezeichnet man  die Gerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp;  in der&nbsp; $(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt”&nbsp; $(m_x, m_y)$. Manchmal wird diese Gerade auch&nbsp;   ''Regressionsgerade''&nbsp; genannt.
 Die Korrelationsgerade besitzt folgende Eigenschaften:
-*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in $y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle $N$ Punkte gemittelt – ist minimal:
+*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in&nbsp; $y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle&nbsp; $N$&nbsp; Punkte gemittelt – ist minimal:
 :$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
-*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:
+*Die Korrelationsgerade kann als eine Art&nbsp; „statistische Symmetrieachse“&nbsp; interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet:
 :$$y=K(x)=\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\cdot\rho_{xy}\cdot(x - m_x)+m_y.$$}}
-Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur $x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
+Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur&nbsp; $x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
-:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$
+:$$\theta_{y\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}x}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{y} }{\sigma_{x} }\cdot \rho_{xy}).$$
-Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von $y$ auf $x$ handelt.
+Durch diese Nomenklatur soll deutlich gemacht werden, dass es sich hier um die Regression von&nbsp; $y$&nbsp; auf&nbsp; $x$&nbsp; handelt.
-*Die Regression in Gegenrichtung – also von $x$ auf $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in $x$–Richtung.
+*Die Regression in Gegenrichtung – also von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$ – bedeutet dagegen die Minimierung der mittleren quadratischen Abweichung in&nbsp; $x$–Richtung.
-*Das interaktive Applet  [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]] verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen (falls $σ_y \ne σ_x$) für die Regression von $x$ auf $y$  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
+*Das interaktive Applet&nbsp;  [[Applets:Korrelationskoeffizient_%26_Regressionsgerade|Korrelationskoeffizient und Regressionsgerade]]&nbsp; verdeutlicht, dass sich im Allgemeinen&nbsp; $($falls&nbsp; $σ_y \ne σ_x)$&nbsp; für die Regression von&nbsp; $x$&nbsp; auf&nbsp; $y$&nbsp;  ein anderer Winkel und damit auch eine andere Regressionsgerade ergeben wird:
-:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}(\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$
+:$$\theta_{x\hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm} y}={\rm arctan}\ (\frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\cdot \rho_{xy}).$$

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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In den beiden ersten Zeilen der folgenden Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen $〈x_ν〉$ und $〈y_ν〉$ eingetragen. In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte $x_ν · y_ν$ angegeben.
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In den beiden ersten Zeilen der Tabelle sind die jeweils ersten Elemente zweier Zufallsfolgen&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; und&nbsp; $〈y_ν〉$&nbsp; eingetragen.&nbsp; In der letzten Zeile sind die jeweiligen Produkte&nbsp; $x_ν · y_ν$&nbsp; angegeben.
-−
-[[Datei:P_ID628__Sto_T_4_1_S6Neu.png |center|frame| Beispielhafte 2D-Erwartungswerte]]
+*Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man&nbsp;
+:$$m_x =0.5,\ \ m_y = 1, \ \ m_{xy} = 0.69.$$
-Die Tabelle zeigt folgenden Sachverhalt:
+*Daraus ergibt sich direkt der Wert für die Kovarianz:
-*Durch Mittelung über die jeweils zehn Folgenelemente erhält man $m_x =0.5$, $m_y = 1$ und $m_{xy} = 0.69$.
+:$$\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$$
-*Daraus ergibt sich die Kovarianz zu $\mu_{xy} = 0.69 - 0.5 · 1 = 0.19.$
+<br clear=all>
-*Ohne Kenntnis der Gleichung $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$ hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte $m_x$ und $m_y$ ermitteln müssen, um im zweiten Durchlauf die Kovarianz $\mu_{xy}$ als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.}}
+Ohne Kenntnis der Gleichung&nbsp; $\mu_{xy} = m_{xy} - m_x · m_y$&nbsp; hätte man zunächst im ersten Durchlauf die Mittelwerte&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $m_y$&nbsp; ermitteln müssen, <br>um dann in einem zweiten Durchlauf die Kovarianz&nbsp; $\mu_{xy}$&nbsp; als Erwartungswert des Produkts der mittelwertfreien Größen bestimmen zu können.}}
 ==Korrelationskoeffizient==

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 == # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht. Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns der Autokorrelationsfunktion (AKF) und der Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zu. Ebenso werden die dazugehörigen Spektralfunktionen angegeben.
+Nun werden Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen behandelt und anhand typischer Beispiele verdeutlicht.&nbsp; Nach der allgemeinen Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgrößen wenden wir uns der Autokorrelationsfunktion&nbsp; (AKF),&nbsp; der Kreuzkorrelationsfunktion&nbsp; (KKF)&nbsp; und den zugehörigen Spektralfunktionen&nbsp; (LDS, KLDS)&nbsp; zu.
 Im Einzelnen werden behandelt:
@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 Weitere Informationen zum Thema „Zweidimensionale Zufallsgrößen” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im
-*Kapitel 5: Zweidimensionale Zufallsgrößen (Programm &bdquo;zwd&rdquo;)
+*Kapitel 5: &nbsp; Zweidimensionale Zufallsgrößen (Programm &bdquo;zwd&rdquo;)
-*Kapitel 9: Stochastische Prozesse (Programm &bdquo;sto&rdquo;)
+*Kapitel 9: &nbsp; Stochastische Prozesse (Programm &bdquo;sto&rdquo;)
-des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.&nbsp; Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
-*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
+*dem Lehrsoftwarepaket&nbsp; [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP&ndash;Version des Programms,
-*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 5: Seite 81-97,
+*der&nbsp;  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung &ndash; Teil A]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF&ndash;Version mit Kapitel 5:&nbsp; Seite 81-97,
-*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 9: Seite 207-228.
+*der&nbsp;  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung &ndash; Teil B]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF&ndash;Version mit Kapitel 9:&nbsp; Seite 207-228.
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 ==Eigenschaften und Beispiele==
 <br>
-Als Überleitung zu den [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Korrelationsfunktionen]] betrachten wir nun zwei Zufallsgrößen $x$ und $y$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen.
+Als Überleitung zu den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Korrelationsfunktionen]]&nbsp; betrachten wir nun zwei Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$,&nbsp; zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen.&nbsp; Jede der beiden Zufallsgrößen kann für sich alleine beschrieben werden mit den eingeführten Kenngrößen
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen zwei Größen $x$ &nbsp;und&nbsp; $y$ ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer '''zweidimensionalen Zufallsgröße''' $(x, y)$ &nbsp;zusammenzufassen.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen zwei Größen&nbsp; $x$ &nbsp;und&nbsp; $y$&nbsp; ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer&nbsp; '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''&nbsp; $(x, y)$ &nbsp;zusammenzufassen.
 *Die Einzelkomponenten können Signale sein wie der Real&ndash; und Imaginärteil eines phasenmodulierten Signals.
-*Aber es gibt auch in anderen Bereichen eine Vielzahl von 2D-Zufallsgrößen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.}}
+*Aber es gibt auch in anderen Bereichen eine Vielzahl von 2D&ndash;Zufallsgrößen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das folgende linke Diagramm stammt von dem Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;. Nach rechts aufgetragen ist die Augenzahl des ersten Würfels $(W_1)$, nach oben die Summe $S$ beider Würfel. Die beiden Komponenten sind hier jeweils diskrete Zufallsgrößen, zwischen denen statistische Bindungen bestehen:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Diagramm stammt von dem Zufallsexperiment&nbsp; &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;.&nbsp; Nach rechts aufgetragen ist die Augenzahl des ersten Würfels&nbsp; $(W_1)$,&nbsp; nach oben die Summe&nbsp; $S$&nbsp; beider Würfel.&nbsp; Die beiden Komponenten sind hier jeweils diskrete Zufallsgrößen, zwischen denen statistische Bindungen bestehen:
-*Ist $W_1 = 1$, so kann $S$ nur Werte zwischen $2$ und $7$ annehmen und zwar mit jeweils gleicher Warscheinlichkeit.
+*Ist&nbsp; $W_1 = 1$, so kann&nbsp; $S$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $7$&nbsp; annehmen und zwar mit jeweils gleicher Warscheinlichkeit.
-*Dagegen sind bei $W_1 = 6$ für $S$ alle Werte zwischen $7$ und $12$ möglich, ebenfalls mit gleicher Warscheinlichkeit.
+*Dagegen sind bei&nbsp; $W_1 = 6$&nbsp; für&nbsp; $S$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $7$&nbsp; und&nbsp; $12$&nbsp; möglich, ebenfalls mit gleicher Warscheinlichkeit.
-[[Datei: P_ID162__Sto_T_4_1_S1_neu.png |frame| Beispiele statistisch abhängiger Zufallsgrößen]]
+[[Datei: P_ID162__Sto_T_4_1_S1_neu.png |frame| Zwei Beispiele statistisch abhängiger Zufallsgrößen]]
-Rechts sind die Maximaltemperaturen der 31 Tage im Mai 2002 von München (nach oben) und der Zugspitze (nach rechts) gegenübergestellt. Beide Zufallsgrößen sind wertkontinuierlich:
-*Obwohl die Messpunkte etwa 100 km auseinander liegen und es auf der Zugspitze aufgrund der unterschiedlichen Höhenlagen (knapp 3000 gegenüber 520 Meter) im Mittel um etwa 20 Grad kälter ist als in München, erkennt man doch eine gewisse statistische Abhängigkeit zwischen den beiden Größen ${\it Θ}_{\rm M}$ und ${\it Θ}_{\rm Z}$.
+In der rechten Grafik sind die Maximaltemperaturen der&nbsp; $31$ Tage im Mai 2002 von München (nach oben) und der Zugspitze (nach rechts) gegenübergestellt. Beide Zufallsgrößen sind wertkontinuierlich:
-*Ist es in München warm, dann sind auch auf der Zugspitze eher angenehme Temperaturen zu erwarten. Der Zusammenhang ist aber nicht deterministisch: Der kälteste Tag im Mai 2002 war in München ein anderer als der kälteste Tag auf der Zugspitze. }}
+*Obwohl die Messpunkte etwa&nbsp; $\text{100 km}$&nbsp; auseinander liegen und es auf der Zugspitze aufgrund der unterschiedlichen Höhenlagen &nbsp;$($knapp&nbsp; $3000$&nbsp; gegenüber&nbsp; $520$&nbsp; Meter$)$&nbsp; im Mittel um etwa&nbsp; $20$&nbsp; Grad kälter ist als in München, erkennt man doch eine gewisse statistische Abhängigkeit zwischen den beiden Zufallsgrößen&nbsp; ${\it Θ}_{\rm M}$&nbsp; und&nbsp; ${\it Θ}_{\rm Z}$.
 ==Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion==