Stochastische Signaltheorie/Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 28. Januar 2022 um 13:52 Uhr

2022-01-28T13:52:23Z

Guenter am 28. Januar 2022 um 13:46 Uhr

2022-01-28T13:46:29Z

Guenter am 28. Januar 2022 um 13:25 Uhr

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Guenter am 26. November 2019 um 15:12 Uhr

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Guenter am 26. November 2019 um 14:38 Uhr

2019-11-26T14:38:53Z

Guenter am 26. November 2019 um 14:34 Uhr

2019-11-26T14:34:44Z

Guenter am 26. November 2019 um 14:24 Uhr

2019-11-26T14:24:33Z

Guenter am 16. August 2018 um 06:53 Uhr

2018-08-16T06:53:32Z

Guenter am 16. August 2018 um 06:50 Uhr

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Guenter am 16. August 2018 um 06:29 Uhr

2018-08-16T06:29:31Z

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-*Würde man das Koordinatensystem ebenfalls um&nbsp; $β =45^\circ$&nbsp; drehen, so ergäbe sich wegen&nbsp; $σ_x = σ_y$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(β) = \cos(β) = 1/\sqrt{2}$&nbsp; für den neuen Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{ξη} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; unkorrelierte Komponenten.
+Anmerkungen:
-Die beiden Streuungen – bezogen auf das neue Koordinatensystem – ergäben sich dann entsprechend den beiden ersten Gleichungen zu&nbsp; $σ_ξ = \sqrt{1.5}$&nbsp; und&nbsp; $σ_η = \sqrt{0.5}$.
+*Die beiden Streuungen&nbsp; &ndash; bezogen auf das neue Koordinatensystem &ndash;&nbsp; ergäben sich dann entsprechend den beiden ersten Gleichungen zu&nbsp; $σ_ξ = \sqrt{1.5}$&nbsp; und&nbsp; $σ_η = \sqrt{0.5}$.
 Der obigen Skizze ist allerdings nicht&nbsp; $β = α$&nbsp; zugrundegelegt, sondern&nbsp; $β = α/2$.
-*Mit&nbsp; $σ_x = σ_y = 1$,&nbsp; $ρ_{xy} = 0.5$,
+#$σ_x = σ_y = 1$,&nbsp; $ρ_{xy} = 0.5$,
-*sowie&nbsp; $α = 45^\circ$,&nbsp; $\sin(β) · \cos(β) = \sin(2β)/2 = \sin(α)/2$&nbsp; und
+#sowie&nbsp; $α = 45^\circ$,&nbsp; $\sin(β) · \cos(β) = \sin(2β)/2 = \sin(α)/2$&nbsp; und
-*$\cos^2(β) - \sin^2(β) = \cos(2β)= \cos(α)$
+#$\cos^2(β) - \sin^2(β) = \cos(2β)= \cos(α)$
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 :$${\rm (III)}\hspace{0.54cm}\frac {\rho_{\xi \eta} }{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi\cdot \sigma_\eta}= \frac {\rho_{\xi \eta} }{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi^2 \cdot 0.691}=\frac {2}{3}\cdot    \cos( \alpha) =  0.471.$$
-Dividiert man nun die Gleichung&nbsp; $\rm (III)$&nbsp; durch die Gleichung&nbsp; $\rm (I)$, so erhält man:
+Dividiert man nun die Gleichung&nbsp; $\rm (III)$&nbsp; durch die Gleichung&nbsp; $\rm (I)$,&nbsp; so erhält man:
 :$$ \frac {\rho_{\xi \eta} }{0.691}=\frac {0.471}{0.862}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rho_{\xi \eta} }= 0.378.$$

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 Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{xy}(x, y) = \rm const.$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.
-Sind die Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; unkorreliert&nbsp; $(ρ_{xy} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
+Sind die Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; unkorreliert&nbsp; $(ρ_{xy} = 0)$,&nbsp; so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
 :$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{x}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
 Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
-*'''Kreise'''&nbsp; $($falls&nbsp; $σ_x = σ_y$, &nbsp; grüne Kurve$)$, oder
+*'''Kreise'''&nbsp; $($für&nbsp; $σ_x = σ_y$, &nbsp; grüne Kurve$)$,&nbsp; oder
-*'''Ellipsen'''&nbsp; $($für&nbsp; $σ_x ≠ σ_y$, &nbsp; blaue Kurve$)$ in Ausrichtung der beiden Achsen.
+*'''Ellipsen'''&nbsp; $($für&nbsp; $σ_x ≠ σ_y$, &nbsp; blaue Kurve$)$&nbsp; in Ausrichtung der beiden Achsen.
 *Der zweite Teil behandelt &bdquo;Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen&rdquo; gemäß dem folgenden Abschnitt.}}
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 ==Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen==
 <br>
-Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{xy} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF stets elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_x = σ_y$.&nbsp;
+Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{xy} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF stets elliptisch,&nbsp; also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_x = σ_y$.&nbsp;
-Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
+Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF&ndash;Höhenlinien:
 :$$f_{xy}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{x}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{xy}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_x\cdot \sigma_y}={\rm const.}$$
-Die folgende Grafik zeigt in hellerem Blau zwei Höhenlinien für unterschiedliche Parametersätze, jeweils mit&nbsp; $ρ_{xy} ≠ 0$.
+Die folgende Grafik zeigt in hellerem Blau zwei Höhenlinien für unterschiedliche Parametersätze,&nbsp; jeweils mit&nbsp; $ρ_{xy} ≠ 0$.
 [[Datei:P_ID408__Sto_T_4_2_S3_neu.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
 *Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 *Der Neigungswinkel&nbsp; $α$&nbsp; der Ellipsenhauptachse&nbsp; (gestrichelte Gerade)&nbsp; gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse hängt ebenfalls von&nbsp; $σ_x$,&nbsp; $σ_y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; ab:
 :$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \ ( 2 \cdot \rho_{xy} \cdot \frac {\sigma_x \cdot \sigma_y}{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}).$$
-*Die (rote) Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
+*Die&nbsp; (rote)&nbsp; Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der&nbsp; (blau gestrichelten)&nbsp; Ellipsenhauptachse.
-* $K(x)$&nbsp; kann auch aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie es in obigen Skizzen in grüner Farbe angedeutet ist.
+* $K(x)$&nbsp; kann auch aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden,&nbsp; wie es in obigen Skizzen in grüner Farbe angedeutet ist.
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 ==Drehung des Koordinatensystems==
 <br>
-Bei manchen Aufgabenstellungen ist es vorteilhaft, das Koordinatensystem zu drehen, wie in der folgenden Grafik angedeutet:
+Bei manchen Aufgabenstellungen ist es vorteilhaft,&nbsp; das Koordinatensystem zu drehen,&nbsp; wie in der folgenden Grafik angedeutet:
 [[Datei:P_ID430__Sto_T_4_2_S4_Ganz_neu.png |frame| Zur Drehung des Koordinatensystems | rechts]]
-*Das&nbsp; $(ξ, η)$-Koordinatensystem ist gegenüber dem ursprünglichen&nbsp; $(x, y)$-System um den Winkel&nbsp; $β$&nbsp; gedreht.
+*Das&nbsp; $(ξ, η)$&ndash;Koordinatensystem ist gegenüber dem ursprünglichen&nbsp; $(x, y)$&ndash;System um den Winkel&nbsp; $β$&nbsp; gedreht.
 *Dagegen bezeichnet&nbsp; $α$&nbsp; den Winkel zwischen der Ellipsenhauptachse und der&nbsp; $x$–Achse.
@@ Zeile 110: / Zeile 110: @@
-Ist&nbsp; $(x, y)$&nbsp; eine Gaußsche 2D-Zufallsgröße, so ist die Zufallsgröße&nbsp; $(ξ, η)$&nbsp; ebenfalls gaußverteilt.
+Ist&nbsp; $(x, y)$&nbsp; eine Gaußsche 2D-Zufallsgröße,&nbsp; so ist die Zufallsgröße&nbsp; $(ξ, η)$&nbsp; ebenfalls gaußverteilt.
-Setzt man die obigen Gleichungen in die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ein und vergleicht die Koeffizienten, so erhält man folgende Bestimmungsgleichungen für&nbsp; $σ_x$,&nbsp; $σ_y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; bzw. für&nbsp; $σ_ξ,&nbsp; σ_η$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{ξη}$:
+Setzt man die obigen Gleichungen in die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ein und vergleicht die Koeffizienten,&nbsp; so erhält man folgende Bestimmungsgleichungen für&nbsp; $σ_x$,&nbsp; $σ_y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; bzw. für&nbsp; $σ_ξ,&nbsp; σ_η$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{ξη}$:
 :$$\frac {1}{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi^2} = \frac {1}{(1 - \rho_{xy}^2) }  \left[ \frac {\cos^2 (\beta)}{\sigma_{x}^2 } + \frac {\sin^2 (\beta)}{\sigma_{y}^2 } - 2 \rho_{xy} \cdot \frac {\sin (\beta) \cdot \cos (\beta)}{\sigma_{x} \cdot  \sigma_{y}}\right ] ,$$
@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 :$$\frac {\rho_{\xi \eta}}{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi\cdot \sigma_\eta}=  \frac {1}{(1 - \rho_{xy}^2) }  \left[ \frac {\sin (\beta) \cdot \cos (\beta)}{\sigma_{x}^2 } - \frac {\sin (\beta) \cdot \cos (\beta)}{\sigma_{y}^2 } + \frac {\rho_{xy}}{\sigma_{x} \cdot  \sigma_{y}} \cdot  ( \cos^2( \beta) -\sin^2( \beta)) \right ] .$$
-Mit diesen drei Gleichungen können die jeweils drei Parameter der beiden Koordinatensysteme direkt umgerechnet werden, was allerdings nur in Sonderfällen ohne erheblichen Rechenaufwand möglich ist.&nbsp; Es folgt ein Beispiel mit vertretbarem Rechenaufwand.
+Mit diesen drei Gleichungen können die jeweils drei Parameter der beiden Koordinatensysteme direkt ineinander umgerechnet werden,&nbsp; was allerdings nur in Sonderfällen ohne erheblichen Rechenaufwand möglich ist.&nbsp; Es folgt ein Beispiel mit vertretbarem Rechenaufwand.
-[[Datei: P_ID771__Sto_T_4_2_S4_Ganz_neu.png  |right|frame]]
+{{GraueBox|TEXT=
-{{GraueBox|TEXT=
+[[Datei: P_ID771__Sto_T_4_2_S4_Ganz_neu.png  |right|frame|Zur Drehung des Koordinatensystems]]
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wir betrachten eine Gaußsche 2D-WDF mit folgenden Eigenschaften:
-*Die Varianzen der beiden Komponenten sind gleich: &nbsp; $σ_x^2 = σ_y^2 = 1$.
+#Die Varianzen der beiden Komponenten sind gleich: &nbsp; $σ_x^2 = σ_y^2 = 1$.
-*Der Korrelationskoeffizient zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist&nbsp; $ρ_{xy} = 0.5$.
+#Der Korrelationskoeffizient zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist&nbsp; $ρ_{xy} = 0.5$.
-*Der Winkel  der Ellipsenhauptachse gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse beträgt somit&nbsp; $α = 45^\circ$.
+#Der Winkel  der Ellipsenhauptachse gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse beträgt somit&nbsp; $α = 45^\circ$.
-Würde man das Koordinatensystem ebenfalls um&nbsp; $β =45^\circ$&nbsp; drehen, so ergäbe sich wegen&nbsp; $σ_x = σ_y$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(β) = \cos(β) = 1/\sqrt{2}$&nbsp; für den neuen Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{ξη} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; unkorrelierte Komponenten.
+*Würde man das Koordinatensystem ebenfalls um&nbsp; $β =45^\circ$&nbsp; drehen, so ergäbe sich wegen&nbsp; $σ_x = σ_y$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(β) = \cos(β) = 1/\sqrt{2}$&nbsp; für den neuen Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{ξη} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; unkorrelierte Komponenten.
 Die beiden Streuungen – bezogen auf das neue Koordinatensystem – ergäben sich dann entsprechend den beiden ersten Gleichungen zu&nbsp; $σ_ξ = \sqrt{1.5}$&nbsp; und&nbsp; $σ_η = \sqrt{0.5}$.

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 Für den Sonderfall&nbsp; '''Gaußscher Zufallsgrößen'''&nbsp; – der Name geht auf den Wissenschaftler&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]&nbsp;  zurück – können wir weiterhin vermerken:
 *Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit Mittelwerten&nbsp; $m_x = 0$,&nbsp; $m_y = 0$&nbsp;  und Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; lautet:
-:$$f_{xy}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_x \cdot \sigma_y \sqrt{\rm 1-\rho_{\it xy}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 (1-\it\rho_{xy}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_x^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho_{xy}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_y}\rm ) \rm \Bigg].$$
+:$$f_{xy}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_x \cdot \sigma_y \sqrt{\rm 1-\rho_{\it xy}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot  (1-\it\rho_{xy}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_x^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_y^{\rm 2}}-\rm 2\it\rho_{xy}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_x \cdot \sigma_y}\rm ) \rm \Bigg].$$
-*Ersetzt man&nbsp;  $x$&nbsp; durch&nbsp; $(x - m_x)$&nbsp; sowie&nbsp; $y$&nbsp; durch&nbsp; $(y- m_y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
+*Ersetzt man&nbsp;  $x$&nbsp; durch&nbsp; $(x - m_x)$&nbsp; sowie&nbsp; $y$&nbsp; durch&nbsp; $(y- m_y)$,&nbsp; so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
 *Die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{x}(x)$&nbsp; und $f_{y}(y)$&nbsp; einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen&nbsp; $σ_x$&nbsp; bzw.&nbsp; $σ_y$.
 *Bei unkorrelierten Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; muss in obiger Gleichung&nbsp; $ρ_{xy} = 0$&nbsp; eingesetzt werden,&nbsp; und man erhält dann das Ergebnis:
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; folgt aus der ''Unkorreliertheit''&nbsp; auch direkt die ''statistische Unabhängigkeit:''
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Im Sonderfall einer 2D-Zufallsgröße mit Gaußscher WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; folgt aus der&nbsp; "Unkorreliertheit"&nbsp; auch direkt die&nbsp; "statistische Unabhängigkeit":
 :$$f_{xy}(x,y)= f_{x}(x) \cdot f_{y}(y) . $$
 Bitte beachten Sie:
-*Bei keiner anderen WDF kann aus der ''Unkorreliertheit''&nbsp; auf die ''statistische Unabhängigkeit''&nbsp; geschlossen werden.
+*Bei keiner anderen WDF kann aus der&nbsp; "Unkorreliertheit"&nbsp; auf die&nbsp; "statistische Unabhängigkeit"&nbsp; geschlossen werden.
-*Man kann aber stets  &nbsp; ⇒ &nbsp;  für jede beliebige 2D–WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; von der ''statistischen Unabhängigkeit''&nbsp; auf die ''Unkorreliertheit''&nbsp; schließen, weil:
+*Man kann aber stets  &nbsp; ⇒ &nbsp;  für jede beliebige 2D–WDF&nbsp; $f_{xy}(x, y)$&nbsp; von der&nbsp; "statistischen Unabhängigkeit"&nbsp; auf die&nbsp; "Unkorreliertheit"&nbsp; schließen,&nbsp; weil:
-*Sind zwei Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; völlig voneinander (statistisch) unabhängig, so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine ''linearen''&nbsp; Abhängigkeiten &nbsp;  <br>⇒ &nbsp;  sie sind dann auch unkorreliert. }}
+::Sind zwei Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; völlig voneinander&nbsp; (statistisch)&nbsp; unabhängig, <br>so gibt es zwischen ihnen natürlich auch keine&nbsp; "linearen Abhängigkeiten" &nbsp; ⇒ &nbsp;  sie sind dann auch unkorreliert. }}
-[[Datei:P_ID630__Sto_T_4_2_S1_neu.png |right|frame| Gaußsche 2D-WDF und 2D-VTF]]
+[[Datei:P_ID630__Sto_T_4_2_S1_neu.png |right|frame|Zweidimensionale  Gaußsche WDF und  VTF]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die beiden Grafiken zeigen
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-einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit relativ starker positiver Korrelation der Einzelkomponenten: &nbsp; $ρ_{xy} = 0.8$.
+einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit relativ starker positiver Korrelation der Einzelkomponenten: &nbsp;
 Wie bei den bisherigen Beispielen ist auch hier die 2D–Zufallsgröße in&nbsp; $x$–Richtung weiter ausgedehnt als in&nbsp; $y$–Richtung: &nbsp;  $σ_x = 2 · σ_y$.
 <br clear=all>
 Diese Darstellungen können wie folgt interpretiert werden:
-*Die WDF ist hier vergleichbar mit einem Bergkamm, der sich von links unten nach rechts oben erstreckt.
+*Die WDF ist hier vergleichbar mit einem Bergkamm,&nbsp; der sich von links unten nach rechts oben erstreckt.
-*Das Maximum liegt bei&nbsp; $m_x = 0$&nbsp; und&nbsp; $m_y = 0$.&nbsp; Das bedeutet, dass die die 2D–Zufallsgröße mittelwertfrei ist.
+*Das Maximum liegt bei&nbsp; $m_x = 0$&nbsp; und&nbsp; $m_y = 0$.&nbsp; Das bedeutet,&nbsp; dass die die 2D–Zufallsgröße mittelwertfrei ist.
 *Die 2D–VTF als das Integral in zwei Richtungen über die 2D–WDF steigt von links unten nach rechts oben von&nbsp; $0$&nbsp; auf&nbsp; $1$&nbsp; kontinuierlich an. }}

@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 *Die Varianzen der beiden Komponenten sind gleich: &nbsp; $σ_x^2 = σ_y^2 = 1$.
-*Der Korrelationskoeffizient zwischen $x$ und $y$ ist $ρ_{xy} = 0.5$.
+*Der Korrelationskoeffizient zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ist&nbsp; $ρ_{xy} = 0.5$.
-*Der Winkel  der Ellipsenhauptachse gegenüber der $x$&ndash;Achse beträgt somit $α = 45^\circ$.
+*Der Winkel  der Ellipsenhauptachse gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse beträgt somit&nbsp; $α = 45^\circ$.
-Würde man das Koordinatensystem ebenfalls um $β =45^\circ$ drehen, so ergäbe sich wegen $σ_x = σ_y$ und wegen $\sin(β) = \cos(β) = 1/\sqrt{2}$ für den neuen Korrelationskoeffizienten $ρ_{ξη} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; unkorrelierte Komponenten.
+Würde man das Koordinatensystem ebenfalls um&nbsp; $β =45^\circ$&nbsp; drehen, so ergäbe sich wegen&nbsp; $σ_x = σ_y$&nbsp; und wegen&nbsp; $\sin(β) = \cos(β) = 1/\sqrt{2}$&nbsp; für den neuen Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{ξη} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; unkorrelierte Komponenten.
-Die beiden Streuungen – bezogen auf das neue Koordinatensystem – ergäben sich dann entsprechend den beiden ersten Gleichungen zu $σ_ξ = \sqrt{1.5}$ und $σ_η = \sqrt{0.5}$.
+Die beiden Streuungen – bezogen auf das neue Koordinatensystem – ergäben sich dann entsprechend den beiden ersten Gleichungen zu&nbsp; $σ_ξ = \sqrt{1.5}$&nbsp; und&nbsp; $σ_η = \sqrt{0.5}$.
-Der obigen Skizze ist allerdings nicht $β = α$ zugrundegelegt, sondern $β = α/2$.
+Der obigen Skizze ist allerdings nicht&nbsp; $β = α$&nbsp; zugrundegelegt, sondern&nbsp; $β = α/2$.
-*Mit $σ_x = σ_y = 1$, $ρ_{xy} = 0.5$,
+*Mit&nbsp; $σ_x = σ_y = 1$,&nbsp; $ρ_{xy} = 0.5$,
-*sowie $α = 45^\circ$, $\sin(β) · \cos(β) = \sin(2β)/2 = \sin(α)/2$
+*sowie&nbsp; $α = 45^\circ$,&nbsp; $\sin(β) · \cos(β) = \sin(2β)/2 = \sin(α)/2$&nbsp; und
-*und $\cos^2(β) - \sin^2(β) = \cos(2β)= \cos(α)$
+*$\cos^2(β) - \sin^2(β) = \cos(2β)= \cos(α)$
@@ Zeile 147: / Zeile 147: @@
 :$${\rm (III)}\hspace{0.54cm}\frac {\rho_{\xi \eta} }{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi\cdot \sigma_\eta}= \frac {\rho_{\xi \eta} }{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi^2 \cdot 0.691}=\frac {2}{3}\cdot    \cos( \alpha) =  0.471.$$
-Dividiert man nun die Gleichung $\rm (III)$ durch die Gleichung $\rm (I)$, so erhält man:
+Dividiert man nun die Gleichung&nbsp; $\rm (III)$&nbsp; durch die Gleichung&nbsp; $\rm (I)$, so erhält man:
 :$$ \frac {\rho_{\xi \eta} }{0.691}=\frac {0.471}{0.862}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rho_{\xi \eta} }= 0.378.$$
-Die beiden weiteren Parameter des neuen Koordinatensystems ergeben sich nun zu $σ_ξ ≈ 1$ und $σ_η ≈ 0.7$.}}
+Die beiden weiteren Parameter des neuen Koordinatensystems ergeben sich nun zu&nbsp; $σ_ξ ≈ 1$&nbsp; und&nbsp; $σ_η ≈ 0.7$.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 [[Datei:P_ID430__Sto_T_4_2_S4_Ganz_neu.png |frame| Zur Drehung des Koordinatensystems | rechts]]
-*Das $(ξ, η)$-Koordinatensystem ist gegenüber dem ursprünglichen $(x, y)$-System um den Winkel $β$ gedreht.
+*Das&nbsp; $(ξ, η)$-Koordinatensystem ist gegenüber dem ursprünglichen&nbsp; $(x, y)$-System um den Winkel&nbsp; $β$&nbsp; gedreht.
-*Dagegen bezeichnet $α$ den Winkel zwischen der Ellipsenhauptachse und der $x$–Achse.
+*Dagegen bezeichnet&nbsp; $α$&nbsp; den Winkel zwischen der Ellipsenhauptachse und der&nbsp; $x$–Achse.
@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
-Ist $(x, y)$ eine Gaußsche 2D-Zufallsgröße, so ist die Zufallsgröße $(ξ, η)$ ebenfalls gaußverteilt.
+Ist&nbsp; $(x, y)$&nbsp; eine Gaußsche 2D-Zufallsgröße, so ist die Zufallsgröße&nbsp; $(ξ, η)$&nbsp; ebenfalls gaußverteilt.
-Setzt man die obigen Gleichungen in die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$ ein und vergleicht die Koeffizienten, so erhält man folgende Bestimmungsgleichungen für $σ_x$, $σ_y$ und $ρ_{xy}$ bzw. für $σ_ξ, σ_η$ und $ρ_{ξη}$:
+Setzt man die obigen Gleichungen in die 2D-WDF $f_{xy}(x, y)$&nbsp; ein und vergleicht die Koeffizienten, so erhält man folgende Bestimmungsgleichungen für&nbsp; $σ_x$,&nbsp; $σ_y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; bzw. für&nbsp; $σ_ξ,&nbsp; σ_η$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{ξη}$:
 :$$\frac {1}{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi^2} = \frac {1}{(1 - \rho_{xy}^2) }  \left[ \frac {\cos^2 (\beta)}{\sigma_{x}^2 } + \frac {\sin^2 (\beta)}{\sigma_{y}^2 } - 2 \rho_{xy} \cdot \frac {\sin (\beta) \cdot \cos (\beta)}{\sigma_{x} \cdot  \sigma_{y}}\right ] ,$$
@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
 :$$\frac {\rho_{\xi \eta}}{(1 - \rho_{\xi \eta}^2) \cdot \sigma_\xi\cdot \sigma_\eta}=  \frac {1}{(1 - \rho_{xy}^2) }  \left[ \frac {\sin (\beta) \cdot \cos (\beta)}{\sigma_{x}^2 } - \frac {\sin (\beta) \cdot \cos (\beta)}{\sigma_{y}^2 } + \frac {\rho_{xy}}{\sigma_{x} \cdot  \sigma_{y}} \cdot  ( \cos^2( \beta) -\sin^2( \beta)) \right ] .$$
-Mit diesen drei Gleichungen können die jeweils drei Parameter der beiden Koordinatensysteme direkt umgerechnet werden, was allerdings nur in Sonderfällen ohne erheblichen Rechenaufwand möglich ist. Es folgt ein Beispiel mit vertretbarem Rechenaufwand.
+Mit diesen drei Gleichungen können die jeweils drei Parameter der beiden Koordinatensysteme direkt umgerechnet werden, was allerdings nur in Sonderfällen ohne erheblichen Rechenaufwand möglich ist.&nbsp; Es folgt ein Beispiel mit vertretbarem Rechenaufwand.

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 <br>
 [[Datei:P_ID318__Sto_T_4_2_S2_ganz_neu.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
-Aus der Bedingungsgleichung $f_{xy}(x, y) =$ const. können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.
+Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{xy}(x, y) = \rm const.$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.
-Sind die Komponenten $x$ und $y$ unkorreliert $(ρ_{xy} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
+Sind die Komponenten&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; unkorreliert&nbsp; $(ρ_{xy} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
 :$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{x}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
 Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
-*'''Kreise''' (falls $σ_x = σ_y$, &nbsp; grüne Kurve), oder
+*'''Kreise'''&nbsp; $($falls&nbsp; $σ_x = σ_y$, &nbsp; grüne Kurve$)$, oder
-*'''Ellipsen''' (für $σ_x ≠ σ_y$, &nbsp; blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.
+*'''Ellipsen'''&nbsp; $($für&nbsp; $σ_x ≠ σ_y$, &nbsp; blaue Kurve$)$ in Ausrichtung der beiden Achsen.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID2911__Sto_T_4_2_S2_unten.png |right|frame| Bildschirmabzug des Lernvideos &bdquo;Gaußsche 2D-Zufallsgrößen&rdquo;]]
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 *Weitere Informationen zu dieser Thematik mit Signalbeispielen bietet der erste Teil &bdquo;Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen&rdquo; des Lernvideos
 ::[[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]].
 *Die Grafik zeigt eine Momentaufnahme dieses Lernvideos.
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 ==Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen==
 <br>
-Bei korrelierten Komponenten $(ρ_{xy} ≠ 0)$ sind die Höhenlinien der WDF stets elliptisch, also auch für den Sonderfall $σ_x = σ_y$. Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
+Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{xy} ≠ 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF stets elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_x = σ_y$.&nbsp;
 :$$f_{xy}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{x}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{xy}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_x\cdot \sigma_y}={\rm const.}$$
-Die folgende Grafik zeigt in hellerem Blau zwei Höhenlinien für unterschiedliche Parametersätze, jeweils mit $ρ_{xy} ≠ 0$.
+Die folgende Grafik zeigt in hellerem Blau zwei Höhenlinien für unterschiedliche Parametersätze, jeweils mit&nbsp; $ρ_{xy} ≠ 0$.
 [[Datei:P_ID408__Sto_T_4_2_S3_neu.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
 *Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
-*Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist durchgehend rot eingezeichnet.
+*Die Korrelationsgerade&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist durchgehend rot eingezeichnet.
 Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:
-*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy}$ auch vom Verhältnis der beiden Streuungen $σ_x$ und $σ_y$ ab.
+*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; auch vom Verhältnis der beiden Streuungen&nbsp; $σ_x$&nbsp; und&nbsp; $σ_y$&nbsp; ab.
-*Der Neigungswinkel $α$ der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der $x$&ndash;Achse hängt ebenfalls von $σ_x$, $σ_y$ und $ρ_{xy}$ ab:
+*Der Neigungswinkel&nbsp; $α$&nbsp; der Ellipsenhauptachse&nbsp; (gestrichelte Gerade)&nbsp; gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse hängt ebenfalls von&nbsp; $σ_x$,&nbsp; $σ_y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; ab:
-:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan }  ( 2 \cdot \rho_{xy} \cdot \frac {\sigma_x \cdot \sigma_y}{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}).$$
+:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \ ( 2 \cdot \rho_{xy} \cdot \frac {\sigma_x \cdot \sigma_y}{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}).$$
-*Die (rote) Korrelationsgerade $y = K(x)$ einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
+*Die (rote) Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
-* $K(x)$ kann auch aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie es in obigen Skizzen in grüner Farbe angedeutet ist.
+* $K(x)$&nbsp; kann auch aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie es in obigen Skizzen in grüner Farbe angedeutet ist.
-Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
+Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo&nbsp; [[Gaußsche_2D-Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Gaußsche 2D-Zufallsgrößen]]:
 *Teil 1: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen ohne statistische Bindungen,
 *Teil 2: &nbsp; Gaußsche Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen.