Stochastische Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Dezember 2019 um 10:51 Uhr

2019-12-10T10:51:46Z

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Guenter am 27. August 2018 um 08:03 Uhr

2018-08-27T08:03:46Z

Guenter am 27. August 2018 um 08:03 Uhr

2018-08-27T08:03:05Z

Guenter am 16. April 2018 um 07:24 Uhr

2018-04-16T07:24:31Z

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Wael am 28. Dezember 2017 um 18:59 Uhr

2017-12-28T18:59:56Z

Guenter am 24. April 2017 um 11:42 Uhr

2017-04-24T11:42:19Z

Guenter am 24. April 2017 um 11:39 Uhr

2017-04-24T11:39:42Z

Guenter am 24. April 2017 um 11:19 Uhr

2017-04-24T11:19:52Z

LukasWolf am 26. Januar 2017 um 20:58 Uhr

2017-01-26T20:58:12Z

Christoph am 14. Juni 2016 um 18:13 Uhr

2016-06-14T18:13:43Z

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 :$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M}  \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop  = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$
-Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Norbert Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow] benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$
+Das Filter ist nach seinen Erfindern [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Norbert Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow] benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$
 [[Datei:P_ID650__Sto_T_5_5_S1_neu.png|right |frame| Zur Herleitung des Wiener-Filters]]

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 *Das Störsignal $n(t)$ ist durch das LDS ${\it Φ}_n(f)$ gegeben. Korrelationen zwischen dem Nutz– und dem Störsignal werden durch die [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Kreuzleistungsdichtespektrum|Kreuzleistungsdichtespektren]] ${\it Φ}_{sn}(f) = \hspace{0.1cm} –{ {\it Φ}_{ns} }^∗(f)$ berücksichtigt.
 *Das Ausgangssignal des gesuchten Filters ist mit $d(t)$ bezeichnet, das sich entsprechend des MQF möglichst wenig von $s(t)$ unterscheiden soll. $T_{\rm M}$ bezeichnet wiederum die Messdauer.
+<br clear=all>
+Das Signal $s(t)$ sei mittelwertfrei $(m_s = 0)$ und leistungsbegrenzt. Das bedeutet: &nbsp; Die Signalenergie $E_s$ ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Signals $s(t)$ unendlich und die Signalleistung besitzt einen endlichen Wert:
 :$$P_s  = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M}  \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} |{s(t)|^2 \, {\rm{d}}t > 0.}$$
@@ Zeile 28: / Zeile 27: @@
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Hier ohne Beweis:}$&nbsp;
+$\text{Hier ohne Beweis:}$&nbsp; Die '''Übertragungsfunktion des optimalen Filters''' kann über die so genannte ''Wiener-Hopfsche Integralgleichung'' ermittelt werden, und lautet:
 :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{ns} (f)} }{ { {\it \Phi }_s (f) + {\it \Phi }_{sn} (f) + {\it \Phi }_{ns} (f) + {\it \Phi }_n (f)}}.$$
-Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen.
+*[https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow  A. Kolmogorow] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener N. Wiener] haben dieses Optimierungsproblem nahezu zur gleichen Zeit unabhängig voneinander gelöst.
+*Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen.
-Die Herleitung dieses Ergebnisses ist nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97]<ref>Hänsler, E.: ''Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.</ref>  zu finden.  }}
+*Die Herleitung dieses Ergebnisses ist nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97]<ref>Hänsler, E.: ''Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.</ref>  zu finden.  }}
-Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll dieses Filter  im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden.
+Auf die mathematische Herleitung der Gleichung wird verzichtet. Vielmehr soll dieses Filter  im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden.
 *Sind Signal und Störung unkorreliert  &nbsp; ⇒  &nbsp; ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) = 0$, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt:
 :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) }}{{ {\it \Phi }_s (f)  + {\it \Phi }_n (f) }} = \frac{1}{{1 + {\it \Phi }_n (f) / {\it \Phi }_s (f) }}.$$
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 ==Interpretation des Wiener-Filters==
 <br>
-In diesem Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht.
+Nun wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht.
 {{GraueBox|TEXT=
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-Bei weißem Rauschen  &nbsp;⇒ ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ &nbsp; lautet somit der Frequenzgang des Wiener-Filters:
+Bei weißem Rauschen  &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ &nbsp; lautet somit der Frequenzgang des Wiener-Filters:
-:$$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{ {1 +({N_0 /2})/{( P_{\rm S} \cdot\delta ( {f \pm f_{\rm S} } )} })}.$$
+:$$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{ {1 +({N_0 /2})/{\big[ P_{\rm S} \cdot\delta ( {f \pm f_{\rm S} } \big ]} })}.$$
 *Bei allen Frequenzen mit Ausnahme von $f = ±f_{\rm S}$ ergibt sich $H_{\rm WF}(f) = 0$, da hier der Nenner unendlich groß wird.
 *Berücksichtigt man weiter, dass $δ(f = ±f_{\rm S})$ an der Stelle $f = ±f_{\rm S}$ unendlich groß ist, so erhält man weiter $H_{\rm MF}(f = ±f_{\rm S} ) = 1. $
-*Das optimale Filter ist somit ein Bandpass um $f_{\rm S}$ mit unendlich kleiner Bandbreite. Der mittlere quadratische Fehler zwischen dem Sendesignal $s(t)$ und dem Filterausgangssignal $d(t)$ beträgt
+*Das optimale Filter ist somit ein Bandpass um $f_{\rm S}$ mit unendlich kleiner Bandbreite.
 :$${\rm{MQF} } = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi_n} (f) \,{\rm{d} }f = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.03cm} {\rm >  \hspace{0.03cm}0,}\;\;\varepsilon  \hspace{0.03cm} \to  \hspace{0.03cm}\rm 0 } }\hspace{0.1cm} \int_{f_{\rm S}  - \varepsilon }^{f_{\rm S}  + \varepsilon }\hspace{-0.3cm} {N_0 }\,\,{\rm{d} }f = 0.$$
 *Dieses unendlich schmale Bandpass–Filter würde bei den getroffenen Voraussetzungen die vollständige Regenerierung der Harmonischen hinsichtlich Amplitude und Phase erlauben. Unabhängig von der Größe der Störung $(N_0)$ würde somit $d(t) = s(t)$ gelten.
-*Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler (MQF) gleich $N_0 · Δf$. }}
+*Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler   ${\rm MQF} = N_0 · Δf$. }}
@@ Zeile 72: / Zeile 71: @@
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Nun betrachten wir ein ''stochastisches rechteckförmiges Binärsignal'' $s(t)$, das durch weißes Rauschen $n(t)$ additiv überlagert ist. Die Grafik enthält folgende Diagramme:
 [[Datei:P_ID662__Sto_T_5_5_S3_neu.png |frame| Signale beim Wiener-Filter | rechts]]
-*Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt.
+*Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt. Das Nutzsignal $s(t)$ ist blau gezeichnet.
-*In Bildmitte sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_s(f)$ und ${\it Φ}_n(f)$ in blauer bzw. roter Farbe skizziert und formelmäßig angegeben. Grün gezeichnet ist der Frequenzgang $H_{\rm WF}(f)$.
+*In Bildmitte sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_s(f)$ und ${\it Φ}_n(f)$ in blauer bzw. roter Farbe skizziert und formelmäßig angegeben. Grün gezeichnet ist der resultierende Frequenzgang $H_{\rm WF}(f)$.
 *Das untere Bild zeigt als grauen Kurvenzug das Ausgangssignal $d(t)$ des Wiener-Filters im Vergleich zum blau gezeichneten Sendesignal $s(t)$. Im Idealfall sollte $d(t) = s(t)$ gelten.
@@ Zeile 79: / Zeile 78: @@
 Die <u>untere Darstellung</u> zeigt:
-'''(1)''' Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen den Signalen $d(t)$ und $s(t)$ beträgt hier etwa $11\%$ der Nutzleistung $P_{\rm S} $.
+'''(1)''' Der mittlere quadratische Fehler (MQF) ergibt sich aus dem Vergleich der Signale $d(t)$ und $s(t)$.
-'''(2)''' Im Signal $d(t)$ fehlen vorwiegend die höherfrequenten Signalanteile (also die Sprünge).
+'''(3)''' Im Signal $d(t)$ fehlen vorwiegend die höherfrequenten Signalanteile (also die Sprünge).
-'''(3)''' Diese Anteile werden zugunsten einer besseren Störunterdrückung bei diesen Frequenzen ausgefiltert.
+'''(4)''' Diese Anteile werden zugunsten einer besseren Störunterdrückung dieser Frequenzen ausgefiltert.

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 *Das Ausgangssignal des gesuchten Filters ist mit $d(t)$ bezeichnet, das sich entsprechend des MQF möglichst wenig von $d(t)$ unterscheiden soll. $T_{\rm M}$ bezeichnet wiederum die Messdauer.
-:[[Datei:P_ID650__Sto_T_5_5_S1_neu.png | Zur Herleitung des Wiener-Filters]]
+:[[Datei:P_ID650__Sto_T_5_5_S1_neu.png |frame| Zur Herleitung des Wiener-Filters]]
 Das Signal $s(t)$ sei mittelwertfrei $(m_s = 0)$ und leistungsbegrenzt. Das bedeutet: Die Signalenergie $E_s$ ist aufgrund der unendlichen Ausdehnung des Signals $s(t)$ unendlich und die Signalleistung besitzt einen endlichen Wert:
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 {{Box}}
 '''Beispiel 2''':&nbsp; Nun betrachten wir ein ''stochastisches rechteckförmiges Binärsignal'' $s(t)$, das durch weißes Rauschen $n(t)$ additiv überlagert ist. Die Grafik enthält folgende Diagramme:
-[[Datei:P_ID662__Sto_T_5_5_S3_neu.png | Signale beim Wiener-Filter | rechts]]
+[[Datei:P_ID662__Sto_T_5_5_S3_neu.png |frame| Signale beim Wiener-Filter | rechts]]
 *Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt.
 *In Bildmitte sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_s(f)$ und ${\it Φ}_n(f)$ in blauer bzw. roter Farbe skizziert und formelmäßig angegeben. Grün gezeichnet ist der Frequenzgang $H_{\rm WF}(f)$.

@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
 *Bei Vielfachen der Symbolfolgefrequenz $1/T$, bei denen das stochastische Nutzsignal $s(t)$ keine Spektralanteile besitzt, ist $H_{\rm WF}(f) = 0$.
 *Je mehr Nutzsignalanteile bei einer bestimmten Frequenz vorhanden sind, desto durchlässiger ist bei dieser Frequenz auch das Wiener-Filter. {{end}}
 ==Quellenverzeichnis==

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 Der Index „WF” steht für Wiener-Filter und lässt leider die Verdienste von Kolmogorow nicht erkennen. Auf die exakte, mathematische Ableitung der Gleichung wird hier verzichtet. Vielmehr soll dieses Filter  im Folgenden an einigen Sonderfällen verdeutlicht und interpretiert werden.
-*Sind Signal und Störung unkorreliert  ⇒  ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) =$ 0, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt:
+*Sind Signal und Störung unkorreliert  ⇒  ${\it Φ}_{sn}(f) = {\it Φ}_{ns}(f) = 0$, so vereinfacht sich die obige Gleichung wie folgt:
 :$$H_{\rm WF} (f) = \frac{{ {\it \Phi }_s (f) }}{{ {\it \Phi }_s (f)  + {\it \Phi }_n (f) }} = \frac{1}{{1 + {\it \Phi }_n (f) / {\it \Phi }_s (f) }}.$$
 *Das Filter wirkt dann wie ein frequenzabhängiger Teiler, wobei das Teilerverhältnis durch die Leistungsdichtespektren von Nutzsignal und Störsignal bestimmt wird.
-*Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung: ${\it Φ}_s(f) >> {\it Φ}_n(f).$
+*Der „Durchlassbereich” liegt vorwiegend bei den Frequenzen, bei denen das Nutzsignal sehr viel größere Anteile besitzt als die Störung: ${\it Φ}_s(f) \gg {\it Φ}_n(f).$
 *Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen dem Filterausgangssignal $d(t)$ und dem zu approximierenden Eingangssignal $s(t)$ ist
 :$${\rm MQF} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{ {\it \Phi }_s (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}}{{ {\it \Phi }_s(f) + {\it \Phi }_n (f)}}\,{\rm{d}}f = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi }_n (f)}\, {\rm{d}}f.}$$
-Die Herleitung dieser Ergebnisse ist durchaus nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97]<ref>Hänsler, E.: ''Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.</ref>  zu finden. In den beiden nächsten Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht.
+Die Herleitung dieser Ergebnisse ist durchaus nicht trivial und zum Beispiel in [Hän97]<ref>Hänsler, E.: ''Statistische Signale: Grundlagen und Anwendungen.'' 2. Auflage. Berlin – Heidelberg: Springer, 1997.</ref>  zu finden.
 ==Interpretation des Wiener-Filters==
-{{Beispiel}}
+In diesem Abschnitten wird das Wiener–Kolmogorow–Filter anhand zweier Beispiele verdeutlicht.
-'''1)''' Zur Verdeutlichung des Wiener–Filters betrachten wir zunächst als Grenzfall ein Sendesignal $s(t)$ mit dem LDS ${\it Φ}_s(f) = P_s · δ(f ± f_s).$
+{{Box}}
 *Damit ist bekannt, dass $s(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_s$ ist.
 *Unbekannt sind dagegen Amplitude und Phase der aktuellen Musterfunktion $s(t)$.
@@ Zeile 47: / Zeile 48: @@
 Bei weißem Rauschen  ⇒ ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$ – lautet somit der Frequenzgang des Wiener-Filters:
-$$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{{1 +({N_0 /2})/{( P_s \cdot\delta ( {f \pm f_s } )}})}.$$
+:$$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{{1 +({N_0 /2})/{( P_s \cdot\delta ( {f \pm f_s } )}})}.$$
-*Bei allen Frequenzen mit Ausnahme von $f = ±f_s$ ergibt sich $H_{\rm WF}(f) =$ 0, da hier der Nenner unendlich groß wird.
+*Bei allen Frequenzen mit Ausnahme von $f = ±f_s$ ergibt sich $H_{\rm WF}(f) = 0$, da hier der Nenner unendlich groß wird.
-*Berücksichtigt man weiter, dass $δ(f = ±f_s)$ an der Stelle $f = ±f_s$ unendlich groß ist, so erhält man weiter $H_{\rm MF}(f = ±f_s ) =$ 1.
+*Berücksichtigt man weiter, dass $δ(f = ±f_s)$ an der Stelle $f = ±f_s$ unendlich groß ist, so erhält man weiter $H_{\rm MF}(f = ±f_s ) = 1. $
 *Das optimale Filter ist somit ein Bandpass um $f_s$ mit unendlich kleiner Bandbreite. Der mittlere quadratische Fehler zwischen dem Sendesignal $s(t)$ und dem Filterausgangssignal $d(t)$ beträgt
-$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi_n} (f) \,{\rm{d}}f = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.03cm} {\rm >  \hspace{0.03cm}0,}\;\;\varepsilon  \hspace{0.03cm} \to  \hspace{0.03cm}\rm 0 } }\hspace{0.1cm} \int_{f_s  - \varepsilon }^{f_s  + \varepsilon }\hspace{-0.3cm} {N_0 }\,\,{\rm{d}}f = 0.$$
+:$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f) \cdot {\it \Phi_n} (f) \,{\rm{d}}f = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \hspace{0.03cm} {\rm >  \hspace{0.03cm}0,}\;\;\varepsilon  \hspace{0.03cm} \to  \hspace{0.03cm}\rm 0 } }\hspace{0.1cm} \int_{f_s  - \varepsilon }^{f_s  + \varepsilon }\hspace{-0.3cm} {N_0 }\,\,{\rm{d}}f = 0.$$
 *Dieses unendlich schmale Bandpass–Filter würde bei den getroffenen Voraussetzungen die vollständige Regenerierung der Harmonischen hinsichtlich Amplitude und Phase erlauben. Unabhängig von der Größe der Störung $(N_0)$ würde somit $d(t) = s(t)$ gelten.
-*Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler (MQF) gleich $N_0 · Δf$.
+*Allerdings ist ein unendlich schmales Filter nicht realisierbar. Bei endlicher Bandbreite $Δf$ ist der mittlere quadratische Fehler (MQF) gleich $N_0 · Δf$. <br>{{end}}
-{{end}}
+Dieses Beispiel hat einen Sonderfall behandelt, bei dem das bestmögliche Ergebnis $\rm MQF = 0$ zumindest theoretisch möglich ist. Das folgende Beispiel geht von realistischeren Annahmen aus und liefert das Ergebnis $\rm MQF > 0$.
+{{Box}}
-Dieses Beispiel hat einen Sonderfall behandelt, bei dem das bestmögliche Ergebnis MQF = 0 zumindest theoretisch möglich ist. Das folgende Beispiel geht von realistischeren Annahmen aus und liefert das Ergebnis MQF >0.
+'''Beispiel 2''':&nbsp; Nun betrachten wir ein ''stochastisches rechteckförmiges Binärsignal'' $s(t)$, das durch weißes Rauschen $n(t)$ additiv überlagert ist. Die Grafik enthält folgende Diagramme:
+[[Datei:P_ID662__Sto_T_5_5_S3_neu.png | Signale beim Wiener-Filter | rechts]]
-{{Beispiel}}
+*Oben ist grau das Summensignal $r(t) = s(t) + n(t)$ für ${\it Φ}_0/N_0 = 5$ dargestellt, wobei ${\it Φ}_0$ die Energie eines Einzelimpulses bezeichnet und $N_0$ die Rauschleistungsdichte des weißen Rauschens angibt.
 *In Bildmitte sind die Leistungsdichtespektren ${\it Φ}_s(f)$ und ${\it Φ}_n(f)$ in blauer bzw. roter Farbe skizziert und formelmäßig angegeben. Grün gezeichnet ist der Frequenzgang $H_{\rm WF}(f)$.
-*Das untere Bild zeigt als grauen Kurvenzug das Ausgangssignal $d(t)$ des Wiener-Filters im Vergleich zum blau gezeichneten Signal $s(t)$. Im Idealfall sollte $d(t) = s(t)$ gelten.
+*Das untere Bild zeigt als grauen Kurvenzug das Ausgangssignal $d(t)$ des Wiener-Filters im Vergleich zum blau gezeichneten Sendesignal $s(t)$. Im Idealfall sollte $d(t) = s(t)$ gelten.
 Die untere Darstellung zeigt:
-'''1.''' Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen den Signalen $d(t)$ und $s(t)$ beträgt hier etwa 11% der Nutzleistung $P_s$.
+*Der mittlere quadratische Fehler (MQF) zwischen den Signalen $d(t)$ und $s(t)$ beträgt hier etwa 11% der Nutzleistung $P_s$.
+*Im Signal $d(t)$ fehlen vorwiegend die höherfrequenten Signalanteile (also die Sprünge).
-'''2.''' Im Signal $d(t)$ fehlen vorwiegend die höherfrequenten Signalanteile (also die Sprünge).
+*Diese Anteile werden zugunsten einer besseren Störunterdrückung bei diesen Frequenzen ausgefiltert.
@@ Zeile 82: / Zeile 77: @@
 $$H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{{1 + ({N_0 /2})/( {\it \Phi}_0 \cdot {\rm si^2} ( \pi f T  )})} \hspace{0.15cm} .$$
-Man erkennt aus dem mittleren Diagramm:
+Aus dem mittleren Diagramm erkennt  man:
 *Der Gleichsignalübertragungsfaktor ergibt sich zu $H_{\rm WF}(f = 0) = {\it Φ}_0/({\it Φ}_0 + N_0/2) = 10/11.$
-*Bei Vielfachen der Symbolfolgefrequenz $1/T$, bei denen das stochastische Binärsignal $s(t)$ keine Spektralanteile besitzt, ist auch $H_{\rm WF}(f) =$ 0.
+*Bei Vielfachen der Symbolfolgefrequenz $1/T$, bei denen das stochastische Nutzsignal $s(t)$ keine Spektralanteile besitzt, ist $H_{\rm WF}(f) = 0$.
-*Je mehr Nutzsignalanteile bei einer bestimmten Frequenz vorhanden sind, desto durchlässiger ist bei dieser Frequenz auch das Wiener-Filter.
+*Je mehr Nutzsignalanteile bei einer bestimmten Frequenz vorhanden sind, desto durchlässiger ist bei dieser Frequenz auch das Wiener-Filter. {{end}}
 ==Quellenverzeichnis==

← Nächstältere Version		Version vom 26. Januar 2017, 20:58 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left\| {d(t) - s(t)} \right\|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$		$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{{T_{\rm M} }}\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {\left\| {d(t) - s(t)} \right\|^2 \, {\rm{d}}t} \mathop = \limits^! {\rm{Minimum}}.$$

−	Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$	+	Das entsprechende Filter ist nach seinen Erfindern [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Norbert Wiener] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Andrei_Nikolajewitsch_Kolmogorow Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow] benannt. Den entsprechenden Frequenzgang bezeichnen wir mit $H_{\rm WF}(f).$

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−	~~::::~~:[[Datei:P_ID650__Sto_T_5_5_S1_neu.png \| Zur Herleitung des Wiener-Filters]]	+	:[[Datei:P_ID650__Sto_T_5_5_S1_neu.png \| Zur Herleitung des Wiener-Filters]]