Stochastische Signaltheorie/Weitere Verteilungen - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Further_Distributions]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	*Der theoretisch mögliche Wert  $x = 0$  tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit &bdquo;Null” auf.		*Der theoretisch mögliche Wert  $x = 0$  tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit &bdquo;Null” auf.
	*Das  $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  ergibt sich allgemein zu		*Das  $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  ergibt sich allgemein zu
	:$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ {\it k}/{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot		:$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ {\it k}/{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot {\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
	{\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
	*Daraus lassen sich der Mittelwert  $m_1$  und die Streuung  $\sigma$  folgendermaßen berechnen:		*Daraus lassen sich der Mittelwert  $m_1$  und die Streuung  $\sigma$  folgendermaßen berechnen:
	:$$m_1=\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) =		:$$m_1=\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) = \sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$
	\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$		:$$m_2=2 \lambda^2 \cdot {\rm \Gamma}(2) = 2 \lambda^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma= \sqrt{m_2 - m_1^2}=\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$
	:$$m_2=2 \lambda^2 \cdot {\rm \Gamma}(2) =
	2 \lambda^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma
	= \sqrt{m_2 - m_1^2}
	=\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$
	*Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, die beide die Streuung  $σ = λ$  aufweisen.  Die Größen  $u$  und  $v$  werden dann wie folgt verknüpft:		*Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, die beide die Streuung  $σ = λ$  aufweisen.  Die Größen  $u$  und  $v$  werden dann wie folgt verknüpft:
	:$$x=\sqrt{u^2+v^2}.$$		:$$x=\sqrt{u^2+v^2}.$$

Guenter am 21. Januar 2022 um 13:46 Uhr

2022-01-21T13:46:53Z

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	Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Rayleigh anzeigen lassen.}}		Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|"WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen"]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Rayleigh anzeigen lassen.}}

	==Riceverteilung==		==Riceverteilung==
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	Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Riceverteilung anzeigen lassen.}}		Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|"WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen"]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Riceverteilung anzeigen lassen.}}


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	Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Cauchyverteilung anzeigen lassen.}}		Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|"WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen"]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Cauchyverteilung anzeigen lassen.}}

Guenter am 21. Januar 2022 um 13:44 Uhr

2022-01-21T13:44:19Z

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	==Tschebyscheffsche Ungleichung==		==Tschebyscheffsche Ungleichung==
	<br>		<br>
			[[Datei:P_ID623__Sto_T_3_7_S4_ganz_neu.png \|frame\| Tschebyscheffsche Ungleichung \| rechts]]
	Bei einer Zufallsgröße  $x$  mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{x}(x)$  kann die Wahrscheinlichkeit,  dass die Zufallsgröße  $x$  betragsmäßig um mehr als einen Wert  $ε$  von ihrem Mittelwert  $m_{x}$  abweicht,  entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.		Bei einer Zufallsgröße  $x$  mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{x}(x)$  kann die Wahrscheinlichkeit,  dass die Zufallsgröße  $x$  betragsmäßig um mehr als einen Wert  $ε$  von ihrem Mittelwert  $m_{x}$  abweicht,  entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.

	~~[[Datei:P_ID623__Sto_T_3_7_S4_ganz_neu.png \|frame\| Tschebyscheffsche Ungleichung \| rechts]]~~		*Ist neben dem Mittelwert  $m_{x}$  zwar noch die Streuung  $σ_{x}$  bekannt,  nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf  $f_{x}(x)$,  so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:
	*Ist neben dem Mittelwert  $m_{x}$  zwar noch die Streuung  $σ_{x}$  bekannt, nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf  $f_{x}(x)$, so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:
	:$${\rm Pr}(\|x - m_{\rm x}\|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$		:$${\rm Pr}(\|x - m_{\rm x}\|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$
	*Diese von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]  angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.  Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF  $f_{x}(x)$  angewendet werden.		*Diese von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]  angegebene Schranke  – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” –  ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.
			*Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF  $f_{x}(x)$  angewendet werden.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße  $x$  aus.		$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße  $x$  aus.
	*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag  $\vert x \vert $  größer als die dreifache Streuung  $(3 · σ_{x})$  ist, einfach berechenbar.  Ergebnis:  ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$		*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,  dass deren Betrag  $\vert x \vert $  größer als die dreifache Streuung  $(3 · σ_{x})$  ist,  einfach berechenbar.  Ergebnis:  ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
	*Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert  $1/9 ≈ 0.111$.		*Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert  $1/9 ≈ 0.111$.
	* Diese Schranke nach Tschebyscheff würde für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}		* Diese Schranke nach Tschebyscheff würde für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}

Guenter am 21. Januar 2022 um 13:34 Uhr

2022-01-21T13:34:36Z

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Guenter am 23. November 2019 um 17:30 Uhr

2019-11-23T17:30:08Z

Guenter am 23. November 2019 um 17:03 Uhr

2019-11-23T17:03:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2019, 19:03 Uhr
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	Der Name geht auf den französischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy]  zurück, ein Pionier der Analysis, der die von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton]  aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen ~~auch~~ formal bewies.  Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.		Der Name geht auf den französischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy]  zurück, ein Pionier der Analysis, der die von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton]  aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen formal bewies.  Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.


	Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung, ist mathematisch aber sehr interessant.		Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung für die Nachrichtentechnik, ist mathematisch aber sehr interessant.

	Sie weist in der symmetrischen Form  (mit Mittelwert $m_1 = 0$)  folgende Eigenschaften auf:		Sie weist in der symmetrischen Form  $($mit Mittelwert  $m_1 = 0)$  folgende Eigenschaften auf:
	*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente $m_k$ für gerades $k$ einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter $λ$.		*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente  $m_k$  für gerades  $k$  einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter  $λ$.
	*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades $k$ alle Momente $m_k = 0$.
	*Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz $\sigma^2 = m_2$   ⇒   Leistung.		*Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz  $\sigma^2 = m_2$   ⇒   Leistung.
	*Deshalb ist es offensichtlich, dass keine physikalische Größe cauchyverteilt sein kann.		*Deshalb ist es offensichtlich, dass keine physikalische Größe cauchyverteilt sein kann.
	*Der Quotient $u/v$ zweier unabhängiger gaußverteilter mittelwertfreier Größen $u$ und $v$ ist mit dem Verteilungsparameter $λ = σ_u/σ_v$ cauchyverteilt.		*Der Quotient  $u/v$  zweier unabhängiger gaußverteilter mittelwertfreier Größen  $u$  und  $v$  ist mit dem Verteilungsparameter  $λ = σ_u/σ_v$  cauchyverteilt.
	*Eine cauchyverteilte Zufallsgröße $x$ kann aus einer zwischen $\pm1$ gleichverteilten Größe $u$ ~~erzeugt werden, wenn man~~ folgende [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|nichtlineare Transformation]] ~~durchführt~~:		*Eine cauchyverteilte Zufallsgröße  $x$  kann aus einer zwischen  $\pm1$  gleichverteilten Größe  $u$  durch folgende  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|nichtlineare Transformation]] erzeugt werden:
	:$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$		:$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$
			*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades  $k$  alle Momente  $m_k = 0$, wenn man vom &bdquo;Cauchy Principal Value” ausgeht:  <br>Mittelwert  $m_X = 0$,  Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.


	[[Datei:P_ID64__Sto_T_3_7_S3_neu.png \|right\|frame\| WDF einer cauchyverteilten Zufallsgröße]]		[[Datei:P_ID64__Sto_T_3_7_S3_neu.png \|right\|frame\| WDF einer cauchyverteilten Zufallsgröße]]
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	*Zu erkennen ist der langsame Abfall dieser Funktion zu den Rändern hin.		*Zu erkennen ist der langsame Abfall dieser Funktion zu den Rändern hin.
	*Da dieser asymptotisch mit $1/x^2$ erfolgt, sind die Varianz und alle Momente höherer Ordnung (mit geradzahligem Index) unendlich groß. }}		*Da dieser asymptotisch mit  $1/x^2$  erfolgt, sind die Varianz und alle Momente höherer Ordnung (mit geradzahligem Index) unendlich groß. }}

Guenter am 22. November 2019 um 17:02 Uhr

2019-11-22T17:02:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2019, 19:02 Uhr
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	<br>		<br>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man '''cauchyverteilt''', wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) und die Verteilungsfunktion (VTF) mit dem Verteilungsparameter $λ$ folgende Form haben:		$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  nennt man  '''cauchyverteilt''', wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) und die Verteilungsfunktion (VTF) mit dem Verteilungsparameter  $λ$  folgende Form haben:
	:$$f_{x}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda}{\lambda^2+x^2}, ~~\hspace{2cm}~~ F_{x}(r)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({r}/{\lambda}).$$		:$$f_{x}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda}{\lambda^2+x^2},$$
	Manchmal wird in der Literatur auch noch ein Mittelwert $m_1$ berücksichtigt. }}		:$$F_{x}(r)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({r}/{\lambda}).$$
			Manchmal wird in der Literatur auch noch ein Mittelwert  $m_1$  berücksichtigt. }}


	Der Name geht auf den französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy] zurück, ein Pionier der Analysis, der die von [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton] aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies. Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.		Der Name geht auf den französischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy]  zurück, ein Pionier der Analysis, der die von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton]  aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies.  Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.


	Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung, ist mathematisch aber sehr interessant.		Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung, ist mathematisch aber sehr interessant.

	Sie weist in der symmetrischen Form (mit Mittelwert $m_1 = 0$) folgende Eigenschaften auf:		Sie weist in der symmetrischen Form  (mit Mittelwert $m_1 = 0$)  folgende Eigenschaften auf:
	*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente $m_k$ für gerades $k$ einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter $λ$.		*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente $m_k$ für gerades $k$ einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter $λ$.
	*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades $k$ alle Momente $m_k = 0$.		*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades $k$ alle Momente $m_k = 0$.

Guenter am 22. November 2019 um 16:42 Uhr

2019-11-22T16:42:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2019, 18:42 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	*Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter  $C$  ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente.  Je größer der Quotient  $C/λ$  ist, desto mehr nähert sich der  Rice–Kanal dem Gauß–Kanal an.  Für  $C = 0$  geht die Riceverteilung in die  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung\|Rayleighverteilung]] über.		*Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter  $C$  ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente.  Je größer der Quotient  $C/λ$  ist, desto mehr nähert sich der  Rice–Kanal dem Gauß–Kanal an.  Für  $C = 0$  geht die Riceverteilung in die  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung\|Rayleighverteilung]] über.
	*Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment  $m_k$  deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar.  Ist jedoch  $λ$  sehr viel kleiner als  $C$, so gilt  $m_1 ≈ C$  und  $σ ≈ λ$.		*Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment  $m_k$  deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar.  Ist jedoch  $λ$  sehr viel kleiner als  $C$, so gilt  $m_1 ≈ C$  und  $σ ≈ λ$.
	*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $λ$  angenähert werden.		*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|Gaußverteilung]]  mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $λ$  angenähert werden.
	*Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße  $x$  verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen  $(u$  und/oder  $v$ )  einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.		*Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße  $x$  verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen  $(u$  und/oder  $v$ )  einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.
	:$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}\|m_u\| + \|m_v\| > 0 .$$		:$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}\|m_u\| + \|m_v\| > 0 .$$

Guenter am 22. November 2019 um 16:39 Uhr

2019-11-22T16:39:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. November 2019, 19:30 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	*Eine cauchyverteilte Zufallsgröße  $x$  kann aus einer zwischen  $\pm1$  gleichverteilten Größe  $u$  durch folgende  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|nichtlineare Transformation]] erzeugt werden:		*Eine cauchyverteilte Zufallsgröße  $x$  kann aus einer zwischen  $\pm1$  gleichverteilten Größe  $u$  durch folgende  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen\|nichtlineare Transformation]] erzeugt werden:
	:$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$		:$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$
	*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades  $k$  alle Momente  $m_k = 0$, wenn man vom &bdquo;Cauchy Principal Value” ausgeht~~:  <br>~~Mittelwert  $m_X = 0$,  Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.		*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades  $k$  alle Momente  $m_k = 0$, wenn man vom &bdquo;Cauchy Principal Value” ausgeht.
			*Somit gilt auch für den Mittelwert  $m_X = 0$  und die Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.


Zeile 115:		Zeile 116:
	==Tschebyscheffsche Ungleichung==		==Tschebyscheffsche Ungleichung==
	<br>		<br>
	Bei einer Zufallsgröße $x$ mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ kann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ betragsmäßig um mehr als einen Wert $ε$ von ihrem Mittelwert $m_{x}$ abweicht, entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.		Bei einer Zufallsgröße  $x$  mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{x}(x)$  kann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  betragsmäßig um mehr als einen Wert  $ε$  von ihrem Mittelwert  $m_{x}$  abweicht, entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.

	[[Datei:P_ID623__Sto_T_3_7_S4_ganz_neu.png \|frame\| Tschebyscheffsche Ungleichung \| rechts]]		[[Datei:P_ID623__Sto_T_3_7_S4_ganz_neu.png \|frame\| Tschebyscheffsche Ungleichung \| rechts]]
	*Ist neben dem Mittelwert $m_{x}$ zwar noch die Streuung $σ_{x}$ bekannt, nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf $f_{x}(x)$, so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:		*Ist neben dem Mittelwert  $m_{x}$  zwar noch die Streuung  $σ_{x}$  bekannt, nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf  $f_{x}(x)$, so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:
	:$${\rm Pr}(\|x - m_{\rm x}\|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$		:$${\rm Pr}(\|x - m_{\rm x}\|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$
	*Diese von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff] angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.		*Diese von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]  angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.  Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF  $f_{x}(x)$  angewendet werden.
	*Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF $f_{x}(x)$ angewendet werden.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße $x$ aus.		$\text{Beispiel 4:}$  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße  $x$  aus.
	*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag $\vert x \vert $ größer als die ~~3-fache~~ Streuung $(3 · σ_{x})$ ist, einfach berechenbar. Ergebnis:  ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$		*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag  $\vert x \vert $  größer als die dreifache Streuung  $(3 · σ_{x})$  ist, einfach berechenbar.  Ergebnis:  ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
	*Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert $1/9 ≈ 0.111$.		*Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert  $1/9 ≈ 0.111$.
	* Diese Schranke nach Tschebyscheff würde ~~aber~~ für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}		* Diese Schranke nach Tschebyscheff würde für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

← Nächstältere Version		Version vom 22. November 2019, 18:39 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	<br>		<br>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man '''rayleighverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für $x \ge 0$ mit dem Verteilungsparameter $λ$ den folgenden Verlauf hat:		$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  nennt man  '''rayleighverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für  $x \ge 0$  mit dem Verteilungsparameter  $λ$  den folgenden Verlauf hat:
	:$$f_{x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot {\rm e}^{-x^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\lambda^2) } .$$}}		:$$f_{x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot {\rm e}^{-x^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\lambda^2) } .$$}}


	Der Name geht auf den englischen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Strutt,_3._Baron_Rayleigh John William Strutt] zurück, dem &bdquo;dritten Baron Rayleigh”. 1904 erhielt er den Physik-Nobelpreis.		Der Name geht auf den englischen Physiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Strutt,_3._Baron_Rayleigh John William Strutt]  zurück, dem &bdquo;dritten Baron Rayleigh”.  1904 erhielt er den Physik–Nobelpreis.

	*Die Rayleighverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine zentrale Rolle. Solche Kanäle werden im Buch [[Mobile Kommunikation]] beschrieben.		*Die Rayleighverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine zentrale Rolle.  Solche Kanäle werden im Buch  [[Mobile Kommunikation]]  beschrieben.
	*So weist &bdquo;nichtfrequenzselektives Fading” eine solche Verteilung auf, wenn zwischen der Basisstation und dem mobilen Teilnehmer keine Sichtverbindung besteht.		*So weist &bdquo;nichtfrequenzselektives Fading” eine solche Verteilung auf, wenn zwischen der Basisstation und dem mobilen Teilnehmer keine Sichtverbindung besteht.


	'''Charakteristische Eigenschaften der Rayleighverteilung''':		'''Charakteristische Eigenschaften der Rayleighverteilung''':
	*Eine rayleighverteilte Zufallsgröße $x$ kann keine negativen Werte annehmen.		*Eine rayleighverteilte Zufallsgröße  $x$  kann keine negativen Werte annehmen.
	*Der theoretisch mögliche Wert $x = 0$ tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit ~~$0$~~ auf.		*Der theoretisch mögliche Wert  $x = 0$  tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit &bdquo;Null” auf.
	*Das $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße $x$ ergibt sich allgemein zu		*Das  $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  ergibt sich allgemein zu
	:$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ {\it k}/{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot		:$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ {\it k}/{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot
	{\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$		{\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
	*Daraus lassen sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma_1$ folgendermaßen berechnen:		*Daraus lassen sich der Mittelwert  $m_1$  und die Streuung  $\sigma_1$  folgendermaßen berechnen:
	:$$m_1=\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) =		:$$m_1=\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) =
	\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$		\sqrt{2}\cdot \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$
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	= \sqrt{m_2 - m_1^2}		= \sqrt{m_2 - m_1^2}
	=\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$		=\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$
	*Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße $x$ verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen $u$ und $v$, die beide die Streuung $σ = λ$ aufweisen. Die Größen $u$ und $v$ werden dann wie folgt verknüpft:		*Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße  $x$  verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen  $u$  und  $v$, die beide die Streuung  $σ = λ$  aufweisen.  Die Größen  $u$  und  $v$  werden dann wie folgt verknüpft:
	:$$x=\sqrt{u^2+v^2}.$$		:$$x=\sqrt{u^2+v^2}.$$

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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt		$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt
	*den Zeitverlauf $x(t)$ einer rayleighverteilten Zufallsgröße sowie		*den Zeitverlauf  $x(t)$  einer rayleighverteilten Zufallsgröße sowie
	*die zugehörige Dichtefunktion $f_{x}(x)$.		*die zugehörige Dichtefunktion  $f_{x}(x)$.


	Man erkennt aus dieser Darstellung:		Man erkennt aus dieser Darstellung:
	*Die Rayleigh–WDF ist stets unsymmetrisch.		*Die Rayleigh–WDF ist stets unsymmetrisch.
	*Der Mittelwert $m_1$ liegt etwa 25% oberhalb des WDF-Maximums~~, das~~ bei $x = λ$ ~~auftritt~~. }}		*Der Mittelwert  $m_1$  liegt etwa  $25\%$  oberhalb des WDF-Maximums.
			* Das WDF-Maximum tritt bei  $x = λ$  auf. }}

	==Riceverteilung==		==Riceverteilung==
	<br>		<br>
	Auch die Riceverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine wichtige Rolle, unter ~~Anderem~~ auch deshalb,		Auch die Riceverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine wichtige Rolle, unter anderem auch deshalb,
	*weil ''nichtfrequenzselektives Fading'' dann riceverteilt ist,		*weil  ''nichtfrequenzselektives Fading''  dann riceverteilt ist,
	*wenn zwischen der Basisstation und dem Mobilteilnehmer eine ''Sichtverbindung''  besteht.		*wenn zwischen der Basisstation und dem Mobilteilnehmer eine  ''Sichtverbindung''  besteht.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man '''riceverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für $x > 0$ den folgenden Verlauf hat:		$\text{Definition:}$  Eine kontinuierliche Zufallsgröße  $x$  nennt man  '''riceverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für  $x > 0$  den folgenden Verlauf hat:
	:$$f_{\rm x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it x^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \lambda^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it x\cdot C}{\lambda^{\rm 2} }) \hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm} {\rm I_0}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$		:$$f_{\rm x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it x^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \lambda^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it x\cdot C}{\lambda^{\rm 2} }) \hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm} {\rm I_0}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$
	${\rm I_0}( ... )$ bezeichnet die [https://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche_Differentialgleichung modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung].}}		${\rm I_0}( ... )$ bezeichnet die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche_Differentialgleichung modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung].}}


	Der Name geht auf den Mathematiker und Logiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Henry_Gordon_Rice Henry Gordon Rice] zurück. Er lehrte als Mathematikprofessor an der University of New Hampshire.		Der Name geht auf den Mathematiker und Logiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Henry_Gordon_Rice Henry Gordon Rice]  zurück. Er lehrte als Mathematikprofessor an der University of New Hampshire.


	'''Charakteristische Eigenschaften der Riceverteilung''':		'''Charakteristische Eigenschaften der Riceverteilung''':
	*Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter $C$ ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente. Je größer der Quotient $C/λ$ ist, desto mehr nähert sich der Rice–Kanal dem Gauß–Kanal an. Für $C = 0$ geht die Riceverteilung in die [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung\|Rayleighverteilung]] über.		*Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter  $C$  ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente.  Je größer der Quotient  $C/λ$  ist, desto mehr nähert sich der  Rice–Kanal dem Gauß–Kanal an.  Für  $C = 0$  geht die Riceverteilung in die  [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung\|Rayleighverteilung]] über.
	*Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment $m_k$ deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar. Ist jedoch $λ$ sehr viel kleiner als $C$, so gilt $m_1 ≈ C$ und $σ ≈ λ$.		*Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment  $m_k$  deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar.  Ist jedoch  $λ$  sehr viel kleiner als  $C$, so gilt  $m_1 ≈ C$  und  $σ ≈ λ$.
	*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $λ$ angenähert werden.		*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert  $C$  und Streuung  $λ$  angenähert werden.
	*Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße $x$ verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $(u$  und/oder  $v$) einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.		*Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße  $x$  verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen  $(u$  und/oder  $v$ )  einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.
	:$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}\|m_u\| + \|m_v\| > 0 .$$		:$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}\|m_u\| + \|m_v\| > 0 .$$

	[[Datei:P_ID63__Sto_T_3_7_S2_neu.png \|right\|frame\| Mustersignal und WDF einer riceverteilten Zufallsgröße]]		[[Datei:P_ID63__Sto_T_3_7_S2_neu.png \|right\|frame\| Mustersignal und WDF einer riceverteilten Zufallsgröße]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer riceverteilten Zufallsgröße $x$ sowie deren Dichtefunktion $f_{\rm x}(x)$, wobei $C/λ = 2$ gilt.		$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer riceverteilten Zufallsgröße  $x$  sowie deren Dichtefunktion  $f_{\rm x}(x)$, wobei  $C/λ = 2$  gilt.

	*Etwas salopp ausgedrückt: Die Riceverteilung ist ein Kompromiss zwischen der Rayleigh– und der Gaußverteilung.		*Etwas salopp ausgedrückt:   Die Riceverteilung ist ein Kompromiss zwischen der Rayleigh– und der Gaußverteilung.
	*Der Mittelwert $m_1$ ist hier etwas größer als $C$. }}		*Der Mittelwert  $m_1$  ist hier etwas größer als  $C$. }}


	Mit dem ~~Berechnungstool~~ [[Applets:~~WDF_VTF~~\|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] können Sie sich unter ~~Anderem~~ die Kenngrößen (WDF, VTF, Momente) der Rayleigh– sowie der Riceverteilung anzeigen lassen.		Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  können Sie sich unter anderem die Kenngrößen  $($WDF, VTF, Momente$)$  der Rayleigh– sowie der Riceverteilung anzeigen lassen.