Stochastische Signaltheorie/Weitere Verteilungen - Versionsgeschichte

Guenter am 21. Januar 2022 um 13:46 Uhr

2022-01-21T13:46:53Z

Guenter am 21. Januar 2022 um 13:44 Uhr

2022-01-21T13:44:19Z

Guenter am 21. Januar 2022 um 13:34 Uhr

2022-01-21T13:34:36Z

Änderungen zeigen

Guenter am 23. November 2019 um 17:30 Uhr

2019-11-23T17:30:08Z

Guenter am 23. November 2019 um 17:03 Uhr

2019-11-23T17:03:15Z

Guenter am 22. November 2019 um 17:02 Uhr

2019-11-22T17:02:46Z

Guenter am 22. November 2019 um 16:42 Uhr

2019-11-22T16:42:05Z

Guenter am 22. November 2019 um 16:39 Uhr

2019-11-22T16:39:47Z

Guenter am 10. August 2018 um 15:41 Uhr

2018-08-10T15:41:10Z

Guenter am 10. August 2018 um 15:38 Uhr

2018-08-10T15:38:29Z

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
-Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Rayleigh anzeigen lassen.}}
+Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|"WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen"]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Rayleigh anzeigen lassen.}}
 ==Riceverteilung==
@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
-Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Riceverteilung anzeigen lassen.}}
+Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|"WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen"]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Riceverteilung anzeigen lassen.}}
@@ Zeile 119: / Zeile 119: @@
-Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Cauchyverteilung anzeigen lassen.}}
+Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|"WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen"]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen der Cauchyverteilung anzeigen lassen.}}

@@ Zeile 124: / Zeile 124: @@
 ==Tschebyscheffsche Ungleichung==
 <br>
 Bei einer Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; kann die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; betragsmäßig um mehr als einen Wert&nbsp; $ε$&nbsp; von ihrem Mittelwert&nbsp; $m_{x}$&nbsp; abweicht,&nbsp; entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.
-[[Datei:P_ID623__Sto_T_3_7_S4_ganz_neu.png |frame| Tschebyscheffsche Ungleichung | rechts]]
+*Ist neben dem Mittelwert&nbsp; $m_{x}$&nbsp; zwar noch die Streuung&nbsp; $σ_{x}$&nbsp; bekannt,&nbsp; nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf&nbsp; $f_{x}(x)$,&nbsp; so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:
 :$${\rm Pr}(|x - m_{\rm x}|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$
-*Diese von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]&nbsp;  angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.&nbsp; Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; angewendet werden.
+*Diese von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]&nbsp;  angegebene Schranke&nbsp; – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” –&nbsp; ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.&nbsp;
 <br clear=all>
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aus.
-*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag&nbsp; $\vert x \vert $&nbsp; größer als die dreifache Streuung&nbsp; $(3 · σ_{x})$&nbsp; ist, einfach berechenbar.&nbsp; Ergebnis:&nbsp; ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
+*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass deren Betrag&nbsp; $\vert x \vert $&nbsp; größer als die dreifache Streuung&nbsp; $(3 · σ_{x})$&nbsp; ist,&nbsp; einfach berechenbar.&nbsp; Ergebnis:&nbsp; ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
 *Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert&nbsp; $1/9 ≈ 0.111$.
 * Diese Schranke nach Tschebyscheff  würde für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}

@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 *Eine cauchyverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kann aus einer zwischen&nbsp; $\pm1$&nbsp; gleichverteilten Größe&nbsp; $u$&nbsp; durch  folgende&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|nichtlineare Transformation]]&nbsp;erzeugt werden:
 :$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$
-*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades&nbsp; $k$&nbsp; alle Momente&nbsp;  $m_k = 0$, wenn man vom &bdquo;Cauchy Principal Value&rdquo; ausgeht:&nbsp; <br>Mittelwert&nbsp; $m_X = 0$,&nbsp; Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X = 0$.
+*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades&nbsp; $k$&nbsp; alle Momente&nbsp;  $m_k = 0$, wenn man vom &bdquo;Cauchy Principal Value&rdquo; ausgeht.
@@ Zeile 115: / Zeile 116: @@
 ==Tschebyscheffsche Ungleichung==
 <br>
-Bei einer Zufallsgröße $x$ mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ kann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ betragsmäßig um mehr als einen Wert $ε$ von ihrem Mittelwert $m_{x}$ abweicht, entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.
+Bei einer Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit bekannter Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; kann die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; betragsmäßig um mehr als einen Wert&nbsp; $ε$&nbsp; von ihrem Mittelwert&nbsp; $m_{x}$&nbsp; abweicht, entsprechend der in diesem Kapitel allgemein beschriebenen Weise exakt berechnet werden.
 [[Datei:P_ID623__Sto_T_3_7_S4_ganz_neu.png |frame| Tschebyscheffsche Ungleichung | rechts]]
-*Ist neben dem Mittelwert $m_{x}$ zwar noch die Streuung $σ_{x}$ bekannt, nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf $f_{x}(x)$, so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:
+*Ist neben dem Mittelwert&nbsp; $m_{x}$&nbsp; zwar noch die Streuung&nbsp; $σ_{x}$&nbsp; bekannt, nicht jedoch der exakte WDF-Verlauf&nbsp; $f_{x}(x)$, so lässt sich für diese Wahrscheinlichkeit zumindest eine obere Schranke angeben:
 :$${\rm Pr}(|x - m_{\rm x}|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma_{x}^{\rm 2}}{\varepsilon^{\rm 2}}. $$
-*Diese von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]  angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.
+*Diese von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow Pafnuti L. Tschebyscheff]&nbsp;  angegebene Schranke – bekannt als „Tschebyscheffsche Ungleichung” – ist im Allgemeinen allerdings nur eine sehr grobe Näherung für die tatsächliche Überschreitungswahrscheinlichkeit.&nbsp; Sie sollte deshalb nur bei unbekanntem Verlauf der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; angewendet werden.
 <br clear=all>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße $x$ aus.
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir gehen von einer gaußverteilten und mittelwertfreien Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aus.
-*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag $\vert x \vert $ größer als die 3-fache Streuung $(3 · σ_{x})$ ist, einfach berechenbar. Ergebnis:&nbsp; ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
+*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass deren Betrag&nbsp; $\vert x \vert $&nbsp; größer als die dreifache Streuung&nbsp; $(3 · σ_{x})$&nbsp; ist, einfach berechenbar.&nbsp; Ergebnis:&nbsp; ${\rm 2 · Q(3) ≈ 2.7 · 10^{-3} }.$
-*Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert $1/9 ≈ 0.111$.
+*Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier als eine obere Schranke den deutlich zu großen Wert&nbsp; $1/9 ≈ 0.111$.
-* Diese Schranke nach Tschebyscheff  würde aber für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}
+* Diese Schranke nach Tschebyscheff  würde für jede beliebige WDF–Form ebenfalls gelten.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
-Der Name geht auf den französischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy]&nbsp; zurück, ein Pionier der Analysis, der die von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton]&nbsp; aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies.&nbsp; Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.
+Der Name geht auf den französischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy]&nbsp; zurück, ein Pionier der Analysis, der die von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton]&nbsp; aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen formal bewies.&nbsp; Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.
-Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung, ist mathematisch aber sehr interessant.
+Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung für die Nachrichtentechnik, ist mathematisch aber sehr interessant.
-Sie weist in der symmetrischen Form&nbsp; (mit Mittelwert  $m_1 = 0$)&nbsp; folgende Eigenschaften auf:
+Sie weist in der symmetrischen Form&nbsp; $($mit Mittelwert&nbsp;  $m_1 = 0)$&nbsp; folgende Eigenschaften auf:
-*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente $m_k$ für gerades $k$ einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter $λ$.
+*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; für gerades&nbsp; $k$&nbsp; einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter&nbsp; $λ$.
-*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades $k$ alle Momente  $m_k = 0$.
-*Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz  $\sigma^2 = m_2$ &nbsp; ⇒  &nbsp; Leistung.
+*Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz&nbsp;  $\sigma^2 = m_2$ &nbsp; ⇒  &nbsp; Leistung.
 *Deshalb ist es offensichtlich, dass keine physikalische Größe cauchyverteilt sein kann.
-*Der Quotient $u/v$ zweier unabhängiger gaußverteilter mittelwertfreier Größen $u$ und $v$ ist mit dem Verteilungsparameter $λ = σ_u/σ_v$ cauchyverteilt.
+*Der Quotient&nbsp; $u/v$&nbsp; zweier unabhängiger gaußverteilter mittelwertfreier Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; ist mit dem Verteilungsparameter&nbsp; $λ = σ_u/σ_v$&nbsp; cauchyverteilt.
-*Eine cauchyverteilte Zufallsgröße $x$ kann aus einer zwischen $\pm1$ gleichverteilten Größe $u$ erzeugt werden, wenn man folgende  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|nichtlineare Transformation]] durchführt:
+*Eine cauchyverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kann aus einer zwischen&nbsp; $\pm1$&nbsp; gleichverteilten Größe&nbsp; $u$&nbsp; durch  folgende&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|nichtlineare Transformation]]&nbsp;erzeugt werden:
 :$$x=\lambda \cdot {\tan}( {\pi}/{2}\cdot u).$$
 [[Datei:P_ID64__Sto_T_3_7_S3_neu.png |right|frame| WDF einer cauchyverteilten Zufallsgröße]]
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
 *Zu erkennen ist der langsame Abfall dieser Funktion zu den Rändern hin.
-*Da dieser asymptotisch mit $1/x^2$ erfolgt, sind die Varianz und alle Momente höherer Ordnung (mit geradzahligem Index) unendlich groß. }}
+*Da dieser asymptotisch mit&nbsp; $1/x^2$&nbsp; erfolgt, sind die Varianz und alle Momente höherer Ordnung (mit geradzahligem Index) unendlich groß. }}

@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man '''cauchyverteilt''', wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) und die Verteilungsfunktion (VTF)   mit dem Verteilungsparameter $λ$ folgende Form haben:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; nennt man&nbsp; '''cauchyverteilt''', wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) und die Verteilungsfunktion (VTF)   mit dem Verteilungsparameter&nbsp; $λ$&nbsp; folgende Form haben:
-:$$f_{x}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda}{\lambda^2+x^2}, \hspace{2cm} F_{x}(r)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({r}/{\lambda}).$$
+:$$f_{x}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda}{\lambda^2+x^2},$$
-Manchmal wird in der Literatur auch noch ein Mittelwert $m_1$ berücksichtigt. }}
+:$$F_{x}(r)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({r}/{\lambda}).$$
-Der Name geht auf den französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy] zurück, ein Pionier der Analysis, der die von [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton] aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies. Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.
+Der Name geht auf den französischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy]&nbsp; zurück, ein Pionier der Analysis, der die von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton]&nbsp; aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies.&nbsp; Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.
 Die Cauchyverteilung hat weniger praktische Bedeutung, ist mathematisch aber sehr interessant.
-Sie weist in der symmetrischen Form (mit Mittelwert  $m_1 = 0$) folgende Eigenschaften auf:
+Sie weist in der symmetrischen Form&nbsp; (mit Mittelwert  $m_1 = 0$)&nbsp; folgende Eigenschaften auf:
 *Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente $m_k$ für gerades $k$ einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter $λ$.
 *Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades $k$ alle Momente  $m_k = 0$.

@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 *Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter&nbsp; $C$&nbsp; ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente.&nbsp; Je größer der Quotient&nbsp; $C/λ$&nbsp; ist, desto mehr nähert sich der&nbsp; Rice&ndash;Kanal dem Gauß&ndash;Kanal an.&nbsp; Für&nbsp; $C = 0$&nbsp; geht die Riceverteilung in die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]] über.
 *Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment&nbsp; $m_k$&nbsp; deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar.&nbsp; Ist jedoch&nbsp; $λ$&nbsp; sehr viel kleiner als&nbsp; $C$, so gilt&nbsp; $m_1 ≈ C$&nbsp; und&nbsp; $σ ≈ λ$.
-*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $C$&nbsp; und Streuung&nbsp; $λ$&nbsp; angenähert werden.
+*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilung]]&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $C$&nbsp; und Streuung&nbsp; $λ$&nbsp; angenähert werden.
 *Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen&nbsp; $(u$&nbsp; und/oder &nbsp;$v$&nbsp;)&nbsp; einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.
 :$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}|m_u| + |m_v| > 0 .$$

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man '''rayleighverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für $x \ge 0$ mit dem Verteilungsparameter $λ$ den folgenden Verlauf hat:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; nennt man&nbsp; '''rayleighverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für&nbsp; $x \ge 0$&nbsp; mit dem Verteilungsparameter&nbsp; $λ$&nbsp; den folgenden Verlauf hat:
 :$$f_{x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot {\rm e}^{-x^2 / ( 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\lambda^2) } .$$}}
-Der Name geht auf den englischen Physiker [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Strutt,_3._Baron_Rayleigh John William Strutt] zurück, dem &bdquo;dritten Baron Rayleigh&rdquo;. 1904 erhielt er den Physik-Nobelpreis.
+Der Name geht auf den englischen Physiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/John_Strutt,_3._Baron_Rayleigh John William Strutt]&nbsp; zurück, dem &bdquo;dritten Baron Rayleigh&rdquo;.&nbsp; 1904 erhielt er den Physik&ndash;Nobelpreis.
-*Die Rayleighverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine zentrale Rolle. Solche Kanäle werden im Buch [[Mobile Kommunikation]] beschrieben.
+*Die Rayleighverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine zentrale Rolle.&nbsp; Solche Kanäle werden im Buch&nbsp; [[Mobile Kommunikation]]&nbsp; beschrieben.
 *So weist &bdquo;nichtfrequenzselektives Fading&rdquo; eine solche Verteilung auf, wenn zwischen der Basisstation und dem mobilen Teilnehmer keine Sichtverbindung besteht.
 '''Charakteristische Eigenschaften der Rayleighverteilung''':
-*Eine rayleighverteilte Zufallsgröße $x$ kann keine negativen Werte annehmen.
+*Eine rayleighverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kann keine negativen Werte annehmen.
-*Der theoretisch mögliche Wert $x = 0$ tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit $0$ auf.
+*Der theoretisch mögliche Wert&nbsp; $x = 0$&nbsp; tritt auch nur mit der Wahrscheinlichkeit &bdquo;Null&rdquo; auf.
-*Das $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße $x$ ergibt sich allgemein zu
+*Das&nbsp; $k$-te Moment einer rayleighverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; ergibt sich allgemein zu
 :$$m_k=(2\cdot \lambda^{\rm 2})^{\it k/\rm 2}\cdot {\rm \Gamma}( 1+ {\it k}/{\rm 2}) \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm \Gamma}(x)= \int_{0}^{\infty} t^{x-1} \cdot
 {\rm e}^{-t} \hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
-*Daraus lassen sich der Mittelwert $m_1$ und die Streuung $\sigma_1$ folgendermaßen berechnen:
+*Daraus lassen sich der Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; und die Streuung&nbsp; $\sigma_1$&nbsp; folgendermaßen berechnen:
 :$$m_1=\sqrt{2}\cdot  \lambda\cdot {\rm \Gamma}(1.5) =
 \sqrt{2}\cdot  \lambda\cdot {\sqrt{\pi}}/{2} =\lambda\cdot\sqrt{{\pi}/{2}},$$
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 = \sqrt{m_2 - m_1^2}
 =\lambda\cdot\sqrt{2-{\pi}/{2}}.$$
-*Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße $x$ verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen $u$ und $v$, die beide die Streuung $σ = λ$ aufweisen. Die Größen $u$ und $v$ werden dann wie folgt verknüpft:
+*Zur Modellierung einer rayleighverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; verwendet man zum Beispiel zwei gaußverteilte, mittelwertfreie und statistisch unabhängige Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, die beide die Streuung&nbsp; $σ = λ$&nbsp; aufweisen.&nbsp; Die Größen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; werden dann wie folgt verknüpft:
 :$$x=\sqrt{u^2+v^2}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt
-*den Zeitverlauf $x(t)$ einer rayleighverteilten Zufallsgröße sowie
+*den Zeitverlauf&nbsp; $x(t)$&nbsp; einer rayleighverteilten Zufallsgröße sowie
-*die zugehörige Dichtefunktion $f_{x}(x)$.
+*die zugehörige Dichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$.
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
 *Die Rayleigh&ndash;WDF ist stets unsymmetrisch.
-*Der Mittelwert $m_1$ liegt etwa 25% oberhalb des WDF-Maximums, das bei $x = λ$ auftritt. }}
+*Der Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; liegt etwa&nbsp; $25\%$&nbsp; oberhalb des WDF-Maximums.
 ==Riceverteilung==
 <br>
-Auch die Riceverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine wichtige Rolle, unter Anderem auch deshalb,
+Auch die Riceverteilung spielt für die Beschreibung zeitvarianter Kanäle eine wichtige Rolle, unter anderem auch deshalb,
-*weil ''nichtfrequenzselektives Fading'' dann riceverteilt ist,
+*weil&nbsp; ''nichtfrequenzselektives Fading''&nbsp; dann riceverteilt ist,
-*wenn zwischen der Basisstation und dem Mobilteilnehmer eine ''Sichtverbindung''&nbsp; besteht.
+*wenn zwischen der Basisstation und dem Mobilteilnehmer eine&nbsp; ''Sichtverbindung''&nbsp; besteht.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man  '''riceverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für $x > 0$ den folgenden Verlauf hat:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; nennt man&nbsp;  '''riceverteilt''', wenn sie keine negativen Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für&nbsp; $x > 0$&nbsp; den folgenden Verlauf hat:
 :$$f_{\rm x}(x)=\frac{x}{\lambda^2}\cdot{\rm e}^{-({C^2+\it x^{\rm 2} })/ ({\rm 2 \it \lambda^{\rm 2} })}\cdot {\rm I_0}(\frac{\it x\cdot C}{\lambda^{\rm 2} }) \hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm} {\rm I_0}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x/2)^{2k} }{k! \cdot {\rm \Gamma ({\it k}+1)} }.$$
-${\rm I_0}( ... )$ bezeichnet die [https://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche_Differentialgleichung modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung].}}
+${\rm I_0}( ... )$ bezeichnet die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Besselsche_Differentialgleichung modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung].}}
-Der Name geht auf den Mathematiker und Logiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Henry_Gordon_Rice Henry Gordon Rice]  zurück. Er lehrte als  Mathematikprofessor an der University of New Hampshire.
+Der Name geht auf den Mathematiker und Logiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Henry_Gordon_Rice Henry Gordon Rice]&nbsp;  zurück. Er lehrte als  Mathematikprofessor an der University of New Hampshire.
 '''Charakteristische Eigenschaften der Riceverteilung''':
-*Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter $C$ ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente. Je größer der Quotient $C/λ$ ist, desto mehr nähert sich der Rice&ndash;Kanal dem Gauß&ndash;Kanal an. Für $C = 0$ geht die Riceverteilung in die [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]] über.
+*Der gegenüber der Rayleighverteilung zusätzliche Parameter&nbsp; $C$&nbsp; ist ein Maß für die „Stärke” der Direktkomponente.&nbsp; Je größer der Quotient&nbsp; $C/λ$&nbsp; ist, desto mehr nähert sich der&nbsp; Rice&ndash;Kanal dem Gauß&ndash;Kanal an.&nbsp; Für&nbsp; $C = 0$&nbsp; geht die Riceverteilung in die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Rayleighverteilung|Rayleighverteilung]] über.
-*Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment $m_k$ deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar. Ist jedoch $λ$ sehr viel kleiner als $C$, so gilt $m_1 ≈ C$ und $σ ≈ λ$.
+*Bei der Riceverteilung ist der Ausdruck für das Moment&nbsp; $m_k$&nbsp; deutlich komplizierter und nur mit Hilfe hypergeometrischer Funktionen angebbar.&nbsp; Ist jedoch&nbsp; $λ$&nbsp; sehr viel kleiner als&nbsp; $C$, so gilt&nbsp; $m_1 ≈ C$&nbsp; und&nbsp; $σ ≈ λ$.
-*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $λ$ angenähert werden.
+*Unter diesen Voraussetzungen kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $C$&nbsp; und Streuung&nbsp; $λ$&nbsp; angenähert werden.
-*Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße $x$ verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $(u$&nbsp; und/oder &nbsp;$v$) einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.
+*Zur Modellierung einer riceverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; verwenden wir ein ähnliches Modell wie für die Rayleighverteilung, nur muss nun zumindest eine der beiden gaußverteilten und statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen&nbsp; $(u$&nbsp; und/oder &nbsp;$v$&nbsp;)&nbsp; einen Mittelwert ungleich Null aufweisen.
 :$$x=\sqrt{u^2+v^2}\hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm}|m_u| + |m_v| > 0 .$$
 [[Datei:P_ID63__Sto_T_3_7_S2_neu.png |right|frame| Mustersignal und WDF einer riceverteilten Zufallsgröße]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer riceverteilten Zufallsgröße $x$ sowie deren Dichtefunktion $f_{\rm x}(x)$, wobei $C/λ = 2$ gilt.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Grafik zeigt den zeitlichen Verlauf einer riceverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sowie deren Dichtefunktion&nbsp; $f_{\rm x}(x)$, wobei&nbsp; $C/λ = 2$&nbsp; gilt.
-*Etwas salopp ausgedrückt: Die Riceverteilung ist ein Kompromiss zwischen der Rayleigh&ndash; und der Gaußverteilung.
+*Etwas salopp ausgedrückt: &nbsp; Die Riceverteilung ist ein Kompromiss zwischen der Rayleigh&ndash; und der Gaußverteilung.
-*Der Mittelwert $m_1$ ist hier etwas größer als $C$. }}
+*Der Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; ist hier etwas größer als&nbsp; $C$. }}
-Mit dem Berechnungstool [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] können Sie sich unter Anderem die Kenngrößen (WDF, VTF, Momente) der Rayleigh&ndash; sowie der Riceverteilung anzeigen lassen.
+Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp; können Sie sich unter anderem die Kenngrößen&nbsp; $($WDF, VTF, Momente$)$&nbsp; der Rayleigh&ndash; sowie der Riceverteilung anzeigen lassen.

← Nächstältere Version		Version vom 10. August 2018, 15:41 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:


−	Der Name geht auf den französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy] zurück, ein Pionier der Analysis, der die von [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton] aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies. Insbesondere ~~in der Funktionentheorie~~ stammen viele zentrale Sätze von Cauchy.	+	Der Name geht auf den französischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy Augustin-Louis Cauchy] zurück, ein Pionier der Analysis, der die von [https://de.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Sir Isaac Newton] aufgestellten Grundlagen weiterentwickelte und fundamentale Aussagen auch formal bewies. Insbesondere stammen viele zentrale Sätze der Funktionentheorie von Cauchy.