Stochastische Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion - Versionsgeschichte

Guenter am 30. Dezember 2021 um 17:16 Uhr

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Guenter am 30. Dezember 2021 um 16:37 Uhr

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-Hier noch ein Hinweis,&nbsp; um die unterschiedlichen Beschreibungsgrößen für diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen einordnen zu können: &nbsp; &nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stehen in ähnlichem Verhältnis zueinander wie im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]
+Hier noch ein Hinweis,&nbsp; um die unterschiedlichen Beschreibungsgrößen für diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen einordnen zu können: &nbsp; Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stehen in ähnlichem Verhältnis zueinander wie im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]
 :*ein diskreter Spektralanteil einer harmonischen Schwingung  &nbsp; ⇒  &nbsp; Linienspektrum, und
 :*ein kontinuierliches Spektrum eines energiebegrenzten&nbsp; (impulsförmigen)&nbsp; Signals.

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 ==WDF-Definition für diskrete Zufallsgrößen==
 <br>
-Aus Gründen einer einheitlichen Darstellung aller Zufallsgrößen (sowohl wertdiskret als auch wertkontinuierlich) ist es zweckmäßig, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auch für diskrete Zufallsgrößen zu definieren.
+Aus Gründen einer einheitlichen Darstellung aller Zufallsgrößen&nbsp; (sowohl wertdiskret als auch wertkontinuierlich)&nbsp; ist es zweckmäßig,&nbsp; die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auch für diskrete Zufallsgrößen zu definieren.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Wendet man die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|'''Definitionsgleichung''']]&nbsp; der letzten Seite&nbsp; '''auf diskrete Zufallsgrößen'''&nbsp; an, so nimmt die WDF an einigen Stellen&nbsp; $x_\mu$&nbsp; aufgrund des nicht verschwindend kleinen Wahrscheinlichkeitswertes und des Grenzübergangs&nbsp; $Δx → 0$&nbsp;  unendlich große Werte an.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Wendet man die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Definitionsgleichung]]&nbsp; der letzten Seite auf diskrete Zufallsgrößen&nbsp; an,&nbsp; so nimmt die WDF an einigen Stellen&nbsp; $x_\mu$&nbsp; aufgrund des nicht verschwindend kleinen Wahrscheinlichkeitswertes und des Grenzübergangs&nbsp; $Δx → 0$&nbsp;  unendlich große Werte an.
-Somit ergibt sich für die WDF eine Summe von&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]&nbsp;  (bzw. ''Distributionen''):
+Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eine Summe von&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]&nbsp;  (bzw.&nbsp; "Distributionen"'):
-:$$f_{x}(x)=\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot {\rm \delta}( x-x_\mu).$$
+:$$f_{x}(x)=\sum_{\mu=1}^{M}\ p_\mu\cdot {\rm \delta}( x-x_\mu).$$
 Die Gewichte dieser Diracfunktionen sind gleich den Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_\mu = {\rm Pr}(x = x_\mu$). }}
-Hier noch ein Hinweis, um die unterschiedlichen Beschreibungsgrößen für diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen einordnen zu können:
+Hier noch ein Hinweis,&nbsp; um die unterschiedlichen Beschreibungsgrößen für diskrete und kontinuierliche Zufallsgrößen einordnen zu können: &nbsp; &nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stehen in ähnlichem Verhältnis zueinander wie im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]
 :*ein diskreter Spektralanteil einer harmonischen Schwingung  &nbsp; ⇒  &nbsp; Linienspektrum, und
-::Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion stehen in ähnlichem Verhältnis zueinander wie im Buch&nbsp; [[Signaldarstellung]]
+:*ein kontinuierliches Spektrum eines energiebegrenzten&nbsp; (impulsförmigen)&nbsp; Signals.
-[[Datei:P_ID40__Sto_T_3_1_S3_NEU.png|right|frame|Signal und WDF eines Digitalsignals]]
+[[Datei:P_ID40__Sto_T_3_1_S3_NEU.png|right|frame|Signal und WDF eines Ternärsignals]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Dargestellt ist ein Ausschnitt eines Rechtecksignals mit drei möglichen Werten, wobei der Signalwert&nbsp; $0 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; doppelt so häufig wie die äußeren Signalwerte&nbsp; $(\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$&nbsp; auftritt.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Dargestellt ist ein Ausschnitt
 Somit lautet die dazugehörige WDF (Anteile von oben nach unten):
 :$$f_{x}(x) = 0.25 \cdot \delta(x \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}{\rm 1 \hspace{0.05cm} V}) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.5\cdot \delta(x)  \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  0.25\cdot \delta (x \hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} 1\hspace{0.05cm} \rm V).$$}}

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 ==Definition der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion==
 <br>
-Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sind die Wahrscheinlichkeiten, dass&nbsp; $x$&nbsp; ganz bestimmte Werte annimmt, identisch Null. Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''&nbsp; – abgekürzt&nbsp; '''WDF'''&nbsp; – übergegangen werden.
+Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; sind die Wahrscheinlichkeiten,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; ganz bestimmte Werte annimmt,&nbsp; identisch Null.&nbsp; Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die&nbsp; &bdquo;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&rdquo;&nbsp;  übergegangen werden.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Der Wert der&nbsp; '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $x_\mu$&nbsp; ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Momentanwert der Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite&nbsp; $Δx$&nbsp; um&nbsp; $x_\mu$&nbsp; liegt, dividiert durch&nbsp; $Δx$:
+$\text{Definition:}$ &nbsp; Der Wert der&nbsp; &raquo;'''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&laquo;&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $x_\mu$&nbsp; ist gleich der Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der Momentanwert der Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; in einem&nbsp; (unendlich kleinen)&nbsp; Intervall der Breite&nbsp; $Δx$&nbsp; um&nbsp; $x_\mu$&nbsp; liegt,&nbsp; dividiert durch&nbsp; $Δx$:
 :$$f_x(x=x_\mu) = \lim_{\rm \Delta \it x \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}\rm 0}\frac{\rm Pr \{\it x_\mu-\rm \Delta \it x/\rm 2 \le \it x \le x_\mu \rm +\rm \Delta \it x/\rm 2\} }{\rm \Delta \it  x}.$$
-Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist&nbsp; ''Probability Density Function''&nbsp; (PDF). }}
+Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm  (WDF)$&nbsp; ist&nbsp; "Probability Density Function"&nbsp; $\rm  (PDF)$. }}
 Diese äußerst wichtige Beschreibungsgröße weist folgende Eigenschaften auf:
-*Obwohl aus dem Zeitverlauf  im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Eigenschaften_kontinuierlicher_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; zu ersehen ist, dass die häufigsten Signalanteile bei&nbsp; $x = m_1$&nbsp; liegen und die WDF hier ihren größten Wert besitzt, ist bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x = m_1)$, dass der Momentanwert exakt gleich dem Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; ist, identisch Null.
+*Obwohl aus dem Zeitverlauf  im&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Eigenschaften_kontinuierlicher_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|$\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; zu ersehen ist,&nbsp; dass die häufigsten Signalanteile bei&nbsp; $x = m_1$&nbsp; liegen und die WDF hier ihren größten Wert besitzt,&nbsp; ist bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(x = m_1)$,&nbsp; dass der Momentanwert exakt gleich dem Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; ist,&nbsp; identisch Null.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Hinweis zur Nomenklatur:}$&nbsp;
-In der Fachliteratur wird oft zwischen der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und deren Realisierungen&nbsp; $x ∈ X$&nbsp; unterschieden.&nbsp; Somit würde die obige Definitionsgleichung lauten:
+In der Fachliteratur wird oft zwischen der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und deren Realisierungen&nbsp; $x ∈ X$&nbsp; unterschieden.&nbsp;
 :$$f_{X}(X=x) = \lim_{ {\rm \Delta} x \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\frac{ {\rm Pr} \{ x - {\rm \Delta} x/2 \le  X \le x  +{\rm \Delta} x/ 2\} } { {\rm \Delta} x}.$$

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 ==Eigenschaften kontinuierlicher Zufallsgrößen==
 <br>
-Im zweiten Hauptkapitel wurde gezeigt, dass die Amplitudenverteilung einer (wert&ndash;)diskreten Zufallsgröße vollständig durch ihre&nbsp; $M$&nbsp; Auftrittswahrscheinlichkeiten bestimmt ist, wobei die Stufenzahl&nbsp; $M$&nbsp; meist einen endlichen Wert besitzt.
+Im zweiten Hauptkapitel wurde gezeigt, dass die Amplitudenverteilung einer (wert&ndash;)diskreten Zufallsgröße vollständig durch ihre&nbsp; $M$&nbsp; Auftrittswahrscheinlichkeiten bestimmt ist,&nbsp; wobei die Stufenzahl&nbsp; $M$&nbsp; meist einen endlichen Wert besitzt.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Unter einer&nbsp; '''(wert&ndash;)kontinuierlichen Zufallsgrößen'''&nbsp; versteht man eine Zufallsgröße, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind &nbsp; &rArr; &nbsp; $M \to \infty$.}}
+$\text{Definition:}$&nbsp; Unter einer&nbsp; &raquo;'''wertkontinuierlichen Zufallsgröße'''&laquo;&nbsp; versteht man eine Zufallsgröße,&nbsp; deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind &nbsp; &rArr; &nbsp; $M \to \infty$.<br> &nbsp; &nbsp; Im Folgenden verwenden hierfür auch die Kurzform&nbsp; "kontinuierliche Zufallsgröße".}}
 Für das Folgende soll gelten:
-*Wir kennzeichnen wertkontinuierliche Zufallsgrößen (meist) mit&nbsp; $x$&nbsp; im Gegensatz zu den wertdiskreten Zufallsgrößen, die wie bisher mit&nbsp; $z$&nbsp; bezeichnet werden.
+*Wir kennzeichnen wertkontinuierliche Zufallsgrößen&nbsp; (meist)&nbsp; mit&nbsp; $x$&nbsp; im Gegensatz zu den wertdiskreten Zufallsgrößen, die wie bisher mit&nbsp; $z$&nbsp; bezeichnet werden.
-*Über eine eventuelle Zeitdiskretisierung wird hier keine Aussage getroffen, das heißt, wertkontinuierliche Zufallsgrößen können durchaus zeitdiskret sein.
+*Über eine eventuelle Zeitdiskretisierung wird hier keine Aussage getroffen,&nbsp; das heißt,&nbsp; wertkontinuierliche Zufallsgrößen können durchaus zeitdiskret sein.
-*Wir setzen voraus, dass zwischen den einzelnen Abtastwerten&nbsp; $x_ν$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen, oder lassen diese zumindest außer Betracht.
+*Wir setzen voraus,&nbsp; dass zwischen den einzelnen Abtastwerten&nbsp; $x_ν$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen,&nbsp; oder lassen diese zumindest außer Betracht.
 [[Datei: P_ID41__Sto_T_3_1_S1_neu.png  |right|frame| Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals&nbsp; $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aufgefasst werden kann.
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals&nbsp; $x(t)$,&nbsp; dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aufgefasst werden kann.
-*Aus der rechts dargestellten&nbsp; ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''&nbsp; (WDF) erkennt man, dass bei diesem Beispielsignal Momentanwerte um den Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; am häufigsten auftreten.
+*Aus der rechts dargestellten&nbsp; &raquo;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&laquo; &nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; erkennt man, dass bei diesem Beispielsignal Momentanwerte um den Mittelwert&nbsp; $m_1$&nbsp; am häufigsten auftreten.
-*Da zwischen den Abtastwerten&nbsp; $x_ν$&nbsp; keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als&nbsp; ''„Weißes Rauschen”.''}}
 ==Definition der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion==

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 == # ÜBERBLICK ZUM DRITTEN HAUPTKAPITEL # ==
 <br>
-Wir betrachten hier kontinuierliche Zufallsgrößen, also Zufallsgrößen, die zumindest in gewissen Wertebereichen unendlich viele verschiedene Werte annehmen können.&nbsp;
+Wir betrachten hier&nbsp; '''kontinuierliche Zufallsgrößen''',&nbsp; also Zufallsgrößen,&nbsp; die zumindest in gewissen Bereichen unendlich viele verschiedene reelle Werte annehmen können.&nbsp;
 *Deren Anwendungen sind in der Informations&ndash; und Kommunikationstechnik von vielfältiger Art.&nbsp;
 *Sie werden unter Anderem für die Simulation von Rauschsignalen und zur Beschreibung von Fadingeinflüssen herangezogen.
-Wir beschränken uns zunächst auf die statistische Beschreibung der Amplitudenverteilung.&nbsp; Innere statistische Bindungen der zugrundeliegenden Prozesse werden erst in den nachfolgenden Hauptkapiteln 4 und 5 betrachtet.
+Wir beschränken uns zunächst auf die statistische Beschreibung der&nbsp; '''Amplitudenverteilung'''.&nbsp; Im Einzelnen werden behandelt:
-Im Einzelnen werden behandelt:
+*Der Zusammenhang zwischen&nbsp; &raquo;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&laquo; &nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; und&nbsp; &raquo;Verteilungsfunktion&laquo; &nbsp; $\rm (VTF)$;
+*die Berechnung der&nbsp; &raquo;Erwartungswerte und Momente&laquo;;
-*der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Verteilungsfunktion;
+*einige&nbsp; &raquo;Sonderfälle&laquo;&nbsp; wertkontinuierlicher Verteilungen:
-*die Berechnung der Erwartungswerte und Momente;
+#Gleichverteilung,&nbsp;
-*einige Sonderfälle:&nbsp; Gleichverteilung,&nbsp; Gaußverteilung,&nbsp; Exponentialverteilung,&nbsp; Laplaceverteilung,&nbsp; Rayleighverteilung,&nbsp; Riceverteilung,&nbsp; Cauchyverteilung;
+#Gaußverteilung,&nbsp;
-*die Generierung kontinuierlicher Zufallsgrößen an einem Rechner.
+#Exponentialverteilung,&nbsp;
 Weitere Informationen zum Thema&nbsp; &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo;&nbsp; sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

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 ==Numerische Ermittlung der WDF==
 <br>
-Die Grafik zeigt ein Schema zur numerischen Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Für die folgende Beschreibung setzen wir voraus, dass die vorliegende Zufallsgröße $x$ außerhalb des Bereichs von $x_{\rm min} = -4.02$ bis $x_{\rm max} = +4.02$ keine oder nur vernachlässigbar kleine Anteile besitzt.
+Die Grafik zeigt ein Schema zur numerischen Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.&nbsp; Für die folgende Beschreibung setzen wir voraus, dass die vorliegende Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; außerhalb des Bereichs von&nbsp; $x_{\rm min} = -4.02$&nbsp; bis&nbsp; $x_{\rm max} = +4.02$&nbsp; keine oder nur vernachlässigbar kleine Anteile besitzt.
 Dann geht man folgendermaßen vor:
-*Man teilt den Wertebereich von $x$ in $I$ Intervalle gleicher Breite $Δx$ ein und definiert ein Feld $\text{WDF}\big[0 : I–1\big]$. In obiger Skizze ist $I = 201$ und dementsprechend $Δx = 0.04$ gewählt.
+*Man teilt den Wertebereich von&nbsp; $x$&nbsp; in&nbsp; $I$&nbsp; Intervalle gleicher Breite&nbsp; $Δx$&nbsp; ein und definiert ein Feld&nbsp; $\text{WDF}\big[0 : I–1\big]$.&nbsp; Für die Skizze wurde&nbsp; $I = 201$&nbsp;  gewählt &nbsp; &rArr; &nbsp; $Δx = 0.04$.
-*Die Zufallsgröße $x$ wird nun $N$ mal nacheinander aufgerufen und dabei jeweils geprüft, zu welchem Intervall $i_{\rm akt}$ die aktuelle Zufallsgröße $x_{\rm akt}$ gehört: &nbsp; $i_{\rm akt} = ({\rm int})((x + x_{\rm max})/Δx)$.
+*Die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; wird nun&nbsp; $N$&nbsp; mal nacheinander aufgerufen und dabei jeweils geprüft, zu welchem Intervall&nbsp; $i_{\rm akt}$&nbsp; die aktuelle Zufallsgröße&nbsp; $x_{\rm akt}$&nbsp; gehört:
-*Das Feldelement  ${\rm WDF}\big[i_{\rm akt}\big]$ wird dann um $1$ erhöht. Nach $N$ Durchläufen beinhaltet dann $\text{WDF}[i_{\rm akt}]$  die Anzahl der Zufallszahlen, die zum Intervall $i_{\rm akt}$ gehören.
+:$$i_{\rm akt} = ({\rm int})((x + x_{\rm max})/Δx).$$
-*Die tatsächlichen WDF-Werte erhält man, wenn am Ende noch alle Feldelemente $\text{WDF}[i]$ mit $0 ≤ i < I$ durch $N · Δx$ dividiert werden.
+*Das Feldelement&nbsp;  ${\rm WDF}\big[i_{\rm akt}\big]$&nbsp; wird dann um&nbsp; $1$&nbsp; erhöht.&nbsp; Nach&nbsp; $N$&nbsp; Durchläufen beinhaltet&nbsp; $\text{WDF}[i_{\rm akt}]$&nbsp;  die Anzahl der Zufallszahlen, die zum Intervall&nbsp; $i_{\rm akt}$&nbsp; gehören.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus den eingezeichneten grünen Pfeilen in obiger Grafik erkennt man:
-*Der Wert $x_{\rm akt} = 0.07$ führt zum Ergebnis $i_{\rm akt} = \text{(int) }((0.07 + 4.02)/0.04) = \text{(int) }102.25$.
+*Der Wert&nbsp; $x_{\rm akt} = 0.07$&nbsp; führt zum Ergebnis&nbsp; $i_{\rm akt} = \text{(int) }\big((0.07 + 4.02)/0.04\big ) = \text{(int) }102.25$.
-*Hierbei bedeutet $\rm (int)$ eine Integerwandlung nach der Float&ndash;Division  &nbsp; ⇒  &nbsp; $i_{\rm akt} = 102$.
+*Hierbei bedeutet&nbsp; $\rm (int)$&nbsp; eine Integerwandlung nach der Float&ndash;Division  &nbsp; ⇒  &nbsp; $i_{\rm akt} = 102$.
-*Das gleiche Intervall $i_{\rm akt} = 102$ ergibt sich für alle Werte im Bereich $0.06 \le x_{\rm akt} < 0.10$, zum Beispiel also auch für $x_{\rm akt} = 0.09$. }}
+*Das gleiche Intervall&nbsp; $i_{\rm akt} = 102$&nbsp; ergibt sich für alle Werte im Bereich&nbsp; $0.06 \le x_{\rm akt} < 0.10$, zum Beispiel also auch für&nbsp; $x_{\rm akt} = 0.09$. }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
-*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
+*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms,
-*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung - Teil A]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 4: &nbsp; Seite 47-80,
+*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung &ndash; Teil A]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 4: &nbsp; Seite 47-80,
-*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 13: &nbsp; Seite 295-314.
+*der  [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung &ndash; Teil B]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 13: &nbsp; Seite 295-314.