Stochastische Signaltheorie/Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Dezember 2021 um 14:17 Uhr

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Hussain am 19. Dezember 2017 um 20:18 Uhr

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−	Mit dieser Thematik, speziell mit dem Experiment von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson Karl Pearson], beschäftigt sich das Lernvideo	+	Mit dieser Thematik,  speziell mit dem Experiment von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson Karl Pearson], beschäftigt sich das Lernvideo  [[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)\|Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen]].
−	:[[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)\|Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen]].

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

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 == # ÜBERBLICK ZUM ZWEITEN HAUPTKAPITEL # ==
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-Dieses Kapitel soll Sie mit&nbsp; '''diskreten Zufallsgrößen'''&nbsp; vertraut machen, wobei diese als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden. Solche Zufallsgrößen werden in der Nachrichtentechnik zum Beispiel für die Simulation eines binären oder mehrstufigen Digitalsignals benötigt, aber ebenso zur Nachbildung eines Kanals mit statistisch unabhängigen Fehlern durch ein digitales Modell, zum Beispiel dem BSC-Modell.
+Dieses Kapitel soll Sie mit&nbsp; '''diskreten Zufallsgrößen'''&nbsp; vertraut machen,&nbsp; wobei diese als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden.&nbsp; Solche Zufallsgrößen werden in der Nachrichtentechnik zum Beispiel für die Simulation eines binären oder mehrstufigen Digitalsignals benötigt,&nbsp; aber ebenso zur Nachbildung eines Kanals mit statistisch unabhängigen Fehlern durch ein digitales Modell,&nbsp; zum Beispiel dem BSC-Modell.
 Im Einzelnen werden behandelt:
-*der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit,
+*der&nbsp; &raquo;Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit&laquo;,
-*die Erwartungswerte und Momente,
+*die&nbsp; &raquo;Erwartungswerte und Momente&laquo;,
-*die Binomial- und die Poissonverteilung als Sonderfälle diskreter Verteilungen,
+*die&nbsp; &raquo;Binomial- und die Poissonverteilung&laquo;&nbsp; als Sonderfälle diskreter Verteilungen,
-*die Erzeugung pseudozufälliger Binärsymbole mittels PN-Generatoren,&nbsp; und
+*die&nbsp; &raquo;Erzeugung pseudozufälliger Binärsymbole&laquo;&nbsp; mittels&nbsp; &raquo;PN-Generatoren&laquo;,&nbsp; und
-*die Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen an einem Digitalrechner.
+*die&nbsp; &raquo;Erzeugung mehrstufiger Zufallsgrößen&laquo;&nbsp; an einem Digitalrechner.

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-des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
+des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf
-*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
+*dem Lehrsoftwarepaket [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim] &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
-*der zugehörigen [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]  &nbsp;&rArr;&nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 1 und 2: Seite 7-32.
+*der zugehörigen [http://www.lntwww.de/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_A.pdf Praktikumsanleitung]  &nbsp; &rArr; &nbsp; Link verweist auf die PDF-Version; Kapitel 1 und 2: Seite 7-32.
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;
+$\text{Definition:}$&nbsp; Eine '''Zufallsgröße''' $z$ ist eine ein-eindeutige Abbildung der Ergebnismenge $\{E_μ \}$ auf die Menge der reellen Zahlen. Ergänzend zu dieser Definition wird noch zugelassen, dass die Zufallsgröße neben dem Zahlenwert auch eine Einheit besitzt.
 [[Datei: P_ID455__Sto_T_2_1_S1_neu.png|center| |frame| Zur Definition der Zufallsgröße]]}}
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;
+$\text{Definition:}$&nbsp; Nach den möglichen Zahlenwerten $z_μ = z(E_μ)$ unterscheiden wir hier zwischen kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen:
-Nach den möglichen Zahlenwerten $z_μ = z(E_μ)$ unterscheiden wir hier zwischen kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen:
+*Eine '''kontinuierliche Zufallsgröße''' $z$ kann – zumindest in gewissen Bereichen – unendlich viele verschiedene Werte annehmen. Genauer gesagt: &nbsp; Die Menge der zulässigen Werte ist bei solchen Größen auch nicht abzählbar.
-*Eine '''kontinuierliche Zufallsgröße''' $z$ kann – zumindest in gewissen Bereichen – unendlich viele verschiedene Werte annehmen. Genauer gesagt: Die Menge der zulässigen Werte ist bei solchen Größen auch nicht abzählbar. Beispiele für kontinuierliche Zufallsgrößen sind die Geschwindigkeit eines Autos (bei angemessener Fahrweise zwischen $v = 0$ und $v = 120 \ \rm  km/h$) oder auch die Rauschspannung bei einem Nachrichtensystem. Beide Zufallsgrößen haben neben einem Zahlenwert auch eine Einheit.
+*Beispiele für kontinuierliche Zufallsgrößen sind die Geschwindigkeit eines Autos (bei angemessener Fahrweise zwischen $v = 0$ und $v = 120 \ \rm  km/h$) oder auch die Rauschspannung bei einem Nachrichtensystem. Beide Zufallsgrößen haben neben einem Zahlenwert auch eine Einheit.
-*Ist dagegen die Menge  $\{z_μ\}$ abzählbar, so handelt es sich um eine '''diskrete Zufallsgröße'''. Meist ist die Zahl der möglichen Werte von $z$ auf $M$ begrenzt. In der Nachrichtentechnik nennt man $M$ den ''Symbolumfang'' (im Sinne der Codierungs&ndash; und Informationstheorie) bzw. die ''Stufenzahl'' (aus Sicht der Übertragungstechnik). }}
+*Ist dagegen die Menge  $\{z_μ\}$ abzählbar, so handelt es sich um eine '''diskrete Zufallsgröße'''. Meist ist die Zahl der möglichen Werte von $z$ auf $M$ begrenzt. In der Nachrichtentechnik nennt man $M$ den ''Symbolumfang'' (im Sinne der Codierungstheorie) bzw. die ''Stufenzahl'' (aus Sicht der Übertragungstechnik). }}
-Zunächst beschränken wir uns auf diskrete, $M$&ndash;stufige Zufallsgrößen ohne innere statistischen Bindungen, die gemäß dem Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen|Einige grundlegende Definitionen]]  durch die $M$ Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_μ =$ Pr( $z = z_μ$) vollständig charakterisiert sind. Per Definition ist die Summe über alle $M$ Wahrscheinlichkeiten gleich $1$.
+Zunächst beschränken wir uns auf diskrete, $M$&ndash;stufige Zufallsgrößen ohne innere statistischen Bindungen, die gemäß dem Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen|Einige grundlegende Definitionen]]  durch die $M$ Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_μ ={\rm Pr}(z = z_μ)$ vollständig charakterisiert sind. Per Definition ist die Summe über alle $M$ Wahrscheinlichkeiten gleich $1$.
 Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z = z_μ)$ dafür, dass eine kontinuierliche Zufallsgröße $z$ einen ganz bestimmten Wert $z_μ$ annimmt, identisch Null. Hier muss, wie im folgenden Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Kontinuierliche Zufallsgrößen]] beschrieben wird, auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) übergegangen werden.
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 Damit kommt man zur '''Zufallsfolge'''  $\langle z_ν\rangle$ mit den  folgenden für unsere Darstellung festgelegten Eigenschaften:
-*Die Laufvariable $ν$ beschreibt den zeitlichen Prozessablauf und kann Werte zwischen $1$ und $N$ annehmen. Häufig wird eine solche Folge auch als $N$&ndash;dimensionaler Vektor dargestellt.
+*Die Laufvariable $ν$&nbsp; beschreibt den zeitlichen Prozessablauf und kann Werte zwischen $1$ und $N$ annehmen. Häufig wird eine solche Folge auch als $N$&ndash;dimensionaler Vektor dargestellt.
-*Zu jeder Zeit $ν$ kann die Zufallsgröße $z_ν$ einen von $M$ verschiedenen Werten annehmen. Wir verwenden hierfür folgende Nomenklatur:
+*Zu jeder Zeit $ν$&nbsp; kann die Zufallsgröße $z_ν$ einen von $M$ verschiedenen Werten annehmen. Wir verwenden hierfür folgende Nomenklatur:
 :$$z_\nu \in z_\mu \hspace{0.3cm} {\rm mit} \hspace{0.3cm} \nu = 1,\hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, N \hspace{0.3cm} {\rm und} \hspace{0.3cm} \mu = 1,\hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , M.$$
-*Ist der Prozess [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|ergodisch]], so weist jede Zufallsfolge $\langle z_ν\rangle$ gleiche statistische Eigenschaften auf und kann als Repräsentant für den gesamten Prozess herangezogen werden.
+*Ist der Prozess [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|ergodisch]], so weist jede Zufallsfolge $\langle z_ν\rangle$ die gleichen statistischen Eigenschaften auf und kann als Repräsentant für den gesamten Zufallsprozess herangezogen werden.
 *Wir setzen hier voraus, dass zwischen den einzelnen Folgenelementen keine statistischen Bindungen bestehen, das heißt, es gilt für die [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit|bedingten Wahrscheinlichkeiten]]:
 :$${\rm Pr}(z_\nu  | z_{\nu \rm{ -1}} \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}z_{\rm 1})={\rm Pr}(z_\nu).$$
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 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Wiederholt man das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; zehnmal, so ergibt sich zum Beispiel folgende Zufallsfolge:
-$$\langle z_ν\rangle = \langle 8; \ 23; \ 0; \ 17; \ 36; \ 0; \ 33; \ 11; \ 11; \ 25 \rangle.$$
+$$\langle z_ν\rangle = \langle \ 8; \ 23; \ 0; \ 17; \ 36; \ 0; \ 33; \ 11; \ 11; \ 25 \ \rangle.$$
 Zu jedem Zeitpunkt sind trotzdem – unabhängig von der Vergangenheit – alle Zufallsgrößen zwischen $0$ und $36$ möglich und auch gleichwahrscheinlich, was aber aus einer solch kurzen Folge nicht abgelesen werden kann.}}
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 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definitionen:}$&nbsp;
+$\text{Definitionen:}$&nbsp; Zur Beschreibung einer $M$&ndash;stufigen Zufallsgröße verwendet man folgende Beschreibungsgrößen, deren Summe über alle $μ = 1,\hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , M$ jeweils den Wert $1$ ergeben:
 *Die '''Wahrscheinlichkeiten''' $p_μ = {\rm Pr}(z = z_μ)$ liefern Vorhersagen über das zu erwartende Ergebnis eines statistischen Versuchs und sind somit so genannte ''A-priori-Kenngrößen.''
 *Die '''relativen Häufigkeiten''' $h_μ^{(N)}$ sind ''A-posteriori-Kenngrößen'' und erlauben statistische Aussagen bezüglich eines vorher durchgeführten Versuches. Sie werden wie folgt ermittelt:
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-Nur im Grenzfall $N → ∞$ stimmen die relativen Häufigkeiten mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten exakt überein, zumindest im statistischen Sinne. Dagegen gilt nach dem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob I. Bernoulli]  formulierten &bdquo;Gesetz der großen Zahlen&rdquo;  für endliche Werte von $N$:
+Nur im Grenzfall $N → ∞$ stimmen die relativen Häufigkeiten mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten exakt überein, zumindest im statistischen Sinne.
 :$$\rm Pr \left( \it \mid h_\mu^{(N)} - p_\mu\mid  \hspace{0.1cm} \ge  \varepsilon \hspace{0.1cm} \right) \le  \frac{1}{\rm 4\cdot \it N\cdot \varepsilon^{\rm 2}}.$$
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Eine Binärdatei besteht aus $N = 10^6$ Binärsymbolen (Bit), wobei die Nullen und Einsen gleichwahrscheinlich sind: &nbsp; $p_0 = p_1 = 0.5$.
-Eine Binärdatei besteht aus $N = 10^6$ Binärsymbolen (Bit), wobei die Nullen und Einsen gleichwahrscheinlich sind: $p_0 = p_1 = 0.5$. Das Bernoullische Gesetz der großen Zahlen (mit $\varepsilon = 0.01$) besagt nun, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „die Anzahl der Einsen in der Datei liegt zwischen $495 \hspace{0.05cm}000$ und $505\hspace{0.05cm}000$” größer oder gleich $1 – 1/400 = 99.75\%$ ist. }}
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 Mit dieser Thematik, speziell mit dem Experiment von [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_Pearson Karl Pearson],  beschäftigt sich das Lernvideo
-[[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen]]
+[[Bernoullisches_Gesetz_der_großen_Zahlen_(Lernvideo)|Bernoullisches Gesetz der großen Zahlen]].
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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−	Zunächst beschränken wir uns auf diskrete, $M$–stufige Zufallsgrößen ohne innere statistischen Bindungen, die gemäß dem Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen\|Einige grundlegende ~~Definitionen1~~]] durch die $M$ Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_μ =$ Pr( $z = z_μ$) vollständig charakterisiert sind. Per Definition ist die Summe über alle $M$ Wahrscheinlichkeiten gleich $1$.	+	Zunächst beschränken wir uns auf diskrete, $M$–stufige Zufallsgrößen ohne innere statistischen Bindungen, die gemäß dem Abschnitt [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen\|Einige grundlegende Definitionen]] durch die $M$ Auftrittswahrscheinlichkeiten $p_μ =$ Pr( $z = z_μ$) vollständig charakterisiert sind. Per Definition ist die Summe über alle $M$ Wahrscheinlichkeiten gleich $1$.

	Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z = z_μ)$ dafür, dass eine kontinuierliche Zufallsgröße $z$ einen ganz bestimmten Wert $z_μ$ annimmt, identisch Null. Hier muss, wie im folgenden Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)\|Kontinuierliche Zufallsgrößen]] beschrieben wird, auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) übergegangen werden.		Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(z = z_μ)$ dafür, dass eine kontinuierliche Zufallsgröße $z$ einen ganz bestimmten Wert $z_μ$ annimmt, identisch Null. Hier muss, wie im folgenden Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)\|Kontinuierliche Zufallsgrößen]] beschrieben wird, auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) übergegangen werden.

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 Eine '''Zufallsgröße''' $z$ ist eine ein-eindeutige Abbildung der Ergebnismenge $\{E_μ \}$ auf die Menge der reellen Zahlen. Ergänzend zu dieser Definition wird noch zugelassen, dass die Zufallsgröße neben dem Zahlenwert auch eine Einheit besitzt.
-[[Datei: P_ID455__Sto_T_2_1_S1_neu.png | Zur Definition der Zufallsgröße]]
+[[Datei: P_ID455__Sto_T_2_1_S1_neu.png |frame| Zur Definition der Zufallsgröße]]
 {{end}}

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 Dieses Kapitel soll Sie mit diskreten Zufallsgrößen vertraut machen, wobei diese als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden. Solche Zufallsgrößen werden in der Nachrichtentechnik zum Beispiel für die Simulation eines binären oder mehrstufigen Digitalsignals benötigt, aber ebenso zur Nachbildung eines Kanals mit statistisch unabhängigen Fehlern durch ein digitales Modell, zum Beispiel dem BSC-Modell.