Stochastische Signaltheorie/Verteilungsfunktion - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Januar 2022 um 10:42 Uhr

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Guenter am 4. Januar 2022 um 10:31 Uhr

2022-01-04T10:31:02Z

Guenter am 3. Januar 2022 um 14:53 Uhr

2022-01-03T14:53:07Z

Guenter am 14. November 2019 um 15:32 Uhr

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Guenter am 14. November 2019 um 15:12 Uhr

2019-11-14T15:12:34Z

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Guenter am 5. April 2018 um 15:59 Uhr

2018-04-05T15:59:19Z

Guenter am 5. April 2018 um 15:57 Uhr

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Wael am 28. Dezember 2017 um 18:45 Uhr

2017-12-28T18:45:20Z

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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wird der Grauwert des&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|ursprünglichen Lena–Fotos]]&nbsp;  mit acht Stufen quantisiert, so dass jedes einzelne Pixel durch drei Bit dargestellt und digital übertragen werden kann, so ergibt sich die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $q$.&nbsp; Durch die Quantisierung geht allerdings ein Teil der Bildinformation verloren, was sich im quantisierten Bild durch deutlich erkennbare „Konturen” auswirkt.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wird der Grauwert des&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|ursprünglichen Lena–Fotos]]&nbsp;  mit acht Stufen quantisiert,&nbsp; so dass jedes einzelne Pixel durch drei Bit dargestellt und digital übertragen werden kann,&nbsp; so ergibt sich die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $q$.&nbsp; Durch die Quantisierung geht allerdings ein Teil der Bildinformation verloren,&nbsp; was sich im quantisierten Bild durch deutlich erkennbare „Konturen” auswirkt.
-[[Datei:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png |center|frame| WDF und VTF eines wertdiskreten Bildes]]
+[[Datei:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png |right|frame| WDF und VTF eines wertdiskreten Bildes]]
-*Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{q}(q)$&nbsp; setzt sich aus&nbsp; $M = 8$&nbsp;  Diracfunktionen zusammen, wobei bei der hier gewählten Quantisierung den möglichen Graustufen die Werte&nbsp; $q_\mu = (\mu – 1)/7$&nbsp; mit&nbsp; $\mu = 1, 2,$ ... , $8$&nbsp; zugeordnet sind.
+*Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{q}(q)$&nbsp; setzt sich aus&nbsp; $M = 8$&nbsp;  Diracfunktionen zusammen,&nbsp; wobei bei der hier gewählten Quantisierung den möglichen Graustufen die Werte&nbsp; $q_\mu = (\mu – 1)/7$&nbsp; mit&nbsp; $\mu = 1, 2,$ ... , $8$&nbsp; zugeordnet sind.
 *Die Gewichte der Diracfunktionen kann man aus der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; des Originalbildes berechnen.&nbsp; Man erhält
-:$$p_\mu={\rm Pr}(q  = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) \rm = \int_{(2\it \mu- \rm 3)/14}^{(2\mu-1)/14}\it f_{x}{\rm (}x{\rm )}\,{\rm d}x.$$
+:$$p_\mu={\rm Pr}(q = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) $$
 *Für die undefinierten Randbereiche&nbsp; $(x<0$&nbsp;  bzw.&nbsp; $x>1)$&nbsp; ist hier jeweils&nbsp; $f_{x}(x) = 0$&nbsp; zu setzen.
-*Da im Originalbild die Graustufen&nbsp; $x ≈0$&nbsp; („sehr tiefes Schwarz”) &nbsp;bzw.&nbsp; $x ≈1$&nbsp; („nahezu reines Weiß”)&nbsp; weitgehend fehlen, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$, und in der WDF sind tatsächlich nur sechs Diracfunktionen sichtbar. Diese beiden fehlenden Diracfunktionen bei&nbsp; $q = 0$&nbsp; und&nbsp; $q =1$&nbsp; sind in der mittleren Grafik nur durch Punkte angedeutet.
+*Da im Originalbild die Graustufen&nbsp; $x ≈0$&nbsp; („sehr tiefes Schwarz”) &nbsp;bzw.&nbsp; $x ≈1$&nbsp; („nahezu reines Weiß”)&nbsp; weitgehend fehlen, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$.&nbsp; In der WDF&ndash;Grafik sind also nur sechs Diracfunktionen sichtbar.&nbsp; Die fehlenden Diracs bei&nbsp; $q = 0$&nbsp; und&nbsp; $q =1$&nbsp; sind nur durch Punkte angedeutet.
+*Die rechts skizzierte Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{q}(r)$&nbsp; weist somit sechs Unstetigkeitsstellen auf,&nbsp; bei denen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.}}

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-''Anmerkung:'' &nbsp; Genau genommen ist bei einem am Computer darstellbaren Bild – im Gegensatz zu einem „analogen” Foto – der Grauwert stets eine wertdiskrete Zufallsgröße.&nbsp; Bei großer Auflösung der Farbinformation („Farbtiefe”) kann man diese Zufallsgröße allerdings näherungsweise als wertkontinuierlich betrachten. }}
+Anmerkung: &nbsp; Genau genommen ist bei einem am Computer darstellbaren Bild – im Gegensatz zu einem „analogen” Foto – der Grauwert stets eine wertdiskrete Zufallsgröße.&nbsp; Bei großer Auflösung der Farbinformation („Farbtiefe”) kann man diese Zufallsgröße allerdings näherungsweise als wertkontinuierlich betrachten. }}
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 ==Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen==
 <br>
-Für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer wertdiskreten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aus deren WDF muss stets von einer allgemeineren Gleichung ausgegangen werden.&nbsp; Hier gilt mit mit der Hilfsvariablen $\varepsilon > 0$:
+Für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer wertdiskreten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aus deren WDF muss stets von einer allgemeineren Gleichung ausgegangen werden.&nbsp; Hier gilt mit mit der Hilfsvariablen&nbsp; $\varepsilon > 0$:
 :$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
-*Die Berechnung der Verteilungsfunktion durch Grenzwertbildung ist aufgrund des „≤”&ndash;Zeichens in der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|allgemeinen Definition]]&nbsp;  erforderlich.
+*Die Berechnung der Verteilungsfunktion durch Grenzwertbildung ist aufgrund des „Kleiner/Gleich”&ndash;Zeichens in der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|allgemeinen Definition]]&nbsp;  erforderlich.
-*Berücksichtigt man zudem, dass bei einer diskreten Zufallsgröße die WDF aus einer Summe gewichteter&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]&nbsp;  besteht, so erhält man:
+*Berücksichtigt man zudem,&nbsp; dass bei einer diskreten Zufallsgröße die WDF aus einer Summe gewichteter&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]&nbsp;  besteht,&nbsp; so erhält man:
 :$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}\sum\limits_{\mu= 1}^{ M}p_\mu\cdot \delta(x-x_\mu)\,{\rm d}x.$$
-*Vertauscht man in dieser Gleichung Integration und Summation, und berücksichtigt, dass die Integration über die Diracfunktion die Sprungfunktion ergibt, so erhält man:
+*Vertauscht man in der Gleichung Integration und Summation,&nbsp; und berücksichtigt,&nbsp; dass die Integration über die Diracfunktion die Sprungfunktion ergibt,&nbsp; so erhält man:
 :$$F_{x}(r)=\sum\limits_{\mu= \rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot \gamma_0 (r-x_\mu),\hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm}\gamma_0(x)=\lim_{\epsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{x+\varepsilon}\delta (u)\,{\rm d} u = \left\{ \begin{array}{*{2}{c}}  0 \hspace{0.4cm}  {\rm falls}\hspace{0.1cm} x< 0,\\ 1  \hspace{0.4cm} {\rm falls}\hspace{0.1cm}x\ge 0. \\ \end{array} \right.$$
 Hierzu ist anzumerken:
-* $γ_0(x)$&nbsp; unterscheidet sich von der in der Systemtheorie üblichen&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Sprungfunktion]]&nbsp; $γ(x)$ dadurch, dass an der Sprungstelle&nbsp; $x = 0$&nbsp; der rechtsseitige Grenzwert &bdquo;Eins&rdquo; gültig ist&nbsp; (anstelle des Mittelwertes &bdquo;$1/2$&rdquo; zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert).
+* Die Funktion&nbsp; $γ_0(x)$&nbsp; unterscheidet sich von der in der Systemtheorie üblichen&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Sprungfunktion]]&nbsp; $γ(x)$ dadurch,&nbsp; dass an der Sprungstelle&nbsp; $x = 0$&nbsp; der rechtsseitige Grenzwert &bdquo;Eins&rdquo; gültig ist&nbsp; $($anstelle des Mittelwertes &bdquo;$0.5$&rdquo; zwischen links&ndash; und rechtsseitigem Grenzwert$)$.
-*Mit obiger VTF-Definition gilt dann für die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen gleichermaßen, und natürlich auch für&nbsp; ''gemischte Zufallsgrößen''&nbsp; mit diskreten und kontinuierlichen Anteilen:
+*Mit obiger VTF-Definition gilt dann für die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen gleichermaßen,&nbsp; und natürlich auch für&nbsp; gemischte Zufallsgrößen&nbsp; mit diskreten und kontinuierlichen Anteilen:
 :$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o})=F_x(x_{\rm o})-F_x(x_{\rm u}).$$
 *Bei rein kontinuierlichen Zufallsgrößen könnten hier das „Kleiner”–Zeichen und das „Kleiner/Gleich”–Zeichen gegenseitig ersetzt werden.

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 ==Zusammenhang zwischen WDF und VTF==
 <br>
-Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF) auch die&nbsp; Verteilungsfunktion&nbsp; (VTF)&nbsp; verwendet, die wie folgt definiert ist:
+Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; auch die&nbsp; Verteilungsfunktion&nbsp; $\rm (VTF)$&nbsp; mit folgender Definition verwendet:
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Verteilungsfunktion'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert&nbsp; $r$&nbsp; ist:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Verteilungsfunktion'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; entspricht der Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert&nbsp; $r$&nbsp; ist:
 :$$F_{x}(r)  = {\rm Pr}( x \le r).$$
-Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist&nbsp; ''Cumulative Distribution Function''&nbsp; (CDF). }}
+Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist&nbsp; "Cumulative Distribution Function"&nbsp; $\rm (CDF)$. }}
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 *Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; durch Integration berechenbar.&nbsp; Es gilt:
 :$$F_{x}(r) = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
-*Da die WDF nie negativ ist, steigt&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten:
+*Da die WDF nie negativ ist,&nbsp; steigt&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; zumindest schwach monoton an,&nbsp; und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten:
 :$$F_{x}(r → \hspace{0.05cm} – \hspace{0.05cm} ∞) = 0,  \hspace{0.5cm}F_{x}(r → +∞) = 1.$$
 *Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:
 :$$f_{x}(x)=\frac{{\rm d} F_{x}(r)}{{\rm d} r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$
-:Der Zusatz&nbsp; &bdquo;$r = x$&rdquo;&nbsp; macht deutlich, dass bei unserer Nomenklatur das Argument der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Zufallsgröße selbst ist, während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable&nbsp; $r$&nbsp; angibt.
+:Der Zusatz&nbsp; &bdquo;$r = x$&rdquo;&nbsp; macht deutlich,&nbsp; dass bei unserer Nomenklatur das Argument der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Zufallsgröße selbst ist,&nbsp; während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable&nbsp; $r$&nbsp; angibt.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$&nbsp;
-Hätten wir bei den Definitionen von&nbsp; $\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$&nbsp; zwischen der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und den Realisierungen&nbsp; $x ∈ X$&nbsp; unterschieden  &nbsp; ⇒  &nbsp; $f_{X}(x), F_{X}(x)$, so ergäbe sich folgende Nomenklatur:
+Hätten wir bei den Definitionen von&nbsp; $\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$&nbsp;
 :$$F_{X}(x) = {\rm Pr}(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
-Leider haben wir uns zu Beginn unseres&nbsp; $\rm LNTwww$–Projektes (2001) aus durchaus berechtigten Gründen für unsere Nomenklatur entschieden, was nun (2017) nicht mehr zu ändern ist, auch im Hinblick auf die realisierten Lernvideos.
+Leider haben wir uns zu Beginn unseres&nbsp; $\rm LNTwww$–Projektes (2001) aus durchaus berechtigten Gründen für unsere Nomenklatur entschieden,&nbsp; was nun (2017) nicht mehr zu ändern ist,&nbsp; auch im Hinblick auf die realisierten Lernvideos.
-Wir bleiben also bei&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; sowie&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $F_{X}(x).$}}
+'''Wir bleiben also bei&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; sowie&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $F_{X}(x).$'''}}
 ==Verteilungsfunktion bei kontinuierlichen Zufallsgrößen==
 <br>
-Die im letzten Abschnitt angegebenen Gleichungen gelten nur für wertkontinuierliche Zufallsgrößen und sollen hier durch ein Beispiel verdeutlicht werden.&nbsp; Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass für&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|diskrete Zufallsgrößen]]&nbsp; die Gleichungen etwas modifiziert werden müssen.
+Die im letzten Abschnitt angegebenen Gleichungen gelten nur für wertkontinuierliche Zufallsgrößen und sollen hier durch ein Beispiel verdeutlicht werden.&nbsp; Im nächsten Abschnitt wird gezeigt,&nbsp; dass für&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|diskrete Zufallsgrößen]]&nbsp; die Gleichungen etwas modifiziert werden müssen.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Bild zeigt das Foto &bdquo;Lena&rdquo;,&nbsp; das häufig als Testvorlage für Bildcodierverfahren dient.
-*Wird dieses Bild in&nbsp; $256 × 256$&nbsp; Bildpunkte&nbsp; (Pixel) unterteilt, und ermittelt man für jedes einzelne Pixel die Helligkeit, so erhält man eine Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; von Grauwerten, deren Länge&nbsp; $N = 256^2 = 65536$&nbsp; beträgt.
+[[Datei:P_ID617__Sto_T_3_2_S1b_neu.png |right|frame| WDF und VTF eines wertkontinuierlichen Bildes]]
-*Der Grauwert&nbsp; $x$&nbsp; ist eine wertkontinuierliche Zufallsgröße, wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich ist.&nbsp; Zum Beispiel sei „Schwarz” durch den Wert&nbsp; $x = 0$&nbsp;  und „Weiß” durch&nbsp; $x = 1$&nbsp; charakterisiert.
+*Wird dieses Bild in&nbsp; $256 × 256$&nbsp; Bildpunkte&nbsp; (Pixel) unterteilt,&nbsp; und ermittelt man für jedes einzelne Pixel die Helligkeit,&nbsp; so erhält man eine Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; von Grauwerten.&nbsp; Deren Länge ist&nbsp; $N = 256^2 = 65536$.
-*Der Zahlenwert&nbsp; $x =0.5$&nbsp; kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.
+*Der Grauwert&nbsp; $x$&nbsp; ist eine wertkontinuierliche Zufallsgröße,&nbsp; wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich ist.&nbsp; Zum Beispiel sei „Schwarz” durch den Wert&nbsp; $x = 0$&nbsp;  und „Weiß” durch&nbsp; $x = 1$&nbsp; charakterisiert.&nbsp; Der Zahlenwert&nbsp; $x =0.5$&nbsp; kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.
 Im mittleren Bild ist die WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; dargestellt, die in der Literatur auch oft als&nbsp; &bdquo;Grauwertstatistik&rdquo;&nbsp; bezeichnet wird.

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 ==Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen==
 <br>
-Für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer wertdiskreten Zufallsgröße $x$ aus deren WDF muss stets von einer allgemeineren Gleichung ausgegangen werden. Hier gilt mit mit der Hilfsvariablen $\varepsilon > 0$:
+Für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer wertdiskreten Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; aus deren WDF muss stets von einer allgemeineren Gleichung ausgegangen werden.&nbsp; Hier gilt mit mit der Hilfsvariablen $\varepsilon > 0$:
 :$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm}0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
-*Die Berechnung der Verteilungsfunktion durch Grenzwertbildung ist aufgrund des „≤”&ndash;Zeichens in der [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|allgemeinen Definition]]  erforderlich.
+*Die Berechnung der Verteilungsfunktion durch Grenzwertbildung ist aufgrund des „≤”&ndash;Zeichens in der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|allgemeinen Definition]]&nbsp;  erforderlich.
-*Berücksichtigt man zudem, dass bei einer diskreten Zufallsgröße die WDF aus einer Summe gewichteter [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]  besteht, so erhält man:
+*Berücksichtigt man zudem, dass bei einer diskreten Zufallsgröße die WDF aus einer Summe gewichteter&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals#Diracfunktion_im_Frequenzbereich|Diracfunktionen]]&nbsp;  besteht, so erhält man:
 :$$F_{x}(r)=\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{r+\varepsilon}\sum\limits_{\mu= 1}^{ M}p_\mu\cdot \delta(x-x_\mu)\,{\rm d}x.$$
-*Vertauscht man in dieser Gleichung Integration und Summation, und berücksichtigt man weiterhin, dass die Integration über die Diracfunktion die Sprungfunktion ergibt, so erhält man:
+*Vertauscht man in dieser Gleichung Integration und Summation, und berücksichtigt, dass die Integration über die Diracfunktion die Sprungfunktion ergibt, so erhält man:
 :$$F_{x}(r)=\sum\limits_{\mu= \rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot \gamma_0 (r-x_\mu),\hspace{0.4cm}{\rm mit} \hspace{0.4cm}\gamma_0(x)=\lim_{\epsilon\hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0}\int_{-\infty}^{x+\varepsilon}\delta (u)\,{\rm d} u = \left\{ \begin{array}{*{2}{c}}  0 \hspace{0.4cm}  {\rm falls}\hspace{0.1cm} x< 0,\\ 1  \hspace{0.4cm} {\rm falls}\hspace{0.1cm}x\ge 0. \\ \end{array} \right.$$
 Hierzu ist anzumerken:
-* $γ_0(x)$ unterscheidet sich von der in der Systemtheorie üblichen [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Sprungfunktion]] $γ(x)$ dadurch, dass an der Sprungstelle $x = 0$ der rechtsseitige Grenzwert &bdquo;Eins&rdquo; gültig ist (anstelle des Mittelwertes &bdquo;1/2&rdquo; zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert).
+* $γ_0(x)$&nbsp; unterscheidet sich von der in der Systemtheorie üblichen&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Sprungfunktion]]&nbsp; $γ(x)$ dadurch, dass an der Sprungstelle&nbsp; $x = 0$&nbsp; der rechtsseitige Grenzwert &bdquo;Eins&rdquo; gültig ist&nbsp; (anstelle des Mittelwertes &bdquo;$1/2$&rdquo; zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert).
-*Mit obiger VTF-Definition gilt dann für die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen gleichermaßen, und natürlich auch für ''gemischte Zufallsgrößen'' mit diskreten und kontinuierlichen Anteilen:
+*Mit obiger VTF-Definition gilt dann für die Wahrscheinlichkeit von kontinuierlichen und diskreten Zufallsgrößen gleichermaßen, und natürlich auch für&nbsp; ''gemischte Zufallsgrößen''&nbsp; mit diskreten und kontinuierlichen Anteilen:
 :$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o})=F_x(x_{\rm o})-F_x(x_{\rm u}).$$
 *Bei rein kontinuierlichen Zufallsgrößen könnten hier das „Kleiner”–Zeichen und das „Kleiner/Gleich”–Zeichen gegenseitig ersetzt werden.
 :$${\rm Pr}(x_{\rm u}<x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x \le x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}\le x < x_{\rm o}) ={\rm Pr}(x_{\rm u}<x < x_{\rm o}).$$
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wird nun der Grauwert des [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|ursprünglichen Lena–Fotos]]  mit acht Stufen quantisiert, so dass jedes einzelne Pixel durch drei Bit dargestellt und digital übertragen werden kann, so ergibt sich die diskrete Zufallsgröße $q$. Durch die Quantisierung geht allerdings ein Teil der Bildinformation verloren, was sich im quantisierten Bild durch deutlich erkennbare „Konturen” auswirkt.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wird der Grauwert des&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|ursprünglichen Lena–Fotos]]&nbsp;  mit acht Stufen quantisiert, so dass jedes einzelne Pixel durch drei Bit dargestellt und digital übertragen werden kann, so ergibt sich die diskrete Zufallsgröße&nbsp; $q$.&nbsp; Durch die Quantisierung geht allerdings ein Teil der Bildinformation verloren, was sich im quantisierten Bild durch deutlich erkennbare „Konturen” auswirkt.
 [[Datei:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png |center|frame| WDF und VTF eines wertdiskreten Bildes]]
-*Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{q}(q)$ setzt sich aus $M = 8$  Diracfunktionen zusammen, wobei bei der hier gewählten Quantisierung den möglichen Graustufen die Werte $q_\mu = (\mu – 1)/7$ mit $\mu = 1, 2,$ ... , $8$ zugeordnet sind.
+*Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{q}(q)$&nbsp; setzt sich aus&nbsp; $M = 8$&nbsp;  Diracfunktionen zusammen, wobei bei der hier gewählten Quantisierung den möglichen Graustufen die Werte&nbsp; $q_\mu = (\mu – 1)/7$&nbsp; mit&nbsp; $\mu = 1, 2,$ ... , $8$&nbsp; zugeordnet sind.
-*Die Gewichte der Diracfunktionen kann man aus der WDF $f_{x}(x)$ des Originalbildes berechnen. Man erhält
+*Die Gewichte der Diracfunktionen kann man aus der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; des Originalbildes berechnen.&nbsp; Man erhält
-:$$p_\mu={\rm Pr}(q  = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) \rm = \int_{(2\it \mu- \rm 3)/14}^{(2\mu-1)/14}\it f_{\rm x}(x)\,{\rm d}x.$$
+:$$p_\mu={\rm Pr}(q  = q_\mu ) = {\rm Pr}(\frac{2\mu-\rm 3}{14}< {x} \le\frac{2\it \mu- \rm 1}{14}) \rm = \int_{(2\it \mu- \rm 3)/14}^{(2\mu-1)/14}\it f_{x}{\rm (}x{\rm )}\,{\rm d}x.$$
-*Für die undefinierten Randbereiche ($x<0$  bzw.$x>10$) ist hier jeweils $f_{\rm x}(x) = 0$ zu setzen.
+*Für die undefinierten Randbereiche&nbsp; $(x<0$&nbsp;  bzw.&nbsp; $x>1)$&nbsp; ist hier jeweils&nbsp; $f_{x}(x) = 0$&nbsp; zu setzen.
-*Da im Originalbild die Graustufen $x ≈0$ („sehr tiefes Schwarz”) &nbsp;bzw.&nbsp; $x ≈1$ („nahezu reines Weiß”) weitgehend fehlen, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$, und in der WDF sind tatsächlich nur sechs Diracfunktionen sichtbar.
+*Da im Originalbild die Graustufen&nbsp; $x ≈0$&nbsp; („sehr tiefes Schwarz”) &nbsp;bzw.&nbsp; $x ≈1$&nbsp; („nahezu reines Weiß”)&nbsp; weitgehend fehlen, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_1 ≈ p_8 ≈ 0$, und in der WDF sind tatsächlich nur sechs Diracfunktionen sichtbar. Diese beiden fehlenden Diracfunktionen bei&nbsp; $q = 0$&nbsp; und&nbsp; $q =1$&nbsp; sind in der mittleren Grafik nur durch Punkte angedeutet.
-Die rechts skizzierte Verteilungsfunktion $F_{q}(r)$ weist entsprechend dem oben Gesagten sechs Unstetigkeitsstellen auf, bei denen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.}}
+*Die rechts skizzierte Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{q}(r)$&nbsp; weist somit sechs Unstetigkeitsstellen auf, bei denen jeweils der rechtsseitige Grenzwert gültig ist.}}
-Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]] zusammengefasst.
+Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]&nbsp; zusammengefasst.

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 ==Zusammenhang zwischen WDF und VTF==
 <br>
-Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF) auch häufig die Verteilungsfunktion (VTF) herangezogen, die wie folgt definiert ist:
+Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF) auch die&nbsp; Verteilungsfunktion&nbsp; (VTF)&nbsp; verwendet, die wie folgt definiert ist:
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Verteilungsfunktion''' $F_{x}(r)$ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert $r$ ist:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Verteilungsfunktion'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert&nbsp; $r$&nbsp; ist:
 :$$F_{x}(r)  = {\rm Pr}( x \le r).$$
-Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist ''Cumulative Distribution Function'' (CDF). }}
+Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist&nbsp; ''Cumulative Distribution Function''&nbsp; (CDF). }}
 Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße sind bezüglich der Verteilungsfunktion folgende Aussagen möglich:
-*Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ durch Integration berechenbar. Es gilt:
+*Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; durch Integration berechenbar.&nbsp; Es gilt:
 :$$F_{x}(r) = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$
-*Da die WDF nie negativ ist, steigt $F_{x}(r)$ zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten
+*Da die WDF nie negativ ist, steigt&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten:
 :$$F_{x}(r → \hspace{0.05cm} – \hspace{0.05cm} ∞) = 0,  \hspace{0.5cm}F_{x}(r → +∞) = 1.$$
 *Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:
 :$$f_{x}(x)=\frac{{\rm d} F_{x}(r)}{{\rm d} r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$
-:Der Zusatz $„r = x”$ macht deutlich, dass bei unserer Nomenklatur das Argument der WDF die Zufallsgröße selbst ist, während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable $r$ angibt.
+:Der Zusatz&nbsp; &bdquo;$r = x$&rdquo;&nbsp; macht deutlich, dass bei unserer Nomenklatur das Argument der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Zufallsgröße selbst ist, während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable&nbsp; $r$&nbsp; angibt.
+{{BlaueBox|TEXT=
-''Hinweise zur Nomenklatur:''
+$\text{Hinweise zur Nomenklatur:}$&nbsp;
-Hätten wir bei den Definitionen von WDF und VTF zwischen der Zufallsgröße $X$ und den Realisierungen $x ∈ X$ unterschieden  &nbsp; ⇒  &nbsp; $f_{X}(x), F_{X}(x),$ so ergäbe sich folgende Nomenklatur:
+Hätten wir bei den Definitionen von&nbsp; $\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$&nbsp; zwischen der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und den Realisierungen&nbsp; $x ∈ X$&nbsp; unterschieden  &nbsp; ⇒  &nbsp; $f_{X}(x), F_{X}(x)$, so ergäbe sich folgende Nomenklatur:
 :$$F_{X}(x) = {\rm Pr}(X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
-Leider haben wir uns zu Beginn unseres $\rm LNTwww$–Projektes (2001) aus durchaus berechtigten Gründen für unsere Nomenklatur entschieden, was nun (2017) nicht mehr zu ändern ist, auch im Hinblick auf die realisierten Lernvideos.
+Leider haben wir uns zu Beginn unseres&nbsp; $\rm LNTwww$–Projektes (2001) aus durchaus berechtigten Gründen für unsere Nomenklatur entschieden, was nun (2017) nicht mehr zu ändern ist, auch im Hinblick auf die realisierten Lernvideos.
-Wir bleiben also bei $f_{x}(x)$ anstelle von $f_{X}(x)$ sowie $F_{x}(r)$ anstelle von $F_{X}(x).$
+Wir bleiben also bei&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; sowie&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; anstelle von&nbsp; $F_{X}(x).$}}
 ==Verteilungsfunktion bei kontinuierlichen Zufallsgrößen==
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-Die im letzten Abschnitt angegebenen Gleichungen gelten nur für wertkontinuierliche Zufallsgrößen und sollen hier durch ein Beispiel verdeutlicht werden. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass für [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|diskrete Zufallsgrößen]] die Gleichungen etwas modifiziert werden müssen.
+Die im letzten Abschnitt angegebenen Gleichungen gelten nur für wertkontinuierliche Zufallsgrößen und sollen hier durch ein Beispiel verdeutlicht werden.&nbsp; Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass für&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_diskreten_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|diskrete Zufallsgrößen]]&nbsp; die Gleichungen etwas modifiziert werden müssen.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Bild zeigt das Foto ''Lena,'' das häufig als Testvorlage für Bildcodierverfahren dient.
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Das linke Bild zeigt das Foto &bdquo;Lena&rdquo;,&nbsp; das häufig als Testvorlage für Bildcodierverfahren dient.
-*Wird dieses Bild in $256 × 256$ Bildpunkte (Pixel) unterteilt, und ermittelt man für jedes einzelne Pixel die Helligkeit, so erhält man eine Folge $〈x_ν〉$ von Grauwerten, deren Länge $N = 256^2 = 65536$ beträgt.
+*Wird dieses Bild in&nbsp; $256 × 256$&nbsp; Bildpunkte&nbsp; (Pixel) unterteilt, und ermittelt man für jedes einzelne Pixel die Helligkeit, so erhält man eine Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; von Grauwerten, deren Länge&nbsp; $N = 256^2 = 65536$&nbsp; beträgt.
-*Der Grauwert $x$ ist eine wertkontinuierliche Zufallsgröße, wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich ist. Zum Beispiel sei „Schwarz” durch den Wert $x = 0$  und „Weiß” durch $x = 1$ charakterisiert.
+*Der Grauwert&nbsp; $x$&nbsp; ist eine wertkontinuierliche Zufallsgröße, wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich ist.&nbsp; Zum Beispiel sei „Schwarz” durch den Wert&nbsp; $x = 0$&nbsp;  und „Weiß” durch&nbsp; $x = 1$&nbsp; charakterisiert.
-*Der Zahlenwert $x =0.5$ kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.
+*Der Zahlenwert&nbsp; $x =0.5$&nbsp; kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.
 [[Datei:P_ID617__Sto_T_3_2_S1b_neu.png |center|frame| WDF und VTF eines wertkontinuierlichen Bildes]]
-Im mittleren Bild ist die WDF $f_{x}(x)$ dargestellt, die in der Literatur auch oft als ''Grauwertstatistik'' bezeichnet wird.
+Im mittleren Bild ist die WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; dargestellt, die in der Literatur auch oft als&nbsp; &bdquo;Grauwertstatistik&rdquo;&nbsp; bezeichnet wird.
-*Es ist ersichtlich, dass im Originalbild einige Grauwerte bevorzugt sind und die beiden Extremwerte $x =0$ („tiefes Schwarz”) bzw. $x =1$  („reines Weiß”) nur sehr selten auftreten.
+*Es ist ersichtlich, dass im Originalbild einige Grauwerte bevorzugt sind und die beiden Extremwerte&nbsp; $x =0$&nbsp; („tiefes Schwarz”)&nbsp; bzw.&nbsp; $x =1$&nbsp;  („reines Weiß”)&nbsp; nur sehr selten auftreten.
-*Die Verteilungsfunktion $F_{\rm x}(r)$ dieser kontinuierlichen Zufallsgröße ist stetig und steigt, wie das rechte Bild zeigt, von $0$ auf $1$ monoton und stetig an. Bei $r \approx 0$ und $r \approx 1$ verläuft die VTF aufgrund fehlender WDF&ndash;Anteile horizontal.
+*Die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; dieser kontinuierlichen Zufallsgröße ist stetig und steigt, wie das rechte Bild zeigt, von&nbsp; $0$&nbsp; auf&nbsp; $1$&nbsp; monoton an. Bei&nbsp; $r \approx 0$&nbsp; und&nbsp; $r \approx 1$&nbsp; verläuft die VTF aufgrund fehlender WDF&ndash;Anteile horizontal.
-''Anmerkung:'' &nbsp; Genau genommen ist bei einem am Computer darstellbaren Bild – im Gegensatz zu einem „echten” Foto – der Grauwert stets eine wertdiskrete Zufallsgröße. Bei großer Auflösung der Farbinformation („Farbtiefe”) kann man diese Zufallsgröße allerdings näherungsweise als wertkontinuierlich betrachten. }}
+''Anmerkung:'' &nbsp; Genau genommen ist bei einem am Computer darstellbaren Bild – im Gegensatz zu einem „analogen” Foto – der Grauwert stets eine wertdiskrete Zufallsgröße.&nbsp; Bei großer Auflösung der Farbinformation („Farbtiefe”) kann man diese Zufallsgröße allerdings näherungsweise als wertkontinuierlich betrachten. }}
-Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]] zusammengefasst.
+Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist im Lernvideo&nbsp; [[Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF_(Lernvideo)|Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]&nbsp; zusammengefasst.

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 [[Aufgaben:3.2 cos²- und Dirac-VTF|Aufgabe 3.2: $\cos^2$&ndash; und Dirac&ndash;VTF]]
-[[Aufgaben:3.2Z Zusammenhang WDF/VTF|Aufgabe 3.2Z: Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.2Z:_Zusammenhang_zwischen_WDF_und_VTF|Aufgabe 3.2Z: Zusammenhang zwischen WDF und VTF]]
 {{Display}}

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 *Der Grauwert $x$ ist dabei eine wertkontinuierliche Zufallsgröße, wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich erfolgt. Beispielsweise sei „Schwarz” durch den Wert $x = 0$  und „Weiß” durch $x = 1$ charakterisiert. Der Zahlenwert $x =0.5$ kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.
-[[Datei:P_ID617__Sto_T_3_2_S1b_neu.png | WDF und VTF eines wertkontinuierlichen Bildes]]
+[[Datei:P_ID617__Sto_T_3_2_S1b_neu.png |frame| WDF und VTF eines wertkontinuierlichen Bildes]]
 Im mittleren Bild ist die WDF $f_{x}(x)$ dargestellt, die in der Literatur auch oft als ''Grauwertstatistik'' bezeichnet wird.
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 Wird nun der Grauwert des [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion#Verteilungsfunktion_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|ursprünglichen Lena–Fotos]]  mit acht Stufen quantisiert, so dass jedes einzelne Pixel durch drei Bit dargestellt und digital übertragen werden kann, so ergibt sich die diskrete Zufallsgröße $q$. Durch die Quantisierung geht allerdings ein Teil der Bildinformation verloren, was sich im quantisierten Bild durch deutlich erkennbare „Konturen” auswirkt.
-[[Datei:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png | WDF und VTF eines wertdiskreten Bildes]]
+[[Datei:P_ID74__Sto_T_3_2_S2b_neu.png |frame| WDF und VTF eines wertdiskreten Bildes]]
 *Die dazugehörige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{q}(q)$ setzt sich aus $M = 8$  Diracfunktionen zusammen, wobei bei der hier gewählten Quantisierung den möglichen Graustufen die Werte $q_\mu = (\mu – 1)/7$ mit $\mu = 1, 2,$ ... , $8$ zugeordnet sind.