Stochastische Signaltheorie/Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:52Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
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	Für mittelwertfreie Größen  $(\mathbf{m = 0})$  lautet somit die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:		Für mittelwertfreie Größen  $(\mathbf{m = 0})$  lautet somit die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
	:$$\mathbf{ f_{\rm x} }(\mathbf{x})= \frac{1}{ {(2 \pi)^2 \cdot \sigma_1\cdot\sigma_2\cdot \sigma_3\cdot \sigma_4} }\cdot {\~~rme~~}^{-({x_1^2}/{2\sigma_1^2}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}{x_2^2}/{2\sigma_2^2}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}{x_3^2}/{2\sigma_3^2}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}{x_4^2}/{2\sigma_4^2})} .$$		:$$\mathbf{ f_{\rm x} }(\mathbf{x})= \frac{1}{ {(2 \pi)^2 \cdot \sigma_1\cdot\sigma_2\cdot \sigma_3\cdot \sigma_4} }\cdot {\rm e}^{-({x_1^2}/{2\sigma_1^2}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}{x_2^2}/{2\sigma_2^2}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}{x_3^2}/{2\sigma_3^2}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}{x_4^2}/{2\sigma_4^2})} .$$
	Ein Vergleich mit dem Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunktion]]  zeigt,  dass es sich um eine 4D-Zufallsgröße mit statistisch unabhängigen und unkorrelierten Komponenten handelt,  da folgende Bedingung erfüllt ist:		Ein Vergleich mit dem Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunktion]]  zeigt,  dass es sich um eine 4D-Zufallsgröße mit statistisch unabhängigen und unkorrelierten Komponenten handelt,  da folgende Bedingung erfüllt ist:
	:$$\mathbf{f_x}(\mathbf{x})= \mathbf{f_{x1 } }(\mathbf{x_1}) \cdot \mathbf{f_{x2} }(\mathbf{x_2})\cdot \mathbf{f_{x3} }(\mathbf{x_3} ) \cdot \mathbf{f_{x4} }(\mathbf{x_4} ).$$		:$$\mathbf{f_x}(\mathbf{x})= \mathbf{f_{x1 } }(\mathbf{x_1}) \cdot \mathbf{f_{x2} }(\mathbf{x_2})\cdot \mathbf{f_{x3} }(\mathbf{x_3} ) \cdot \mathbf{f_{x4} }(\mathbf{x_4} ).$$
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Generalization_to_N-Dimensional_Random_Variables]]

Maintenance script: Fix MathJax: add space after \cdot before letter

2026-02-25T13:19:24Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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	Die Determinanten dieser beiden Matrizen lauten:		Die Determinanten dieser beiden Matrizen lauten:
	:$$\|{\mathbf{A}}\| = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21},$$		:$$\|{\mathbf{A}}\| = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21},$$
	:$$\|{\mathbf{B}}\| = b_{11} \cdot b_{22} \cdot b_{33} + b_{12} \~~cdotb_~~{23} \cdot b_{31} + b_{13} \cdot b_{21} \cdot b_{32} - b_{11} \cdot b_{23} \cdot b_{32} -b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{33}-b_{13} \cdot b_{22} \cdot b_{31}.$$		:$$\|{\mathbf{B}}\| = b_{11} \cdot b_{22} \cdot b_{33} + b_{12} \cdot b_{23} \cdot b_{31} + b_{13} \cdot b_{21} \cdot b_{32} - b_{11} \cdot b_{23} \cdot b_{32} -b_{12} \cdot b_{21} \cdot b_{33}-b_{13} \cdot b_{22} \cdot b_{31}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 6:}$  Ausgehend von der  $3×3$–Matrix  $\mathbf{B}$  lauten die Kofaktoren der zweiten Zeile:		$\text{Beispiel 6:}$  Ausgehend von der  $3×3$–Matrix  $\mathbf{B}$  lauten die Kofaktoren der zweiten Zeile:
	:$$B_{21} = -(b_{12} \cdot b_{23} - b_{13} \~~cdotb_~~{32})\hspace{0.3cm}{\rm da}\hspace{0.3cm} i+j =3,$$		:$$B_{21} = -(b_{12} \cdot b_{23} - b_{13} \cdot b_{32})\hspace{0.3cm}{\rm da}\hspace{0.3cm} i+j =3,$$
	:$$B_{22} = +(b_{11} \cdot b_{23} - b_{13} \~~cdotb_~~{31})\hspace{0.3cm}{\rm da}\hspace{0.3cm} i+j=4,$$		:$$B_{22} = +(b_{11} \cdot b_{23} - b_{13} \cdot b_{31})\hspace{0.3cm}{\rm da}\hspace{0.3cm} i+j=4,$$
	:$$B_{23} = -(b_{11} \cdot b_{32} - b_{12} \~~cdotb_~~{31})\hspace{0.3cm}{\rm da}\hspace{0.3cm} i+j=5.$$		:$$B_{23} = -(b_{11} \cdot b_{32} - b_{12} \cdot b_{31})\hspace{0.3cm}{\rm da}\hspace{0.3cm} i+j=5.$$

	Die Determinante von  $\mathbf{B}$  ergibt sich mit diesen Kofaktoren zu:		Die Determinante von  $\mathbf{B}$  ergibt sich mit diesen Kofaktoren zu:

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:10Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Guenter am 28. März 2022 um 11:23 Uhr

2022-03-28T11:23:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. März 2022, 13:23 Uhr
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	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:4.15 ~~WDF und Korrelationsmatrix~~\|Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix]]		[[Aufgaben:Aufgabe_4.15:_WDF_und_Kovarianzmatrix\|Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix]]

	[[Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix\|Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix]]		[[Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix\|Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix]]

Guenter am 28. März 2022 um 11:22 Uhr

2022-03-28T11:22:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. März 2022, 13:22 Uhr
Zeile 315:		Zeile 315:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:4.15 WDF und Korrelationsmatrix\|Aufgabe 4.15: WDF und ~~Korrelationsmatrix~~]]		[[Aufgaben:4.15 WDF und Korrelationsmatrix\|Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix]]

	[[Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix\|Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix]]		[[Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix\|Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix]]

Guenter am 19. März 2022 um 15:31 Uhr

2022-03-19T15:31:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. März 2022, 17:31 Uhr
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	[[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren\|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]		[[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren\|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]

	[[~~Aufgaben:4.16Z~~ Aufgaben:Aufgabe_4.16Z:_Zwei-_und_dreidimensionale_Datenreduktion\|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]		[[Aufgaben:Aufgabe_4.16Z:_Zwei-_und_dreidimensionale_Datenreduktion\|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]


	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 19. März 2022 um 15:30 Uhr

2022-03-19T15:30:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. März 2022, 17:30 Uhr
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	[[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren\|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]		[[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren\|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]

	[[Aufgaben:4.16Z 2D- ~~und 3D-Datenreduktion~~\|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]		[[Aufgaben:4.16Z Aufgaben:Aufgabe_4.16Z:_Zwei-_und_dreidimensionale_Datenreduktion\|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]


	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 19. März 2022 um 15:29 Uhr

2022-03-19T15:29:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. März 2022, 17:29 Uhr
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	[[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren\|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]		[[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren\|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]

	[[Aufgaben:4.16Z 2D- und 3D-Datenreduktion\|Aufgabe 4.16Z: 2D- und ~~3D-~~Datenreduktion]]		[[Aufgaben:4.16Z 2D- und 3D-Datenreduktion\|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]


	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 19. März 2022 um 15:20 Uhr

2022-03-19T15:20:05Z

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Guenter am 5. Dezember 2019 um 09:34 Uhr

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← Nächstältere Version		Version vom 5. Dezember 2019, 11:34 Uhr
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	Die Ausrichtung entsprechend den Hauptdiagonalen wurde für den zweidimensionalen Fall bereits auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems]]  behandelt, und zwar basierend auf geometrischen und trigonometrischen Überlegungen.		Die Ausrichtung entsprechend den Hauptdiagonalen wurde für den zweidimensionalen Fall bereits auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems\|Drehung des Koordinatensystems]]  behandelt, und zwar basierend auf geometrischen und trigonometrischen Überlegungen.

	Die Problemlösung mit Eigenwert und Eigenvektor ist äußerst elegant und problemlos auf beliebig große Dimensionen  $N$  erweiterbar. }}		Die Problemlösung mit Eigenwert und Eigenvektor ist äußerst elegant und problemlos auf beliebig große Dimensionen  $N$  erweiterbar. }}