Stochastische Signaltheorie/Verallgemeinerung auf N-dimensionale Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 28. März 2022 um 11:23 Uhr

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Guenter am 3. Dezember 2019 um 17:14 Uhr

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:4.15 WDF und Korrelationsmatrix|Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.15:_WDF_und_Kovarianzmatrix|Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix]]
 [[Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix|Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix]]

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:4.15 WDF und Korrelationsmatrix|Aufgabe 4.15: WDF und Korrelationsmatrix]]
+[[Aufgaben:4.15 WDF und Korrelationsmatrix|Aufgabe 4.15: WDF und Kovarianzmatrix]]
 [[Aufgaben:4.15Z Aussagen der Kovarianzmatrix|Aufgabe 4.15Z: Aussagen der Kovarianzmatrix]]

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 [[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]
-[[Aufgaben:4.16Z Aufgaben:Aufgabe_4.16Z:_Zwei-_und_dreidimensionale_Datenreduktion|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.16Z:_Zwei-_und_dreidimensionale_Datenreduktion|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]
 {{Display}}

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 [[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]
-[[Aufgaben:4.16Z 2D- und 3D-Datenreduktion|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]
+[[Aufgaben:4.16Z Aufgaben:Aufgabe_4.16Z:_Zwei-_und_dreidimensionale_Datenreduktion|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]
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 [[Aufgaben:4.16 Eigenwerte und Eigenvektoren|Aufgabe 4.16: Eigenwerte und Eigenvektoren]]
-[[Aufgaben:4.16Z 2D- und 3D-Datenreduktion|Aufgabe 4.16Z: 2D- und 3D-Datenreduktion]]
+[[Aufgaben:4.16Z 2D- und 3D-Datenreduktion|Aufgabe 4.16Z: Zwei- und dreidimensionale Datenreduktion]]
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−	Die Ausrichtung entsprechend den Hauptdiagonalen wurde für den zweidimensionalen Fall bereits auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems]]  behandelt, und zwar basierend auf geometrischen und trigonometrischen Überlegungen.	+	Die Ausrichtung entsprechend den Hauptdiagonalen wurde für den zweidimensionalen Fall bereits auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems\|Drehung des Koordinatensystems]]  behandelt, und zwar basierend auf geometrischen und trigonometrischen Überlegungen.

	Die Problemlösung mit Eigenwert und Eigenvektor ist äußerst elegant und problemlos auf beliebig große Dimensionen  $N$  erweiterbar. }}		Die Problemlösung mit Eigenwert und Eigenvektor ist äußerst elegant und problemlos auf beliebig große Dimensionen  $N$  erweiterbar. }}

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−	Die Ausrichtung entsprechend den Hauptdiagonalen wurde für den zweidimensionalen Fall bereits auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#~~Drehung_des_Koordinatensystems_.281.29\|Drehung des Koordinatensystems~~]]  behandelt, und zwar basierend auf geometrischen und trigonometrischen Überlegungen.	+	Die Ausrichtung entsprechend den Hauptdiagonalen wurde für den zweidimensionalen Fall bereits auf der Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Gaußsche_Zufallsgrößen#Drehung_des_Koordinatensystems]]  behandelt, und zwar basierend auf geometrischen und trigonometrischen Überlegungen.

	Die Problemlösung mit Eigenwert und Eigenvektor ist äußerst elegant und problemlos auf beliebig große Dimensionen  $N$  erweiterbar. }}		Die Problemlösung mit Eigenwert und Eigenvektor ist äußerst elegant und problemlos auf beliebig große Dimensionen  $N$  erweiterbar. }}

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 ==Korrelationsmatrix==
 <br>
-Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit $N$ Dimensionen bietet sich zweckmäßigerweise eine Vektor&ndash; bzw. Matrixdarstellung an. Für die folgende Beschreibung wird vorausgesetzt:
+Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet.&nbsp; Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit&nbsp; $N$&nbsp; Dimensionen bietet sich zweckmäßigerweise eine Vektor&ndash; bzw. Matrixdarstellung an.
 *Die $N$–dimensionale Zufallsgröße wird als Vektor dargestellt:
 :$${\mathbf{x}} = \big[\hspace{0.03cm}x_1, \hspace{0.03cm}x_2,
 \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, \hspace{0.03cm}x_N \big]^{\rm T}.$$
-:Hierbei ist $\mathbf{x}$ ein Spaltenvektor, was aus dem Zusatz $\rm T$ – dies steht für „transponiert” – des angegebenen Zeilenvektors hervorgeht.
+:Hierbei ist&nbsp; $\mathbf{x}$&nbsp; ein Spaltenvektor, was aus dem Zusatz&nbsp; $\rm T$&nbsp; – dies steht für „transponiert” – des angegebenen Zeilenvektors hervorgeht.
-*Die $N$ Komponenten $x_i$ seien jeweils eindimensionale reelle Gaußsche Zufallsgrößen.
+*Die&nbsp; $N$&nbsp; Komponenten&nbsp; $x_i$&nbsp; seien jeweils eindimensionale reelle Gaußsche Zufallsgrößen.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Statistische Bindungen zwischen den $N$ Zufallsgrößen werden durch die '''Korrelationsmatrix''' vollständig beschrieben:
+Statistische Bindungen zwischen den&nbsp; $N$&nbsp; Zufallsgrößen werden durch die&nbsp; '''Korrelationsmatrix'''&nbsp; vollständig beschrieben:
 :$${\mathbf{R} } =\big[ R_{ij} \big] = \left[ \begin{array}{cccc}R_{11} & R_{12} & \cdots & R_{1N} \\ R_{21} & R_{22}& \cdots & R_{2N} \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ R_{N1} & R_{N2} & \cdots & R_{NN}  \end{array} \right] .$$
 Die $N^2$ Elemente dieser $N×N$-Matrix geben jeweils das gemeinsame Moment erster Ordnung zwischen zwei Komponenten an:
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 Bitte beachten Sie:
-*Da $\mathbf{x}$ ein Spaltenvektor mit $N$ Dimensionen ist und somit der transponierte Vektor $\mathbf{x}^{\rm T}$ ein Zeilenvektor gleicher Länge, ergibt das Produkt $\mathbf{x} · \mathbf{x}^{\rm T}$ eine $N×N$-Matrix.
+*$\mathbf{x}$&nbsp; ist ein Spaltenvektor mit&nbsp; $N$&nbsp; Dimensionen ist und der transponierte Vektor&nbsp; $\mathbf{x}^{\rm T}$&nbsp; ein Zeilenvektor gleicher Länge &nbsp; &rArr; &nbsp; das Produkt&nbsp; $\mathbf{x} · \mathbf{x}^{\rm T}$&nbsp; ergibt eine&nbsp; $N×N$&ndash;Matrix.
-*Dagegen wäre $\mathbf{x}^{\rm T}· \mathbf{x}$ eine $1×1$-Matrix, also ein Skalar.
+*Dagegen wäre&nbsp; $\mathbf{x}^{\rm T}· \mathbf{x}$&nbsp; eine&nbsp; $1×1$&ndash;Matrix, also ein Skalar.
-*Für den hier nicht weiter betrachteten Sonderfall komplexer Komponenten $x_i$ sind auch die Matrixelemente komplex:
+*Für den hier nicht weiter betrachteten Sonderfall komplexer Komponenten&nbsp; $x_i$&nbsp; sind auch die Matrixelemente komplex:
 :$$R_{ij}= {{\rm E}\big[x_i \cdot x_j^{\star} \big]} = R_{ji}^{\star} .$$
-*Die Realteile der Korrelationsmatrix ${\mathbf{R} }$ sind weiterhin symmetrisch zur Hauptdiagonalen, während sich die  Imaginärteile durch das Vorzeichen unterscheiden.
+*Die Realteile der Korrelationsmatrix&nbsp; ${\mathbf{R} }$&nbsp; sind weiterhin symmetrisch zur Hauptdiagonalen, während sich die  Imaginärteile durch das Vorzeichen unterscheiden.
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 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Man kommt von der Korrelationsmatrix $\mathbf{R} =\left[ R_{ij} \right]$ zur so genannten '''Kovarianzmatrix'''
+$\text{Definition:}$&nbsp; Man kommt von der Korrelationsmatrix&nbsp; $\mathbf{R} =\left[ R_{ij} \right]$&nbsp; zur so genannten&nbsp; '''Kovarianzmatrix'''
 :$${\mathbf{K} } =\big[ K_{ij} \big] = \left[ \begin{array}{cccc}K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22}& \cdots & K_{2N} \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{NN}  \end{array} \right] ,$$
-wenn die Matrixelemente $K_{ij} = {\rm E}\big[(x_i – m_i) · (x_j – m_j)\big]$ jeweils ein [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Zentralmomente|Zentralmoment erster Ordnung]] angeben.
+wenn die Matrixelemente&nbsp; $K_{ij} = {\rm E}\big[(x_i – m_i) · (x_j – m_j)\big]$&nbsp; jeweils ein&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente#Zentralmomente|Zentralmoment erster Ordnung]]&nbsp; angeben.
-Mit dem Vektor $\mathbf{m} = [m_1, m_2$, ... , $m_N]^{\rm T}$ kann somit auch geschrieben werden:
+Mit dem Vektor&nbsp; $\mathbf{m} = [m_1, m_2$, ... , $m_N]^{\rm T}$&nbsp; kann somit auch geschrieben werden:
 :$$\mathbf{K}= { {\rm E}\big[(\mathbf{x} - \mathbf{m})  (\mathbf{x} - \mathbf{m})^{\rm T} \big] } .$$
-Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass $m_1$ den Mittelwert der Komponente $x_1$ und $m_2$ den Mittelwert von $x_2$ bezeichnet – nicht etwa das Moment erster bzw. zweiter Ordnung. }}
+Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass&nbsp; $m_1$&nbsp; den Mittelwert der Komponente&nbsp; $x_1$&nbsp; und&nbsp; $m_2$&nbsp; den Mittelwert&nbsp; von $x_2$&nbsp; bezeichnet – nicht etwa das Moment erster bzw. zweiter Ordnung. }}
-Die Kovarianzmatrix $\mathbf{K}$ zeigt bei reellen mittelwertfreien Gauß–Größen folgende weitere Eigenschaften:
+Die Kovarianzmatrix&nbsp; $\mathbf{K}$&nbsp; zeigt bei reellen mittelwertfreien Gauß–Größen folgende weitere Eigenschaften:
-*Das Element der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte lautet mit den beiden Streuungen $σ_i$ und $σ_j$ und dem [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationskoeffizient|Korrelationskoeffizienten]]  $ρ_{ij}$:
+*Das Element der&nbsp; $i$-ten Zeile und&nbsp; $j$-ten Spalte lautet mit den beiden Streuungen&nbsp; $σ_i$&nbsp; und&nbsp; $σ_j$&nbsp; und dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationskoeffizient|Korrelationskoeffizienten]]&nbsp;  $ρ_{ij}$:
 :$$K_{ij} = σ_i · σ_j · ρ_{ij} = K_{ji}.$$
-*Berücksichtigt man noch die Beziehung $ρ_{ii} = 1$, so erhält man für die Kovarianzmatrix:
+*Berücksichtigt man noch die Beziehung&nbsp; $ρ_{ii} = 1$, so erhält man für die Kovarianzmatrix:
 :$${\mathbf{K}} =\left[ K_{ij} \right] = \left[ \begin{array}{cccc}
 \sigma_{1}^2 & \sigma_{1}\cdot \sigma_{2}\cdot\rho_{12} & \cdots & \sigma_{1}\cdot \sigma_{N} \cdot \rho_{1N} \\
 \sigma_{2} \cdot \sigma_{1} \cdot \rho_{21} & \sigma_{2}^2& \cdots & \sigma_{2} \cdot \sigma_{N} \cdot\rho_{2N} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma_{N} \cdot \sigma_{1} \cdot \rho_{N1} & \sigma_{N}\cdot \sigma_{2} \cdot\rho_{N2} &
 \cdots & \sigma_{N}^2 \end{array} \right] .$$
-*Aufgrund der Beziehung $ρ_{ij} = ρ_{ji}$ ist die Kovarianzmatrix bei reellen Größen stets symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
+*Aufgrund der Beziehung&nbsp; $ρ_{ij} = ρ_{ji}$&nbsp; ist die Kovarianzmatrix bei reellen Größen stets symmetrisch zur Hauptdiagonalen.&nbsp;  Bei komplexen Größen würde&nbsp; $ρ_{ij} = ρ_{ji}^{\star}$&nbsp; gelten.
@@ Zeile 79: / Zeile 80: @@
 \end{array} \right].$$
-* $\mathbf{K}_2$ beschreibt eine 2D–Zufallsgröße, wobei der Korrelationskoeffizient $ρ$ zwischen den zwei Komponenten $-0.5$ beträgt und beide Komponenten die Streuung $σ = 1$ aufweisen.
+* $\mathbf{K}_2$&nbsp; beschreibt eine 2D–Zufallsgröße, wobei der Korrelationskoeffizient&nbsp; $ρ$&nbsp; zwischen den zwei Komponenten&nbsp; $-0.5$&nbsp; beträgt und beide Komponenten die Streuung&nbsp; $σ = 1$&nbsp; aufweisen.
-*Bei der 3D-Zufallsgröße gemäß $\mathbf{K}_3$ haben alle Komponenten die gleiche Streuung $σ = 2$. Die stärksten Bindungen bestehen  hier zwischen $x_2$ und $x_3$, wobei $ρ_{23} = 3/4$ gilt.
+*Bei der 3D-Zufallsgröße gemäß&nbsp; $\mathbf{K}_3$&nbsp; haben alle Komponenten die gleiche Streuung&nbsp; $σ = 2$.&nbsp; Die stärksten Bindungen bestehen  hier zwischen&nbsp; $x_2$&nbsp; und&nbsp; $x_3$, wobei&nbsp; $ρ_{23} = 3/4$&nbsp; gilt.
-*Die vier Komponenten der durch $\mathbf{K}_4$ gekennzeichneten Zufallsgröße sind unkorreliert, bei Gaußscher WDF auch statistisch unabhängig. Die Varianzen sind $σ_i^2 = i^2$ für $i = 1$, ... , $4$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Streuungen $σ_i = i$. }}
+*Die vier Komponenten der durch&nbsp; $\mathbf{K}_4$&nbsp; gekennzeichneten Zufallsgröße sind unkorreliert, bei Gaußscher WDF auch statistisch unabhängig.&nbsp; Die Varianzen sind&nbsp; $σ_i^2 = i^2$&nbsp; für&nbsp; $i = 1$, ... , $4$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp;  Streuungen $σ_i = i$. }}
 ==Zusammenhang zwischen Kovarianzmatrix und WDF==