Stochastische Signaltheorie/Stochastische Systemtheorie - Versionsgeschichte

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Satz:}$  Zwischen dem Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals  $x(t)$  und dem Amplitudenspektrum  $X_{\rm T}(f)$  des begrenzten Zeitausschnittes  $x_{\rm T}(t)$  besteht der folgende Zusammenhang:		$\text{Satz:}$  Zwischen dem Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals  $x(t)$  und dem Amplitudenspektrum  $X_{\rm T}(f)$  des begrenzten Zeitausschnittes  $x_{\rm T}(t)$  besteht der folgende Zusammenhang:
	:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}		:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$}}
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$$}}


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	$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die		$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die
	[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|Autokorrelationsfunktion]]  eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion  $x(t)$  wie folgt angegeben:		[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|Autokorrelationsfunktion]]  eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion  $x(t)$  wie folgt angegeben:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rmM}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
	M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
	*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion  $x(t)$  durch die auf den Zeitbereich  $-T_{\rm M}/2$  bis  $+T_{\rm M}/2$  begrenzte Funktion  $x_{\rm T}(t)$  zu ersetzen.  $x_{\rm T}(t)$  korrespondiert mit dem Spektrum  $X_{\rm T}(f)$,  und man erhält durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]]  und des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:		*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion  $x(t)$  durch die auf den Zeitbereich  $-T_{\rm M}/2$  bis  $+T_{\rm M}/2$  begrenzte Funktion  $x_{\rm T}(t)$  zu ersetzen.  $x_{\rm T}(t)$  korrespondiert mit dem Spektrum  $X_{\rm T}(f)$,  und man erhält durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]]  und des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rmM}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rmT}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm}\rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
	M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm
	T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm}
	\rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
	*Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:		*Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rmT}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rmT}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \itt \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm
	T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm
	T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it
	t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
	*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum  $X_{\rm T}^{\star}(f)$.  Daraus folgt weiter:		*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum  $X_{\rm T}^{\star}(f)$.  Daraus folgt weiter:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rmT}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d\it f.$$
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm
	T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d
	\it f.$$
	*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin],		*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin],
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
	\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
	:zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:		:zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:
	:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}		:$${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$$
	<div align="right">'''q.e.d.'''</div>}}		<div align="right">'''q.e.d.'''</div>}}

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:		$\text{Beweis:}$  Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:
	:$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}		:$${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2,$$
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2,$$		:$$ { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, $$
	:$$ { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm}
	\frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, $$
	:$$Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$		:$$Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$$
	Setzt man diese Gleichungen ineinander ein,  so erhält man das obige Ergebnis.		Setzt man diese Gleichungen ineinander ein,  so erhält man das obige Ergebnis.
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	[[Datei:P_ID468__Sto_T_5_1_S3_neu.png \|right\|frame\| Filtereinfluss im Frequenzbereich]]		[[Datei:P_ID468__Sto_T_5_1_S3_neu.png \|right\|frame\| Filtereinfluss im Frequenzbereich]]
	liegt weißes Rauschen  $x(t)$  mit der Rauschleistungsdichte  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$  an   ⇒   zweiseitige Darstellung.  Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:		liegt weißes Rauschen  $x(t)$  mit der Rauschleistungsdichte  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$  an   ⇒   zweiseitige Darstellung.  Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:
	:$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\~~Delta~~		:$${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Deltaf)^2}.$$
	f)^2}.$$
	Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Filtereingang und –ausgang.		Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Filtereingang und –ausgang.

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Satz:}$  Für die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  erhält man nach den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  und durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich\|Faltungssatzes]]:		$\text{Satz:}$  Für die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  erhält man nach den  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  und durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_im_Zeitbereich\|Faltungssatzes]]:
	:$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(-		:$${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(-\tau).$$}}
	\tau).$$}}


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	:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$		:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
	*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:		*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:
	:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}		:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rmM}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
	h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}
	\frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm
	M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}
	\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
	*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt  $τ - θ$:		*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt  $τ - θ$:
	:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$		:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$

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	des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf		des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

	*dem Lehrsoftwarepaket  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und		*dem Lehrsoftwarepaket  [/downloads/Sonstiges/Programme/LNTsim.zip LNTsim]   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
	*der  [~~http://www.lntwww.de~~/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10:  Seite 229-248 und Kapitel 11:  Seite 249-270.		*der  [/downloads/Sonstiges/Texte/Praktikum_LNTsim_Teil_B.pdf Praktikumsanleitung - Teil B]   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10:  Seite 229-248 und Kapitel 11:  Seite 249-270.

Guenter am 26. Januar 2022 um 15:06 Uhr

2022-01-26T15:06:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Januar 2022, 17:06 Uhr
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$		$\text{Beispiel 2:}$
	Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie  im $\text{Beispiel 1}$, aber diesmal im Zeitbereich. Es gilt auch hier:		Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie  im  [[Stochastische_Signaltheorie/Stochastische_Systemtheorie#Leistungsdichtespektrum_des_Filterausgangssignals\|$\text{Beispiel 1}$]],  aber diesmal im Zeitbereich.  Es gilt auch hier:
	[[Datei:P_ID591__Sto_T_5_1_S4_neu.png \|right\|frame\| Filtereinfluss im Zeitbereich]]		[[Datei:P_ID591__Sto_T_5_1_S4_neu.png \|right\|frame\| Filtereinfluss im Zeitbereich]]
	*Zweiseitiges weißes Rauschen  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,		*Zweiseitiges weißes Rauschen  ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$,

Guenter am 26. Januar 2022 um 15:01 Uhr

2022-01-26T15:01:01Z

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Zeile 52:		Zeile 52:
	:[[Datei:P_ID467__Sto_T_5_1_S2_neu.png\|right\| \|frame\| Zur AKF– und LDS–Berechnung eines Zufallssignals]]		:[[Datei:P_ID467__Sto_T_5_1_S2_neu.png\|right\| \|frame\| Zur AKF– und LDS–Berechnung eines Zufallssignals]]
	<br>		<br>
	#Das ~~Leistungsdichtespektrum~~  ${\it Φ}_x(f)$  kann  – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ –  für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$  angegeben werden,  auch wenn der spezifische Verlauf von  $x(t)$  explizit nicht bekannt ist.<br><br>		#Das  [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektren]]  ${\it Φ}_x(f)$  kann  – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion  $φ_x(τ)$ –  für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses  $\{x(t)\}$  angegeben werden,  auch wenn der spezifische Verlauf von  $x(t)$  explizit nicht bekannt ist.<br><br>
	#Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Amplitudenspektrum]]  $X(f)$  ist dagegen undefiniert,  da bei Kenntnis der Spektralfunktion  $X(f)$  auch die gesamte Zeitfunktion  $x(t)$  von  $–∞$  bis  $+∞$  über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste,  was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.<br><br>		#Das  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|Amplitudenspektrum]]  $X(f)$  ist dagegen undefiniert,  da bei Kenntnis der Spektralfunktion  $X(f)$  auch die gesamte Zeitfunktion  $x(t)$  von  $–∞$  bis  $+∞$  über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste,  was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.<br><br>
	#Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer  $T_{\rm M}$  bekannt,  so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.		#Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer  $T_{\rm M}$  bekannt,  so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.

Guenter am 26. Januar 2022 um 14:59 Uhr

2022-01-26T14:59:38Z

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Guenter am 7. Dezember 2019 um 12:50 Uhr

2019-12-07T12:50:52Z

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Zeile 198:		Zeile 198:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:		$\text{Fazit:}$  Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:
	:$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f) = \frac{{\it \Phi}_{xy}(f)}{{\it \Phi}_{x}(f)}.$$		:$${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f) = \frac{ {\it \Phi}_{xy}(f)}{ {\it \Phi}_{x}(f)}.$$

	Diese Gleichung zeigt, dass der Filterfrequenzgang  $H(f)$  aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:		Diese Gleichung zeigt, dass der Filterfrequenzgang  $H(f)$  aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

Guenter am 5. Dezember 2019 um 16:34 Uhr

2019-12-05T16:34:17Z

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Guenter am 23. August 2018 um 06:02 Uhr

2018-08-23T06:02:52Z

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Zeile 212:		Zeile 212:
	[[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Bestimmung_des_Frequenzgangs\|Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs]]		[[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Bestimmung_des_Frequenzgangs\|Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs]]

	[[~~Aufgabe_5~~.2Z Zweiwegekanal\|Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal]]		[[Aufgaben:5.2Z Zweiwegekanal\|Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal]]



	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 23. August 2018 um 06:01 Uhr

2018-08-23T06:01:53Z

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Zeile 212:		Zeile 212:
	[[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Bestimmung_des_Frequenzgangs\|Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs]]		[[Aufgaben:Aufgabe_5.2:_Bestimmung_des_Frequenzgangs\|Aufgabe 5.2: Bestimmung des Frequenzgangs]]

	[[~~Aufgaben:~~Aufgabe_5.2Z Zweiwegekanal\|Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal]]		[[Aufgabe_5.2Z Zweiwegekanal\|Aufgabe 5.2Z: Zweiwegekanal]]



	{{Display}}		{{Display}}

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:28 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die		$\text{Beweis:}$  Vorne wurde die
	[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|Autokorrelationsfunktion]]  eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion  $x(t)$  wie folgt angegeben:		[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|Autokorrelationsfunktion]]  eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion  $x(t)$  wie folgt angegeben:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\~~rmM~~}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
	*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion  $x(t)$  durch die auf den Zeitbereich  $-T_{\rm M}/2$  bis  $+T_{\rm M}/2$  begrenzte Funktion  $x_{\rm T}(t)$  zu ersetzen.  $x_{\rm T}(t)$  korrespondiert mit dem Spektrum  $X_{\rm T}(f)$,  und man erhält durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]]  und des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:		*Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion  $x(t)$  durch die auf den Zeitbereich  $-T_{\rm M}/2$  bis  $+T_{\rm M}/2$  begrenzte Funktion  $x_{\rm T}(t)$  zu ersetzen.  $x_{\rm T}(t)$  korrespondiert mit dem Spektrum  $X_{\rm T}(f)$,  und man erhält durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral\|ersten Fourierintegrals]]  und des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz\|Verschiebungssatzes]]:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\~~rmM~~}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\~~rmT~~}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm}\rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm}\rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
	*Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:		*Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\~~rmT~~}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\~~rmT~~}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \~~itt~~ \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$$
	*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum  $X_{\rm T}^{\star}(f)$.  Daraus folgt weiter:		*Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum  $X_{\rm T}^{\star}(f)$.  Daraus folgt weiter:
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\~~rmT~~}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d\it f.$$		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d\it f.$$
	*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin],		*Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]  und  [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin],
	:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$		:$${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$$
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	:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$		:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$$
	*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:		*Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:
	:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\~~rmM~~}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$		:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$$
	*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt  $τ - θ$:		*Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt  $τ - θ$:
	:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$		:$${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$$
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			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Stochastic_System_Theory]]