Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit - Versionsgeschichte

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Wael am 28. Dezember 2017 um 18:42 Uhr

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 *Zwei Ereignisse&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; bezeichnet man dann als&nbsp; '''statistisch unabhängig'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "statistical independent"),&nbsp; wenn die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge&nbsp; $A ∩ B$&nbsp; gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
 :$${\rm Pr}(A \cap B) = {\rm Pr}(A)\cdot {\rm Pr}(B).$$
 *Ist diese Bedingung nicht erfüllt,&nbsp; so sind die Ereignisse&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp;  '''statistisch abhängig'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "statistical dependent"):
 :$${\rm Pr}(A \cap B) \ne {\rm Pr}(A)\cdot {\rm Pr}(B).$$}}
 *In manchen Anwendungsfällen ist die statistische Unabhängigkeit offensichtlich,&nbsp; zum Beispiel beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo;.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für &bdquo;Zahl&rdquo; oder &bdquo;Bild&rdquo; ist unabhängig davon,&nbsp; ob beim letzten Wurf&nbsp; &bdquo;Zahl&rdquo;&nbsp; oder&nbsp; &bdquo;Bild&rdquo;&nbsp; aufgetreten ist.

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 ==Allgemeine Definition von statistischer Abhängigkeit==
 <br>
-Bisher haben wir die ''statistische Abhängigkeit'' zwischen Ereignissen nicht besonders beachtet, auch wenn wir sie wie im Fall zweier disjunkter Mengen bereits verwendet haben: &nbsp; Gehört ein Element zu $A$, so kann es mit Sicherheit nicht auch in der disjunkten Menge $B$ enthalten sein.
+Bisher haben wir die&nbsp; ''statistische Abhängigkeit''&nbsp; zwischen Ereignissen nicht besonders beachtet, auch wenn wir sie wie im Fall zweier disjunkter Mengen bereits verwendet haben: &nbsp; Gehört ein Element zu&nbsp; $A$, so kann es mit Sicherheit nicht auch in der disjunkten Menge&nbsp; $B$&nbsp; enthalten sein.
+Die stärkste Form von Abhängigkeit überhaupt ist eine solche&nbsp; '''deterministische Abhängigkeit'''&nbsp; zwischen zwei Mengen bzw. zwei Ereignissen.&nbsp; Weniger ausgeprägt ist die statistische Abhängigkeit. Beginnen wir mit deren Komplement:
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Zwei Ereignisse $A$ und $B$ bezeichnet man dann als '''statistisch unabhängig''' (englisch: ''statistical independent''&nbsp;) , wenn die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $A ∩ B$ gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
+Zwei Ereignisse&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; bezeichnet man dann als&nbsp; '''statistisch unabhängig'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''statistical independent''&nbsp;), wenn die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge&nbsp; $A ∩ B$&nbsp; gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
 :$${\rm Pr}(A \cap B) = {\rm Pr}(A)\cdot {\rm Pr}(B).$$}}
-*In manchen Anwendungsfällen ist die statistische Unabhängigkeit offensichtlich, zum Beispiel beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo;. Die Wahrscheinlichkeit für &bdquo;Zahl&rdquo; oder &bdquo;Bild&rdquo; ist unabhängig davon, ob beim letzten Wurf ''Zahl'' oder ''Bild'' aufgetreten ist.
+*In manchen Anwendungsfällen ist die statistische Unabhängigkeit offensichtlich, zum Beispiel beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo;. Die Wahrscheinlichkeit für &bdquo;Zahl&rdquo; oder &bdquo;Bild&rdquo; ist unabhängig davon, ob beim letzten Wurf&nbsp; ''Zahl''&nbsp; oder&nbsp; ''Bild''&nbsp; aufgetreten ist.
 *Und auch die einzelnen Ergebnisse beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind bei fairen Bedingungen stets statistisch unabhängig voneinander, auch wenn einzelne Systemspieler dies nicht wahrhaben wollen.
-*Bei anderen Anwendungen ist dagegen die Frage, ob zwei Ereignisse statistisch unabhängig sind oder nicht, gefühlsmäßig nicht oder nur sehr schwer zu beantworten. Hier kann man nur durch Überprüfung des oben angegebenen formalen Unabhängigkeitskriteriums zur richtigen Antwort kommen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.
+*Bei anderen Anwendungen ist dagegen die Frage, ob zwei Ereignisse statistisch unabhängig sind oder nicht, gefühlsmäßig nicht oder nur sehr schwer zu beantworten.&nbsp; Hier kann man nur durch Überprüfung des oben angegebenen formalen Unabhängigkeitskriteriums zur richtigen Antwort kommen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir betrachten wieder das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;, wobei die beiden Würfel an ihren Farben Rot $(R)$ und Blau $(B)$ unterschieden werden können.
+Wir betrachten wieder das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;, wobei die beiden Würfel an ihren Farben Rot&nbsp; $(R)$&nbsp; und Blau&nbsp; $(B)$&nbsp; unterschieden werden können.
-Die Grafik verdeutlicht diesen Sachverhalt, wobei in dem zweidimensionalen Feld $(R, B)$ die Summe $S = R + B$ eingetragen ist.
+Die Grafik verdeutlicht diesen Sachverhalt, wobei in dem zweidimensionalen Feld&nbsp; $(R, B)$&nbsp; die Summe&nbsp; $S = R + B$&nbsp; eingetragen ist.
 Für die folgende Beschreibung definieren wir folgende Ereignisse:
-*$A_1$:&nbsp; Die Augenzahl des roten Würfels ist $R < 4$ (rote Hinterlegung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$,
+*$A_1$:&nbsp; Die Augenzahl des roten Würfels ist&nbsp; $R < 4$&nbsp; (rote Hinterlegung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$,
-*$A_2$:&nbsp; Die Augenzahl des blauen Würfels ist $B > 4$ (blaue Schrift) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_2) = 1/3$,
+*$A_2$:&nbsp; Die Augenzahl des blauen Würfels ist&nbsp; $B > 4$&nbsp; (blaue Schrift) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_2) = 1/3$,
-*$A_3$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 7$ (grüne Umrahmung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$,
+*$A_3$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist&nbsp; $S = 7$&nbsp; (grüne Umrahmung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$,
-*$A_4$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 8$  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$,
+*$A_4$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist&nbsp; $S = 8$&nbsp;  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$,
-*$A_5$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 10$  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_5) = 3/36$.
+*$A_5$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist&nbsp; $S = 10$&nbsp;  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_5) = 3/36$.
 <br clear=all>
 Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:

@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 ==Allgemeines Multiplikationstheorem==
 <br>
-Wir betrachten weiterhin mehr als zwei Ereignisse, die mit  $A_i$ mit $1 ≤ i ≤ I$ bezeichnet werden. Diese Ereignisse $A_i$ stellen nun aber kein [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vollst.C3.A4ndiges_System|vollständiges System]]  mehr dar, das heißt,
+Wir betrachten mehrere Ereignisse, die mit  $A_i$ mit $1 ≤ i ≤ I$ bezeichnet werden. Diese Ereignisse $A_i$ stellen nun aber kein [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Vollst.C3.A4ndiges_System|vollständiges System]]  mehr dar, das heißt,
 *sie sind nicht paarweise zueinander disjunkt, und
 *es können zwischen den einzelnen Ereignissen auch statistische Bindungen bestehen.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Für die so genannte '''Verbundwahrscheinlichkeit''', also für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge aller $I$ Ereignisse $A_i$, gilt in diesem Fall:
+Für die so genannte '''Verbundwahrscheinlichkeit''', also für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge aller $I$&nbsp; Ereignisse $A_i$, gilt in diesem Fall:
 :$${\rm Pr}(A_{\rm 1} \cap \hspace{0.02cm}\text{ ...}\hspace{0.1cm} \cap A_{I})  =
   {\rm Pr}(A_{I})\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_{I \rm \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}\vert  \hspace{0.05cm} A_I) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_{I \rm \hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}2} \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{I \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} \rm 1}\cap A_I)\hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.02cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm}  \cdot\hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\vert  \hspace{0.05cm}A_{\rm 2} \cap \hspace{0.02cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm}\cap A_{ I}).$$
 In gleicher Weise gilt natürlich auch:
@@ Zeile 114: / Zeile 113: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Eine Lostrommel enthält zehn Lose, darunter drei Treffer (Ereignis $T_1$). Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Losen zwei Treffer zieht:
+Eine Lostrommel enthält zehn Lose, darunter drei Treffer (Ereignis $T_1$). Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Losen zwei Treffer zieht:
 :$${\rm Pr}(T_1 \cap T_2) = {\rm Pr}(T_1) \cdot {\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm }\vert \hspace{0.05cm} T_1) = 3/10 \cdot 2/9 = 1/15 \approx 6.7 \%.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass sich bei der zweiten Ziehung (Ereignis $T_2$) nur mehr neun Lose und zwei Treffer in der Urne befänden, wenn im ersten Durchgang ein Treffer gezogenworden wäre &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} T_1) = 2/9$ .
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass sich bei der zweiten Ziehung (Ereignis $T_2$) nur mehr neun Lose und zwei Treffer in der Urne befänden, wenn im ersten Durchgang ein Treffer gezogen worden wäre &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} T_1) = 2/9$ .
 *Würde man jedoch die Lose nach der Ziehung wieder in die Trommel zurücklegen, so wären die Ereignisse $T_1$ und $T_2$ statistisch unabhängig und es würde gelten:
 :$$ {\rm Pr}(T_1 ∩ T_2) = (3/10)^2 = 9\%.$$}}
@@ Zeile 124: / Zeile 123: @@
 ==Rückschlusswahrscheinlichkeit==
 <br>
-Gegeben seien Ereignisse $A_i$ mit $1 ≤ i ≤ I$, die ein vollständiges System bilden. Das heißt:
+Gegeben seien wieder Ereignisse $A_i$ mit $1 ≤ i ≤ I$, die ein vollständiges System bilden. Das heißt:
-*Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt $(A_i ∩ A_j = ϕ$ für alle $i ≠ j$).
+*Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt $(A_i ∩ A_j = ϕ$&nbsp; für alle $i ≠ j$).
 *Die Vereinigungsmenge ergibt die Grundmenge:
 :$$\rm \bigcup_{\it i=1}^{\it I}\it A_i = \it G.$$
-Daneben betrachten wir noch das Ereignis $B$, von dem alle bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A_i)$ mit den Indizes $1 ≤ i ≤ I$ bekannt sind.
+Daneben betrachten wir noch das Ereignis $B$, von dem alle bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A_i)$ mit den Indizes $1 ≤ i ≤ I$&nbsp; bekannt sind.
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 153: / Zeile 152: @@
 *Der Anteil aller Studentinnen (Ereignis $W$) kann dann mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermittelt werden:
-:$${\rm Pr}(W) = \rm Pr(W \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} L)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(L) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm Pr}r(W \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}d T)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(T) = \rm 0.6\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}0.7\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}0.1\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}0.3 = 45 \%.$$
+:$${\rm Pr}(W) = {\rm Pr}(W \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} L)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(L) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm Pr}(W \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} T)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(T) = \rm 0.6\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}0.7\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}0.1\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}0.3 = 45 \%.$$
 *Trifft man eine Studentin, so kann man mit der Rückschlusswahrscheinlichkeit
-:$${\rm Pr}(L \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}W) = \frac{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L)\cdot  {\rm Pr}(L) }{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L) \cdot  {\rm Pr}(L) +{\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}T) \cdot  {\rm Pr}(T)}=\rm \frac{0.6\cdot 0.7}{0.6\cdot 0.7 + 0.1\cdot 0.3}=\frac{14}{15}$$
+:$${\rm Pr}(L \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}W) = \frac{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L)\cdot  {\rm Pr}(L) }{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L) \cdot  {\rm Pr}(L) +{\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}T) \cdot  {\rm Pr}(T)}=\rm \frac{0.6\cdot 0.7}{0.6\cdot 0.7 + 0.1\cdot 0.3}=\frac{14}{15}\approx 93.3 \%$$
 :vorhersagen, dass sie an der LMU studieren wird. Ein durchaus realistisches Ergebnis.}}

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 ==Allgemeine Definition von statistischer Abhängigkeit==
 <br>
-Bisher haben wir die ''statistische Abhängigkeit'' zwischen Ereignissen nicht besonders beachtet, auch wenn wir sie wie im Fall zweier disjunkter Mengen bereits verwendet haben:
+Bisher haben wir die ''statistische Abhängigkeit'' zwischen Ereignissen nicht besonders beachtet, auch wenn wir sie wie im Fall zweier disjunkter Mengen bereits verwendet haben: &nbsp; Gehört ein Element zu $A$, so kann es mit Sicherheit nicht auch in der disjunkten Menge $B$ enthalten sein.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Zwei Ereignisse $A$ und $B$ bezeichnet man dann als '''statistisch unabhängig''' (englisch: ''statistical independent'') , wenn die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $A ∩ B$ gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
+Zwei Ereignisse $A$ und $B$ bezeichnet man dann als '''statistisch unabhängig''' (englisch: ''statistical independent''&nbsp;) , wenn die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $A ∩ B$ gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist:
 :$${\rm Pr}(A \cap B) = {\rm Pr}(A)\cdot {\rm Pr}(B).$$}}
-In manchen Anwendungsfällen ist die statistische Unabhängigkeit offensichtlich, zum Beispiel beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo;. Die Wahrscheinlichkeit für &bdquo;Zahl&rdquo; oder &bdquo;Bild&rdquo; ist unabhängig davon, ob beim letzten Wurf ''Zahl'' oder ''Bild'' aufgetreten ist.
+*In manchen Anwendungsfällen ist die statistische Unabhängigkeit offensichtlich, zum Beispiel beim Experiment &bdquo;Münzwurf&rdquo;. Die Wahrscheinlichkeit für &bdquo;Zahl&rdquo; oder &bdquo;Bild&rdquo; ist unabhängig davon, ob beim letzten Wurf ''Zahl'' oder ''Bild'' aufgetreten ist.
-Und auch die einzelnen Ergebnisse beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind bei fairen Bedingungen stets statistisch unabhängig voneinander, auch wenn einzelne Systemspieler dies nicht wahrhaben wollen.
+*Und auch die einzelnen Ergebnisse beim Zufallsexperiment &bdquo;Werfen einer Roulettekugel&rdquo; sind bei fairen Bedingungen stets statistisch unabhängig voneinander, auch wenn einzelne Systemspieler dies nicht wahrhaben wollen.
-Bei anderen Anwendungen ist dagegen die Frage, ob zwei Ereignisse statistisch unabhängig sind oder nicht, gefühlsmäßig nicht oder nur sehr schwer zu beantworten. Hier kann man nur durch Überprüfung des oben angegebenen formalen Unabhängigkeitskriteriums zur richtigen Antwort kommen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.
+*Bei anderen Anwendungen ist dagegen die Frage, ob zwei Ereignisse statistisch unabhängig sind oder nicht, gefühlsmäßig nicht oder nur sehr schwer zu beantworten. Hier kann man nur durch Überprüfung des oben angegebenen formalen Unabhängigkeitskriteriums zur richtigen Antwort kommen, wie das folgende Beispiel zeigen soll.
@@ Zeile 35: / Zeile 34: @@
 Für die folgende Beschreibung definieren wir folgende Ereignisse:
-*$A_1$:&nbsp; Die Augenzahl des roten Würfels ist $R < 4$ (rote Hinterlegung) &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$,
+*$A_1$:&nbsp; Die Augenzahl des roten Würfels ist $R < 4$ (rote Hinterlegung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$,
-*$A_2$:&nbsp; Die Augenzahl des blauen Würfels ist $B > 4$ (blaue Schrift) &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_2) = 1/3$,
+*$A_2$:&nbsp; Die Augenzahl des blauen Würfels ist $B > 4$ (blaue Schrift) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_2) = 1/3$,
-*$A_3$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 7$ (grüne Umrahmung) &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$,
+*$A_3$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 7$ (grüne Umrahmung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$,
-*$A_4$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 8$  &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$,
+*$A_4$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 8$  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$,
-*$A_5$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 10$  &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_5) = 3/36$.
+*$A_5$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 10$  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_5) = 3/36$.
 <br clear=all>
 Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden:
-*Die beiden Ereignisse $A_1$ und $A_2$ sind sind statistisch unabhängig, da die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_2) = 1/6$ der Schnittmenge gleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$ und ${\rm Pr}(A_2) = 1/3$ ist. Aufgrund der Aufgabenstellung hätte auch jedes andere Ergebnis sehr überrascht.
+*Die beiden Ereignisse $A_1$ und $A_2$ sind statistisch unabhängig, da die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_2) = 1/6$ der Schnittmenge gleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$ und ${\rm Pr}(A_2) = 1/3$ ist. Aufgrund der Aufgabenstellung hätte auch jedes andere Ergebnis sehr überrascht.
 *Aber auch die Ereignisse $A_1$ und $A_3$  sind wegen ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$, ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$ und ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_3) = 1/12$ statistisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge $1/12$ ergibt sich, weil drei der $36$ Felder sowohl rot hinterlegt als auch grün umrandet sind.
-*Dagegen bestehen zwischen den Ereignissen $A_1$ und $A_4$ statistische Bindungen. Dies zeigt sich, da die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_4) = 1/18 = 4/72$ ungleich dem Produkt ${\rm Pr}(A_1) \cdot {\rm Pr}(A_4)= 1/2 \cdot 5/36 = 5/72$ ist.
+*Dagegen bestehen zwischen den Ereignissen $A_1$ und $A_4$ statistische Bindungen, da die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_4) = 1/18 = 4/72$ ungleich dem Produkt ${\rm Pr}(A_1) \cdot {\rm Pr}(A_4)= 1/2 \cdot 5/36 = 5/72$ ist.
-*Die beiden Ereignisse $A_1$ und $A_5$ sind sogar disjunkt &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_5) = 0$: Keines der rot hinterlegten Felder ist mit $S=10$ beschriftet. Dieses Beispiel zeigt, dass Disjunktivität eine besonders ausgeprägte Form von statistischer Abhängigkeit ist. }}
+*Die beiden Ereignisse $A_1$ und $A_5$ sind sogar disjunkt &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_5) = 0$: &nbsp; Keines der rot hinterlegten Felder ist mit $S=10$ beschriftet. Dieses Beispiel zeigt, dass Disjunktivität eine besonders ausgeprägte Form von statistischer Abhängigkeit ist. }}
 ==Bedingte Wahrscheinlichkeit==
@@ Zeile 55: / Zeile 54: @@
 Die '''bedingte Wahrscheinlichkeit''' (englisch: ''Conditional Probability'') von $A$ unter der Bedingung $B$ ist wie folgt berechenbar:
 :$${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} B) = \frac{ {\rm Pr}(A \cap B)}{ {\rm Pr}(B)}.$$
 In gleicher Weise gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit von $B$ unter der Bedingung $A$:
@@ Zeile 65: / Zeile 63: @@
 Nachfolgend sind einige Eigenschaften von bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammengestellt:
-*Auch eine bedingte Wahrscheinlichkeit liegt stets zwischen $0$ und $1$ einschließlich dieser beiden Grenzen: $0 \le {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \le 1$.
+*Auch eine bedingte Wahrscheinlichkeit liegt stets zwischen $0$ und $1$ einschließlich dieser beiden Grenzen: &nbsp; $0 \le {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \le 1$.
 *Kann die Bedingung $B$ als konstant angesehen werden, so gelten alle im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]] für die unbedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A)$ und ${\rm Pr}(B)$ angegebenen Rechenregeln weiterhin.
 *Sind die existierenden Ereignisse $A$ und $B$ disjunkt, so ist ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)= 0$.
 *Ist $B$ eine echte oder unechte Teilmenge von $A$, so ist ${\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) =1$.
-*Sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ statistisch voneinander unabhängig, so sind deren bedingte Wahrscheinlichkeiten gleich den unbedingten, wie die folgende Rechnung zeigt:
+*Sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ statistisch voneinander unabhängig, so sind deren bedingte Wahrscheinlichkeiten gleich den unbedingten, wie folgende Rechnung zeigt:
 :$${\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)} = \frac{{\rm Pr} ( A) \cdot {\rm Pr} ( B)} { {\rm Pr}(B)} = {\rm Pr} ( A).$$
 [[Datei:P_ID505__Sto_T_1_3_S2_neu.png |frame| Beispiel für statistisch abhängige Ereignisse|right]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Wir betrachten wieder das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;, wobei wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Allgemeine_Definition_von_statistischer_Abh.C3.A4ngigkeit|Beispiel 1]] $S = R + B$ die Summe des roten und des blauen Würfels bezeichnet.
+Wir betrachten wieder das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;, wobei wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Allgemeine_Definition_von_statistischer_Abh.C3.A4ngigkeit|$\text{Beispiel 1}$]] $S = R + B$ die Summe des roten und des blauen Würfels bezeichnet.
 Wir betrachten hier Bindungen zwischen den beiden Ereignissen
-*$A_1$: Die Augenzahl des roten Würfels ist $R < 4$ (rote Hinterlegung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$,
+*$A_1$:&nbsp; Die Augenzahl des roten Würfels ist $R < 4$ (rote Hinterlegung) &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$,
-*$A_4$: Die Summe der beiden Würfel ist $S = 8$ (grüne Umrahmung)  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$,
+*$A_4$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 8$ (grüne Umrahmung)  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$,
 und nehmen nochmals Bezug auf das Ereignis
-*$A_3$: Die Summe der beiden Würfel ist $S = 7$ &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$.
+*$A_3$:&nbsp; Die Summe der beiden Würfel ist $S = 7$ &nbsp;&rArr;&nbsp; ${\rm Pr}(A_3) = 1/6$.
+<br clear=all>
 Zu dieser Grafik ist anzumerken:
-*Zwischen den Ereignissen $A_1$ und $A_4$ bestehen statistische Bindungen, da die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_4) = 1/18 = 4/72$ ungleich dem Produkt ${\rm Pr}(A_1) \cdot {\rm Pr}(A_4)= 1/2 \cdot 5/36 = 5/72$ ist.
+*Zwischen den Ereignissen $A_1$ und $A_4$ bestehen statistische Bindungen, da die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge  &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_4) = 2/36 = 4/72$ ungleich dem Produkt ${\rm Pr}(A_1) \cdot {\rm Pr}(A_4)= 1/2 \cdot 5/36 = 5/72$ ist.
 *Die bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_1 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} A_4) = 2/5$ kann aus dem Quotienten der Verbundwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_1 ∩ A_4) = 2/36$ und der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_4) = 5/36$ berechnet werden.
 *Da $A_1$ und $A_4$ statistisch abhängig sind, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_1 \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} A_4) = 2/5$  (zwei der fünf grün umrandeten Felder sind rot hinterlegt) ungleich der absoluten Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_1) = 1/2$ (die Hälfte aller Felder sind rot hinterlegt).

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-{{Definition}}
+{{BlaueBox|TEXT=
 Für die so genannte '''Verbundwahrscheinlichkeit''', also für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge aller $I$ Ereignisse $A_i$, gilt in diesem Fall:
-$${\rm Pr}(A_{\rm 1} \cap \hspace{0.1cm} ...\hspace{0.1cm} \cap A_{I})  =
+:$${\rm Pr}(A_{\rm 1} \cap \hspace{0.02cm}\text{ ...}\hspace{0.1cm} \cap A_{I})  =
-  {\rm Pr}(A_{I})\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_{I \rm \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}|  \hspace{0.05cm} A_I) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_{I \rm \hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}2} \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A_{I \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} \rm 1}\cap A_I)\hspace{0.05cm} \cdot ...  \cdot\hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A_{\rm 1} \hspace{0.05cm}|  \hspace{0.05cm}A_{\rm 2} \cap \hspace{0.1cm} ...  \hspace{0.1cm}\cap A_{ I}).$$
+  {\rm Pr}(A_{I})\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_{I \rm \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}\vert  \hspace{0.05cm} A_I) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_{I \rm \hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}2} \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{I \hspace{-0.05cm} - \hspace{-0.05cm} \rm 1}\cap A_I)\hspace{0.05cm} \cdot  \hspace{0.02cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm}  \cdot\hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A_{\rm 1} \hspace{0.05cm}\vert  \hspace{0.05cm}A_{\rm 2} \cap \hspace{0.02cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm}\cap A_{ I}).$$
 In gleicher Weise gilt natürlich auch:
-$${\rm Pr}(A_{\rm 1} \cap \hspace{0.1cm} ...\hspace{0.1cm} \cap A_{I})  =  {\rm Pr}(A_1)\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_2 \hspace{0.05cm}|  \hspace{0.05cm} A_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_3 \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}  A_1\cap  A_2)\hspace{0.05cm} \cdot ...  \cdot\hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A_I \hspace{0.05cm}|  \hspace{0.05cm}A_1 \cap \hspace{0.1cm} ...  \hspace{0.1cm}\cap A_{ I-1}).$$
+:$${\rm Pr}(A_{\rm 1} \cap \hspace{0.02cm}\text{ ...}\hspace{0.1cm} \cap A_{I})  =  {\rm Pr}(A_1)\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_2 \hspace{0.05cm}\vert  \hspace{0.05cm} A_1) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(A_3 \hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}  A_1\cap  A_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.02cm}\text{ ...}\hspace{0.1cm}  \cdot\hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A_I \hspace{0.05cm}\vert  \hspace{0.05cm}A_1 \cap \hspace{0.02cm} \text{ ...}  \hspace{0.1cm}\cap A_{ I-1}).$$}}
-{{Beispiel}}
 Eine Lostrommel enthält zehn Lose, darunter drei Treffer (Ereignis $T_1$). Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man mit zwei Losen zwei Treffer zieht:
-:$${\rm Pr}(T_1 \cap T_2) = {\rm Pr}(T_1) \cdot {\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm }|  \hspace{0.05cm} T_1) = 3/10 \cdot 2/9 = 1/15 \approx 6.7 \%.$$
+:$${\rm Pr}(T_1 \cap T_2) = {\rm Pr}(T_1) \cdot {\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm }\vert \hspace{0.05cm} T_1) = 3/10 \cdot 2/9 = 1/15 \approx 6.7 \%.$$
-*Hierbei ist berücksichtigt, dass sich bei der zweiten Ziehung (Ereignis $T_2$) nur mehr neun Lose und zwei Treffer in der Urne befänden, wenn im ersten Durchgang ein Treffer gezogenworden wäre &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} T_1) = 2/9$ .
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass sich bei der zweiten Ziehung (Ereignis $T_2$) nur mehr neun Lose und zwei Treffer in der Urne befänden, wenn im ersten Durchgang ein Treffer gezogenworden wäre &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm Pr}(T_2 \hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} T_1) = 2/9$ .
 *Würde man jedoch die Lose nach der Ziehung wieder in die Trommel zurücklegen, so wären die Ereignisse $T_1$ und $T_2$ statistisch unabhängig und es würde gelten:
-:$$ {\rm Pr}(T_1 ∩ T_2) = (3/10)^2 = 9\%.$$
+:$$ {\rm Pr}(T_1 ∩ T_2) = (3/10)^2 = 9\%.$$}}
 ==Rückschlusswahrscheinlichkeit==
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 *Alle Ereignisse sind paarweise disjunkt $(A_i ∩ A_j = ϕ$ für alle $i ≠ j$).
 *Die Vereinigungsmenge ergibt die Grundmenge:
-$$\rm \bigcup_{\it i=1}^{\it I}\it A_i = \it G.$$
+:$$\rm \bigcup_{\it i=1}^{\it I}\it A_i = \it G.$$
 Daneben betrachten wir noch das Ereignis $B$, von dem alle bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A_i)$ mit den Indizes $1 ≤ i ≤ I$ bekannt sind.
-{{Definition}}
+{{BlaueBox|TEXT=
-'''Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:''' Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt für die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$:
+$\text{Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:}$&nbsp;
-$${\rm Pr}(B) = \sum_{i={\rm1}}^{I}{\rm Pr}(B \cap A_i) = \sum_{i={\rm1}}^{I}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A_i)\cdot{\rm Pr}(A_i).$$
+Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt für die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$:
-{{end}}
+:$${\rm Pr}(B) = \sum_{i={\rm1} }^{I}{\rm Pr}(B \cap A_i) = \sum_{i={\rm1} }^{I}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} A_i)\cdot{\rm Pr}(A_i).$$}}
 Aus dieser Gleichung folgt mit dem  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit|Satz von Bayes]]  für die '''Rückschlusswahrscheinlichkeit''':
-$${\rm Pr}(A_i \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}( B \mid A_i)\cdot {\rm Pr}(A_i )}{{\rm Pr}(B)} = \frac{{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A_i)\cdot {\rm Pr}(A_i )}{\sum_{k={\rm1}}^{I}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A_k)\cdot{\rm Pr}(A_k)}.$$
+:$${\rm Pr}(A_i \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} B) = \frac{ {\rm Pr}( B \mid A_i)\cdot {\rm Pr}(A_i )}{ {\rm Pr}(B)} = \frac{ {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} A_i)\cdot {\rm Pr}(A_i )}{\sum_{k={\rm1} }^{I}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} A_k)\cdot{\rm Pr}(A_k) }.$$}}
-{{Beispiel}}
+{{GraueBox|TEXT=
 In Münchner Studentenheimen wohnen Studierende
 *der LMU (Ereignis $L$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(L) = 70\%$) und
 *der TUM (Ereignis $T$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm Pr}(T) = 30\%$).
 Es ist weiterhin bekannt, dass an der LMU 60% aller Studierenden weiblich sind, an der TUM nur 10%.
 *Der Anteil aller Studentinnen (Ereignis $W$) kann dann mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit ermittelt werden:
-:$${\rm Pr}(W) = \rm Pr(W \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(L) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm Pr}r(W \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}d T)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(T) = \rm 0.6\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}0.7\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}0.1\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}0.3 = 45 \%.$$
+:$${\rm Pr}(W) = \rm Pr(W \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} L)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(L) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm Pr}r(W \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}d T)\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}{\rm Pr}(T) = \rm 0.6\hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm}0.7\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}0.1\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}0.3 = 45 \%.$$
 *Trifft man eine Studentin, so kann man mit der Rückschlusswahrscheinlichkeit
-:$${\rm Pr}(L \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}W) = \frac{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L)\cdot  {\rm Pr}(L) }{{\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L) \cdot  {\rm Pr}(L) +{\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}T) \cdot  {\rm Pr}(T)}=\rm \frac{0.6\cdot 0.7}{0.6\cdot 0.7 + 0.1\cdot 0.3}=\frac{14}{15}$$
+:$${\rm Pr}(L \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}W) = \frac{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L)\cdot  {\rm Pr}(L) }{ {\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}L) \cdot  {\rm Pr}(L) +{\rm Pr}(W \hspace{-0.05cm}\mid  \hspace{-0.05cm}T) \cdot  {\rm Pr}(T)}=\rm \frac{0.6\cdot 0.7}{0.6\cdot 0.7 + 0.1\cdot 0.3}=\frac{14}{15}$$
-:vorhersagen, dass sie an der LMU studieren wird. Ein durchaus realistisches Ergebnis.
+:vorhersagen, dass sie an der LMU studieren wird. Ein durchaus realistisches Ergebnis.}}
-Die Aussagen dieses Abschnitts sind im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:
+Die Aussagen dieses Abschnitts sind im Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und  Unabhängigkeit]] zusammengefasst.
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 {{Beispiel}}
-[[Datei:P_ID502__Sto_T_1_3_S1_neu.png|right| Beispiele für statistisch unabhängige Ereignisse]]
+[[Datei:P_ID502__Sto_T_1_3_S1_neu.png|right|frame| Beispiele für statistisch unabhängige Ereignisse]]
 Wir betrachten wieder das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;, wobei die beiden Würfel an ihren Farben Rot $(R)$ und Blau $(B)$ unterschieden werden können. Die Grafik soll diesen Sachverhalt verdeutlichen, wobei in dem zweidimensionalen Feld $(R, B)$ die Summe $S = R + B$ eingetragen ist.
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 {{Beispiel}}
-[[Datei:P_ID505__Sto_T_1_3_S2_neu.png | Beispiel für statistisch abhängige Ereignisse|right]]
+[[Datei:P_ID505__Sto_T_1_3_S2_neu.png |frame| Beispiel für statistisch abhängige Ereignisse|right]]
 Wir betrachten wieder das Zufallsexperiment &bdquo;Werfen mit zwei Würfeln&rdquo;, wobei wie im [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit#Allgemeine_Definition_von_statistischer_Abh.C3.A4ngigkeit|letzten Beispiel]] $S = R + B$ die Summe des roten und des blauen Würfels bezeichnet.