Stochastische Signaltheorie/Poissonverteilung - Versionsgeschichte

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2021-12-15T12:12:58Z

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2018-08-07T13:08:37Z

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2018-04-04T15:49:29Z

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Guenter am 5. März 2017 um 13:46 Uhr

2017-03-05T13:46:26Z

Guenter am 5. März 2017 um 13:44 Uhr

2017-03-05T13:44:52Z

Guenter am 5. März 2017 um 13:39 Uhr

2017-03-05T13:39:11Z

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 $\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Poissonverteilung'''&nbsp; ist ein Grenzfall der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Allgemeine_Beschreibung_der_Binomialverteilung|Binomialverteilung]], wobei
 *zum einen von den Grenzübergängen&nbsp; $I → ∞$&nbsp; und&nbsp; $p → 0$&nbsp; ausgegangen wird,
-*zusätzlich vorausgesetzt ist, dass das Produkt&nbsp; $I · p = λ$&nbsp; einen endlichen Wert besitzt.
+*zusätzlich vorausgesetzt ist,&nbsp; dass das Produkt&nbsp; $I · p = λ$&nbsp; einen endlichen Wert besitzt.
-Der Parameter&nbsp;  $λ$&nbsp; gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als die&nbsp; '''Rate'''&nbsp; bezeichnet. }}
+Der Parameter&nbsp;  $λ$&nbsp; gibt die mittlere Anzahl der „Einsen” in einer festgelegten Zeiteinheit an und wird als&nbsp; '''Rate'''&nbsp; bezeichnet. }}
 Weiter ist anzumerken:
-*Im Gegensatz zur Binomialverteilung&nbsp; $(0 ≤ μ ≤ I)$&nbsp; kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen.
+*Im Gegensatz zur Binomialverteilung&nbsp; $(0 ≤ μ ≤ I)$&nbsp; kann hier die Zufallsgröße beliebig große&nbsp; (ganzzahlige, nichtnegative)&nbsp; Werte annehmen.
-* Das bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist.
+* Das bedeutet,&nbsp; dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist.
-*Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer&nbsp; ''diskreten Verteilung''.
+*Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können,&nbsp; spricht man auch hier von einer&nbsp; ''diskreten Verteilung''.
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 $\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
-Berücksichtigt man obige Grenzübergänge bei den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]],&nbsp; so folgt für die&nbsp; '''Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung''' :
+*Berücksichtigt man obige Grenzübergänge bei den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]],&nbsp; so folgt für die&nbsp; '''Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung''':
 :$$p_\mu = {\rm Pr} ( z=\mu ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot (I-\mu  )!} \cdot (\frac{\lambda}{I}  )^\mu \cdot  ( 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$
-Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen:
+*Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen:
 :$$p_\mu = \frac{ \lambda^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-\lambda}.$$}}
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten
-*der Binomialverteilung mit&nbsp; $I =6$, $p = 0.4$,&nbsp; und
+*der Binomialverteilung mit&nbsp; $I =6$,&nbsp; $p = 0.4$,&nbsp; und
 *der Poissonverteilung mit&nbsp; $λ = 2.4$
-sind der nebenstehenden Grafik zu entnehmen. Man erkennt:
+sind der nebenstehenden Grafik zu entnehmen.&nbsp; Man erkennt:
 *Beide Verteilungen besitzen den gleichen Mittelwert&nbsp; $m_1 = 2.4$.
 *Bei der Poissonverteilung&nbsp; (rote Pfeile und Beschriftung)&nbsp; sind die &bdquo;äußeren Werte&rdquo; wahrscheinlicher als bei der Binomialverteilung.
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 $\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
-Mittelwert und Streuung der Poissonverteilung ergeben sich direkt aus den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Momente_der_Binomialverteilung|entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung]]&nbsp; durch zweifache Grenzwertbildung:
+*Mittelwert und Streuung der Poissonverteilung ergeben sich aus den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Momente_der_Binomialverteilung|entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung]]&nbsp; durch zweifache Grenzwertbildung:
 :$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0} }\right.} I \cdot p= \lambda,$$
 :$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0} }\right.} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$
-Daraus ist ersichtlich, dass bei der Poissonverteilung stets&nbsp; $σ^2 = m_1 = λ$&nbsp; gilt. }}
+*Daraus ist ersichtlich, dass bei der Poissonverteilung stets&nbsp; $σ^2 = m_1 = λ$&nbsp; gilt. }}
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 *Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert&nbsp; $m_1 = 2.4$.
 *Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung&nbsp; $σ ≈ 1.55$.
-*Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Standardabweichung dagegen nur&nbsp; $σ = 1.2$.}}
+*Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Streuung dagegen nur&nbsp; $σ = 1.2$.}}
-Mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]]&nbsp; können Sie die Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte (Momente) der Poissonverteilung für beliebige&nbsp; $λ$–Werte ermitteln und sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede gegenüber der Binomialverteilung verdeutlichen.
+Mit dem interaktiven HTML5/JavaScript&ndash; Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|"Binomial&ndash; und Poissonverteilung"]]&nbsp; können Sie die Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte (Momente) der Poissonverteilung für beliebige&nbsp; $λ$–Werte ermitteln und sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede gegenüber der Binomialverteilung verdeutlichen.
 ==Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung==
 <br>
 Nun sollen sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede zwischen binomial&ndash; und poissonverteilten Zufallsgrößen nochmals herausgearbeitet werden.
+[[Datei:  P_ID60__Sto_T_2_4_S3_neu.png |right|frame| Schema für Binomialverteilung und Poissonverteilung]]
-Die&nbsp; '''Binomialverteilung'''&nbsp; ist zur Beschreibung von solchen stochastischen Ereignissen geeignet, die durch einen vorgegebenen Takt&nbsp; $T$&nbsp; gekennzeichnet sind.&nbsp; Beispielsweise beträgt bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]&nbsp;  (''Integrated Services Digital Network'')&nbsp; mit&nbsp; $64 \ \rm kbit/s$&nbsp; die Taktzeit&nbsp; $T \approx 15.6 \ \rm &micro; s$.
 *Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf.&nbsp; Solche Ereignisse sind zum Beispiel die fehlerfreie&nbsp; $(e_i = 0)$&nbsp; oder fehlerhafte&nbsp; $(e_i = 1)$&nbsp; Übertragung einzelner Symbole.
-*Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall&nbsp; $T_{\rm I} = I · T$&nbsp; zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend dem oberen Diagramm der folgenden Grafik (blau markierte Zeitpunkte).
+*Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall&nbsp; $T_{\rm I} = I · T$&nbsp; zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend dem oberen Diagramm  (blau markierte Zeitpunkte).
 Auch die&nbsp; '''Poissonverteilung'''&nbsp; macht Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall:
-*Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum&nbsp; $T_{\rm I}$&nbsp; aus und vergrößert die Anzahl&nbsp; $I$&nbsp; der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit&nbsp; $T$, zu der jeweils ein neues Binärereignis&nbsp; („0” oder „1”)&nbsp; eintreten kann, immer kleiner.&nbsp; Im Grenzfall geht&nbsp; $T$&nbsp; gegen Null.
+*Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum&nbsp; $T_{\rm I}$&nbsp; aus und vergrößert die Anzahl&nbsp; $I$&nbsp; der Teilintervalle immer mehr,&nbsp; so wird die Taktzeit&nbsp; $T$, zu der jeweils ein neues Binärereignis&nbsp; („0” oder „1”)&nbsp; eintreten kann,&nbsp; immer kleiner.&nbsp; Im Grenzfall geht&nbsp; $T \to 0$.
-*Das heißt:&nbsp; Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit.&nbsp; Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
+*Das heißt:&nbsp; Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten,&nbsp; durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich,&nbsp; sondern jederzeit.&nbsp; Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
-*Um im Mittel während der Zeit&nbsp; $T_{\rm I}$&nbsp; genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten&nbsp; (im Beispiel:&nbsp; sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall&nbsp; $T$&nbsp; bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$&nbsp; gegen Null tendieren.
+*Um im Mittel während der Zeit&nbsp; $T_{\rm I}$&nbsp; genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten&nbsp; (im Beispiel:&nbsp; sechs),&nbsp; muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall&nbsp; $T$&nbsp; bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$&nbsp; gegen Null tendieren.
 ==Anwendungen der Poissonverteilung==
 <br>
-Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Prozess Poissonprozesses].&nbsp; Ein solcher dient häufig als Modell für Ereignisfolgen, die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können.&nbsp; Beispiele für derartige Ereignisse sind
+Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Prozess Poissonprozesses].&nbsp; Ein solcher dient häufig als Modell für Ereignisfolgen,&nbsp; die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können.&nbsp; Beispiele für derartige Ereignisse sind
 *der Ausfall von Geräten – eine wichtige Aufgabenstellung in der Zuverlässigkeitstheorie,
-*das Schrotrauschen bei der optischen Übertragung, und
+*das Schrotrauschen bei der optischen Übertragung,&nbsp; und
 *der Beginn von Telefongesprächen in einer Vermittlungsstelle&nbsp; („Verkehrstheorie”).
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute&nbsp; $($also&nbsp; $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde})$&nbsp; ein, so lauten die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_\mu$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau&nbsp; $\mu$&nbsp; Belegungen auftreten:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute&nbsp; $($also&nbsp; $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde})$&nbsp; ein,&nbsp; so lauten die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_\mu$,&nbsp; dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau&nbsp; $\mu$&nbsp; Belegungen auftreten:
 :$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$

@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 $\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
-Mittelwert und Streuung der Poissonverteilung ergeben sich direkt aus den entsprechenden&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Momente_der_Binomialverteilung|Gleichungen der Binomialverteilung]]&nbsp; durch zweifache Grenzwertbildung:
+Mittelwert und Streuung der Poissonverteilung ergeben sich direkt aus den&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Momente_der_Binomialverteilung|entsprechenden Gleichungen der Binomialverteilung]]&nbsp; durch zweifache Grenzwertbildung:
 :$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0} }\right.} I \cdot p= \lambda,$$
 :$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0} }\right.} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$

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 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''Poissonverteilung''' ist ein Grenzfall der [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Allgemeine_Beschreibung_der_Binomialverteilung|Binomialverteilung]], wobei
-Die '''Poissonverteilung''' ist ein Grenzfall der [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Allgemeine_Beschreibung_der_Binomialverteilung|Binomialverteilung]], wobei
+*zum einen von den Grenzübergängen $I → ∞$ und $p → 0$ ausgegangen wird,
 *zusätzlich vorausgesetzt ist, dass das Produkt $I · p = λ$ einen endlichen Wert besitzt.
@@ Zeile 18: / Zeile 17: @@
 Weiter ist anzumerken:
-*Im Gegensatz zur Binomialverteilung $(0 ≤ μ ≤ I)$ kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen, was bedeutet, dass die Menge der möglichen Werte hier nicht abzählbar ist.
+*Im Gegensatz zur Binomialverteilung $(0 ≤ μ ≤ I)$ kann hier die Zufallsgröße beliebig große (ganzzahlige, nichtnegative) Werte annehmen.
 *Da jedoch keine Zwischenwerte auftreten können, spricht man auch hier von einer ''diskreten Verteilung''.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
+$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Berücksichtigt man die oben genannten Grenzübergänge in der Gleichung für die [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung|Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]], so folgt für die '''Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung''' :
 :$$p_\mu = {\rm Pr} ( z=\mu ) = \lim_{I\to\infty} \cdot \frac{I !}{\mu ! \cdot (I-\mu  )!} \cdot (\frac{\lambda}{I}  )^\mu \cdot  ( 1-\frac{\lambda}{I})^{I-\mu}.$$
 Daraus erhält man nach einigen algebraischen Umformungen:
@@ Zeile 32: / Zeile 31: @@
 [[Datei: P_ID615__Sto_T_2_4_S1_neu.png |frame| Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung | rechts]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten von
 *Binomialverteilung mit $I =6$, $p = 0.4$, und
 *Poissonverteilung mit $λ = 2.4$
-sind nebenstehender Grafik zu entnehmen. Man erkennt:
+sind der nebenstehenden Grafik zu entnehmen. Man erkennt:
 *Beide Verteilungen besitzen den gleichen Mittelwert $m_1 = 2.4$.
 *Bei der Poissonverteilung (rote Pfeile und Beschriftung) sind die &bdquo;äußeren Werte&rdquo; wahrscheinlicher als bei der Binomialverteilung.
-*Zudem sind hier auch Zufallsgrößen $z > 6$ möglich, obwohl deren Wahrscheinlichkeiten bei der gewählten Rate eher klein sind. }}
+*Zudem sind bei der Poissonverteilung auch Zufallsgrößen $z > 6$ möglich, obwohl deren Wahrscheinlichkeiten bei der gewählten Rate eher klein sind. }}
 ==Momente der Poissonverteilung==
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp;
+$\text{Berechnungsvorschrift:}$&nbsp; Mittelwert und Streuung der Poissonverteilung ergeben sich direkt aus den entsprechenden [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Momente_der_Binomialverteilung|Gleichungen der Binomialverteilung]] durch zweifache Grenzwertbildung:
 :$$m_1 =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0} }\right.} I \cdot p= \lambda,$$
 :$$\sigma =\lim_{\left.{I\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm}\infty \atop {p\hspace{0.05cm}\to\hspace{0.05cm} 0} }\right.} \sqrt{I \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt {\lambda}.$$
@@ Zeile 58: / Zeile 55: @@
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Wie im Beispiel 1 werden hier miteinander verglichen:
+Wie im $\text{Beispiel 1}$ werden hier miteinander verglichen:
 *die Binomialverteilung mit $I =6$, $p = 0.4$, und
 *und die Poissonverteilung mit $λ = 2.4$
@@ Zeile 66: / Zeile 63: @@
 *Beide Verteilungen besitzen genau den gleichen Mittelwert $m_1 = 2.4$.
 *Bei der Poissonverteilung (im Bild rot markiert) beträgt die Streuung $σ ≈ 1.55$.
-*Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Standardabweichung nur $σ = 1.2$.}}
+*Bei der (blauen) Binomialverteilung ist die Standardabweichung dagegen nur $σ = 1.2$.}}
-Mit dem Berechnungstool [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]] können Sie die Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte der Poissonverteilung für beliebige $λ$–Werte ermittelnund sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede gegenüber der Binomialverteilung verdeutlichen.
+Mit dem interaktiven Applet [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial&ndash; und Poissonverteilung]] können Sie die Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte der Poissonverteilung für beliebige $λ$–Werte ermitteln und sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede gegenüber der Binomialverteilung verdeutlichen.
 ==Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung==
 <br>
-In diesem Abschnitt sollen sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen nochmals herausgearbeitet werden.
+Nun sollen sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede zwischen binomial&ndash; und poissonverteilten Zufallsgrößen nochmals herausgearbeitet werden.
-Die '''Binomialverteilung''' ist zur Beschreibung von solchen stochastischen Ereignissen geeignet, die durch einen vorgegebenen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]  (''Integrated Services Digital Network'') mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm μs$.
+Die '''Binomialverteilung''' ist zur Beschreibung von solchen stochastischen Ereignissen geeignet, die durch einen vorgegebenen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]  (''Integrated Services Digital Network'') mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm &micro; s$.
-*Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.
+*Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind zum Beispiel die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.
 *Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des oberen Diagramms der folgenden Grafik (blau markierte Zeitpunkte).
-[[Datei:  P_ID60__Sto_T_2_4_S3_neu.png |center|frame| Binomialverteilung vs. Poissonverteilung]]
 Auch die '''Poissonverteilung''' macht Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall:
@@ Zeile 97: / Zeile 95: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute (also $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$) ein, so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_\mu$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:
 :$$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$
-Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_2 = 0.251$, usw.
+Es ergeben sich die Zahlenwerte &nbsp;$p_0 = 0.223$, &nbsp;$p_1 = 0.335$, &nbsp;$p_2 = 0.251$, usw.
 Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:
-*Die Abtand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]].
+*Die Abstand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]].
 *Die mittlere Zeitspanne zwischen zwei Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.}}

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 {{Beispiel}}
-[[Datei: P_ID615__Sto_T_2_4_S1_neu.png | Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung | rechts]]
+[[Datei: P_ID615__Sto_T_2_4_S1_neu.png |frame| Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung | rechts]]
 Die Wahrscheinlichkeiten von
 *Binomialverteilung mit $I =6$, $p = 0.4$, und
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 {{Beispiel}}
-[[Datei: P_ID616__Sto_T_2_4_S2neu.png | Momente der Poissonverteilung | rechts]]
+[[Datei: P_ID616__Sto_T_2_4_S2neu.png |frame| Momente der Poissonverteilung | rechts]]
 Wie im letzten Beispiel werden hier
 *die Binomialverteilung mit $I =6$, $p = 0.4$, und
@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
-[[Datei:  P_ID60__Sto_T_2_4_S3_neu.png | Binomialverteilung vs. Poissonverteilung]]
+[[Datei:  P_ID60__Sto_T_2_4_S3_neu.png |frame| Binomialverteilung vs. Poissonverteilung]]

@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:2.5 „Binomial” oder „Poisson”|Aufgabe 2.5: &nbsp; „Binomial” oder „Poisson”]]
+[[Aufgaben:2.5 „Binomial” oder „Poisson”?|Aufgabe 2.5: &nbsp; „Binomial” oder „Poisson”?]]
 [[Aufgaben:2.5Z_Blumenwiese|Zusatzaufgabe 2.5Z: &nbsp; Blumenwiese]]

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 $$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$
-Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_ =$ 0.251$, usw.
+Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_2 = 0.251$, usw.
 Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:
@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 *Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.
 {{Display}}

@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 *Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T$, zu der jeweils ein neues Binärereignis („0” oder „1”) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null.
 *Das heißt: Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
-*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die (charakteristische) Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.
+*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die auf das infinitesimal kleine Zeitintervall $T$ bezogene charakteristische Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 ==Anwendungen der Poissonverteilung==
-Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten Poissonprozesses. Ein solcher dient häufig als Modell für Folgen von Ereignissen, die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können. Beispiele für derartige Ereignisse sind
+Die Poissonverteilung ist das Ergebnis eines so genannten [https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Prozess Poissonprozesses]. Ein solcher dient häufig als Modell für Folgen von Ereignissen, die zu zufälligen Zeitpunkten eintreten können. Beispiele für derartige Ereignisse sind
 *der Ausfall von Geräten – eine wichtige Aufgabenstellung in der Zuverlässigkeitstheorie,
 *das Schrotrauschen bei der optischen Übertragung, und
@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 {{Beispiel}}
-Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute (entsprechend $λ =$ 1.5 pro Sekunde) ein, so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_µ$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:
+Gehen bei einer Vermittlungsstelle im Langzeitmittel neunzig Vermittlungswünsche pro Minute (entsprechend $λ = 1.5 \text{ pro Sekunde}$) ein, so lauten die Wahrscheinlichkeiten $p_µ$, dass in einem beliebigen Zeitraum von einer Sekunde genau $\mu$ Belegungen auftreten:
 $$p_\mu = \frac{1.5^\mu}{\mu!}\cdot {\rm e}^{-1.5}.$$
-Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 =$ 0.223, $p_1 =$ 0.335, $p_2 =$ 0.251, usw.
+Es ergeben sich die Zahlenwerte $p_0 = 0.223$, $p_1 = 0.335$, $p_ =$ 0.251$, usw.
 Daraus lassen sich weitere Kenngrößen ableiten:
 *Die Abtand $τ$ zwischen zwei Vermittlungswünschen genügt der [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]].
-*Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt E[ $τ$] $= 1/λ ≈$ 0.667 s.
+*Die mittlere Zeitspanne zwischen Vermittlungswünschen beträgt ${\rm E}[τ] = 1/λ ≈ 0.667 \ \rm s$.

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 *die Binomialverteilung mit $I =6$, $p = 0.4$, und
 *und die Poissonverteilung mit $λ = 2.4$
 miteinander verglichen:
@@ Zeile 61: / Zeile 62: @@
 ==Gegenüberstellung Binomialverteilung vs. Poissonverteilung==
-Im Folgenden sollen die Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen nochmals herausgearbeitet werden.
+Im Folgenden sollen sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede zwischen binomial- und poissonverteilten Zufallsgrößen nochmals herausgearbeitet werden.
-Die Binomialverteilung ist zur Beschreibung von solchen stochastischen Ereignissen geeignet, die durch einen vorgegebenen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]  (''Integrated Services Digital Network'') mit 64 kbit/s die Taktzeit $T$ etwa 15.6 μs.
+Die '''Binomialverteilung''' ist zur Beschreibung von solchen stochastischen Ereignissen geeignet, die durch einen vorgegebenen Takt $T$ gekennzeichnet sind. Beispielsweise beträgt bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]  (''Integrated Services Digital Network'') mit $64 \ \rm kbit/s$ die Taktzeit $T \approx 15.6 \ \rm μs$.
 *Nur in diesem Zeitraster treten binäre Ereignisse auf. Solche Ereignisse sind beispielsweise die fehlerfreie $(e_i = 0)$ oder fehlerhafte $(e_i = 1)$ Übertragung einzelner Symbole.
 *Die Binomialverteilung ermöglicht nun statistische Aussagen über die Anzahl der in einem längeren Zeitintervall $T_{\rm I} = I · T$ zu erwartenden Übertragungsfehler entsprechend des oberen Zeitdiagramms (blau markierte Zeitpunkte).
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-Auch die Poissonverteilung macht Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall:
+Auch die '''Poissonverteilung''' macht Aussagen über die Anzahl eintretender Binärereignisse in einem endlichen Zeitintervall:
 *Geht man hierbei vom gleichen Betrachtungszeitraum $T_{\rm I}$ aus und vergrößert die Anzahl $I$ der Teilintervalle immer mehr, so wird die Taktzeit $T$, zu der jeweils ein neues Binärereignis („0” oder „1”) eintreten kann, immer kleiner. Im Grenzfall geht $T$ gegen Null.
-*Das heißt: Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Bild verdeutlicht diesen Sachverhalt.
+*Das heißt: Bei der Poissonverteilung sind die binären Ereignisse nicht nur zu diskreten, durch ein Zeitraster vorgegebenen Zeitpunkten möglich, sondern jederzeit. Das untere Zeitdiagramm verdeutlicht diesen Sachverhalt.
-*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die (charakteristische) Wahrscheinlichkeit $p =$ Pr( $e_i =$ 1) gegen Null tendieren.
+*Um im Mittel während der Zeit $T_{\rm I}$ genau so viele „Einsen” wie bei der Binomialverteilung zu erhalten (im Beispiel: sechs), muss allerdings die (charakteristische) Wahrscheinlichkeit $p = {\rm Pr}( e_i = 1)$ gegen Null tendieren.
-Das folgende Interaktionsmodul erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten und Momente:
+[[Gegenüberstellung Binomialverteilung – Poissonverteilung]]
 ==Anwendungen der Poissonverteilung==