Stochastische Signaltheorie/Momente einer diskreten Zufallsgröße - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Februar 2022 um 13:26 Uhr

2022-02-18T13:26:00Z

Guenter am 17. Februar 2022 um 14:46 Uhr

2022-02-17T14:46:41Z

Guenter am 17. Februar 2022 um 13:30 Uhr

2022-02-17T13:30:10Z

Bene am 15. Februar 2022 um 16:21 Uhr

2022-02-15T16:21:08Z

Guenter am 14. Februar 2022 um 15:21 Uhr

2022-02-14T15:21:09Z

Guenter am 14. Februar 2022 um 14:07 Uhr

2022-02-14T14:07:26Z

Guenter am 7. Dezember 2021 um 12:57 Uhr

2021-12-07T12:57:02Z

Guenter am 6. Dezember 2021 um 15:58 Uhr

2021-12-06T15:58:55Z

Guenter am 12. November 2019 um 17:25 Uhr

2019-11-12T17:25:04Z

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Guenter am 2. August 2018 um 15:48 Uhr

2018-08-02T15:48:53Z

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 $\text{Hinweise zu den Einheiten:}$
-#Bei einem Nachrichtensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die gesamte Leistung&nbsp; (Gleichleistung plus Wechselleitung)&nbsp; eines Zufallssignals an,&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
+#Bei einem Zufallssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die gesamte Leistung&nbsp; (Gleichleistung plus Wechselleitung)&nbsp; an,&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
-#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Spannung,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; (englisch:&nbsp; "root mean square")&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm V}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2/R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm V^2/(V/A) = W$.
+#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; (englisch:&nbsp; "root mean square")&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2/R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm V^2/(V/A) = W$.
-#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Stromverlauf,&nbsp; so besitzt&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm A}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm A}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2\cdot R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm A^2 \cdot(V/A) = W$.
+#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Stromverlauf,&nbsp; so hat&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm A}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm A}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2\cdot R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm A^2 \cdot(V/A) = W$.
 #Nur im Sonderfall&nbsp; $m_1=0$&nbsp; ist die Varianz&nbsp; $σ^2=m_2$.&nbsp;  Dann stimmt auch die Standardabweichung &nbsp; $σ$&nbsp; mit dem Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}$&nbsp; überein.
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 Die gleiche Varianz&nbsp;  $ σ^2 =  0.64\hspace{0.05cm}  {\rm V}^2$ und die gleiche Standardabweichung&nbsp; $σ = 0.8 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; ergeben sich für die Amplituden&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm L)$&nbsp; und $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm H)$,&nbsp; vorausgesetzt, die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; bleiben gleich.&nbsp; Nur der Gleichanteil und die Gesamtleistung ändern sich:
-:$$m_1 =  1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, \hspace{0.5cm}P  = {m_1}^2 +\sigma^2  = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$
+:$$m_1 = 1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, $$
+:$$P = {m_1}^2 +\sigma^2 = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; das&nbsp; '''Moment zweiter Ordnung''':
+*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; das&nbsp; '''Moment zweiter Ordnung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "second order moment"):
 :$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$

@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; das Moment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; der&nbsp; '''quadratische Mittelwert'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "quadratic mean"):
+*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; das&nbsp; '''Moment zweiter Ordnung''':
 :$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$
@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
 #Bei einem Nachrichtensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die gesamte Leistung&nbsp; (Gleichleistung plus Wechselleitung)&nbsp; eines Zufallssignals an,&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
-#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Spannung,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; (englisch:&nbsp; "root mean value")&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm V}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2/R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm V^2/(V/A) = W$.
+#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Spannung,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; (englisch:&nbsp; "root mean square")&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm V}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2/R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm V^2/(V/A) = W$.
 #Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Stromverlauf,&nbsp; so besitzt&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm A}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm A}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2\cdot R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm A^2 \cdot(V/A) = W$.
 #Nur im Sonderfall&nbsp; $m_1=0$&nbsp; ist die Varianz&nbsp; $σ^2=m_2$.&nbsp;  Dann stimmt auch die Standardabweichung &nbsp; $σ$&nbsp; mit dem Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}$&nbsp; überein.

@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; für das Moment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; der&nbsp; '''quadratische Mittelwert'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "quadratic mean"):
+*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; das Moment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; der&nbsp; '''quadratische Mittelwert'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "quadratic mean"):
 :$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$

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 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Mit&nbsp; $k = 1$&nbsp; erhält man aus der allgemeinen Gleichung das Moment erster Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; den&nbsp; '''linearen Mittelwert''':
+$\text{Definition:}$&nbsp; Mit&nbsp; $k = 1$&nbsp; erhält man aus der allgemeinen Gleichung das Moment erster Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; den&nbsp; '''linearen Mittelwert'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "mean"):
 :$$m_1 =\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot z_\mu =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=1}^{N}z_\nu.$$
 *Der linke Teil dieser Gleichung beschreibt die Scharmittelung&nbsp; (über alle möglichen Werte),
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; für das Moment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; der&nbsp; '''quadratische Mittelwert''':
+*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; für das Moment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; der&nbsp; '''quadratische Mittelwert'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "quadratic mean"):
 :$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$
-*Zusammen mit dem Gleichanteil&nbsp; $m_1$&nbsp; kann daraus als weitere Kenngröße die&nbsp; '''Varianz'''&nbsp; $σ^2$&nbsp; bestimmt werden&nbsp; ("Satz von Steiner"):
+*Zusammen mit dem Gleichanteil&nbsp; $m_1$&nbsp; kann daraus als weitere Kenngröße die&nbsp; '''Varianz'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "variance")&nbsp; $σ^2$&nbsp; bestimmt werden&nbsp; ("Satz von Steiner"):
 :$$\sigma^2=m_2-m_1^2.$$
-*Als&nbsp; '''Streuung'''&nbsp; $σ$&nbsp; bezeichnet man in der Statistik die Quadratwurzel der Varianz;&nbsp; manchmal wird diese Größe auch&nbsp; "Standardabweichung"&nbsp; genannt:
+*Die&nbsp; '''Streuung'''&nbsp; $σ$&nbsp; ist die Quadratwurzel der Varianz;&nbsp; manchmal wird diese Größe auch&nbsp; "Standardabweichung"&nbsp; (englisch:&nbsp; "standard deviation")&nbsp; genannt:
 :$$\sigma=\sqrt{m_2-m_1^2}.$$}}
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 $\text{Hinweise zu den Einheiten:}$
-*Bei einem Nachrichtensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die gesamte Leistung&nbsp; (Gleichleistung plus Wechselleitung)&nbsp; eines Zufallssignals an,&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
+#Bei einem Nachrichtensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die gesamte Leistung&nbsp; (Gleichleistung plus Wechselleitung)&nbsp; eines Zufallssignals an,&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
-*Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Spannung,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm V}$.
+#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine Spannung,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; (englisch:&nbsp; "root mean value")&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm V}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2/R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm V^2/(V/A) = W$.
-*Die Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; eines Zufallssignals entspricht physikalisch der&nbsp; "Wechselleistung"&nbsp; und die Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; dem "Effektivwert".
+#Beschreibt&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Stromverlauf,&nbsp; so besitzt&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm A}^2$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}=\sqrt{m_2}$&nbsp; hat die Einheit&nbsp; ${\rm A}$.&nbsp; Die Gesamtleistung für beliebigen Bezugswiderstand&nbsp; $R$&nbsp; berechnet sich zu &nbsp; $P=m_2\cdot R$&nbsp; und besitzt dementsprechend&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm A^2 \cdot(V/A) = W$.
-*Diesen Definitionen liegt wiederum der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$&nbsp; zugrunde.
+#Nur im Sonderfall&nbsp; $m_1=0$&nbsp; ist die Varianz&nbsp; $σ^2=m_2$.&nbsp;  Dann stimmt auch die Standardabweichung &nbsp; $σ$&nbsp; mit dem Effektivwert&nbsp; $x_{\rm eff}$&nbsp; überein.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Ein Binärsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit den Amplitudenwerten
+Bei einem Binärsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit den Amplitudenwerten
 *$1\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm L)$,
 *$3\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm H)$
-sowie den Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; besitzt die gesamte Signalleistung
+sowie den Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; ergibt sich für das zweite Moment:
-:$$P_{\rm Gesamt}  = 0.2 \cdot (1\,{\rm V})^2+ 0.8 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 7.4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2,$$
+:$$m_2  = 0.2 \cdot (1\,{\rm V})^2+ 0.8 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 7.4 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2,$$
 Mit dem Gleichanteil&nbsp; $m_1 = 2.6 \hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($siehe&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Linearer_Mittelwert_-_Gleichanteil|$\text{Beispiel 1})$]]&nbsp; folgt daraus für
 *die Varianz&nbsp;  $ σ^2 = 7.4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2 - \big [2.6 \hspace{0.05cm}\rm V\big ]^2 = 0.64\hspace{0.05cm}  {\rm V}^2$,
-*die Wechselleistung&nbsp;  $P_{\rm W} =  0.64\hspace{0.05cm}  {\rm W}$,
+*die Standardabweichung (Streuung)&nbsp; $σ = 0.8 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-Die gleiche Varianz und der gleiche Effektivwert&nbsp; $s_{\rm eff}$&nbsp; ergeben sich für die Amplituden&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm L)$&nbsp; und $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm H)$,&nbsp; vorausgesetzt, die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; bleiben gleich.&nbsp; Nur der Gleichanteil und die Gesamtleistung ändern sich:
+Die gleiche Varianz&nbsp;  $ σ^2 =  0.64\hspace{0.05cm}  {\rm V}^2$ und die gleiche Standardabweichung&nbsp; $σ = 0.8 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; ergeben sich für die Amplituden&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm L)$&nbsp; und $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm H)$,&nbsp; vorausgesetzt, die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; bleiben gleich.&nbsp; Nur der Gleichanteil und die Gesamtleistung ändern sich:
-:$$m_1 =  1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, \hspace{0.5cm}P_{\rm Gesamt}  = {m_1}^2 +\sigma^2  = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$
+:$$m_1 =  1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, \hspace{0.5cm}P  = {m_1}^2 +\sigma^2  = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$
 }}

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 *Bei endlichem&nbsp; $N$&nbsp; ergibt sich ein vergleichbarer Fehler,&nbsp; als wenn die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit angenähert wird.
-==Linearer Mittelwert - Gleichanteil==
+==Moment erster Ordnung &ndash; Linearer Mittelwert &ndash; Gleichanteil==
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Mit&nbsp; $k = 1$&nbsp; erhält man aus der allgemeinen Gleichung für die Momente den&nbsp; '''linearen Mittelwert''':
+$\text{Definition:}$&nbsp; Mit&nbsp; $k = 1$&nbsp; erhält man aus der allgemeinen Gleichung das Moment erster Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; den&nbsp; '''linearen Mittelwert''':
 :$$m_1 =\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot z_\mu =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=1}^{N}z_\nu.$$
 *Der linke Teil dieser Gleichung beschreibt die Scharmittelung&nbsp; (über alle möglichen Werte),
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 }}
-==Quadratischer Mittelwert – Varianz – Streuung==
+==Moment zweiter Ordnung &ndash; Leistung &ndash; Varianz &ndash; Streuung==
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definitionen:}$&nbsp;
-*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; für den&nbsp; '''quadratischen Mittelwert''':
+*Analog zum linearen Mittelwert erhält man mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; für das Moment zweiter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; der&nbsp; '''quadratische Mittelwert''':
 :$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 $\text{Hinweise zu den Einheiten:}$
-*Bei Nachrichtensignalen gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die$\text{ "(mittlere) Leistung"&nbsp; eines Zufallssignals an,$\text{ bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
+*Bei Nachrichtensignalen gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die gesamte Leistung&nbsp; (Gleichleistung plus Wechselleitung)&nbsp; eines Zufallssignals an,&nbsp; bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
-*Beschreibt&nbsp; $z$&nbsp; eine Spannung,$\text{ so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit$\text{ ${\rm V}^2$.
+*Beschreibt&nbsp; $z$&nbsp; eine Spannung,&nbsp; so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2$.
 *Die Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; eines Zufallssignals entspricht physikalisch der&nbsp; "Wechselleistung"&nbsp; und die Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; dem "Effektivwert".
 *Diesen Definitionen liegt wiederum der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$&nbsp; zugrunde.

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Berechnung als Schar- bzw. Zeitmittelwert==
 <br>
-Die Wahrscheinlichkeiten und die relativen Häufigkeiten liefern weitreichende Informationen über eine diskrete Zufallsgröße. Reduzierte Informationen erhält man durch die so genannten Momente&nbsp; $m_k$, wobei&nbsp; $k$&nbsp; eine natürliche Zahl darstellt.
+Die Wahrscheinlichkeiten und die relativen Häufigkeiten liefern weitreichende Informationen über eine diskrete Zufallsgröße.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Zwei alternative Berechnungsmöglichkeiten:}$&nbsp;
-Unter der hier stillschweigend vorausgesetzten&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|Ergodizität]]&nbsp;  gibt es für das Moment&nbsp; $k$-ter Ordnung zwei unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten:
+Unter der hier stillschweigend vorausgesetzten Bedingung&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|"Ergodizität"]]&nbsp;  gibt es für das Moment&nbsp; $k$-ter Ordnung zwei unterschiedliche Berechnungsmöglichkeiten:
-*die&nbsp; '''Scharmittelung'''&nbsp; bzw.&nbsp; ''Erwartungswertbildung'' &nbsp; &rArr; &nbsp;Mittelung über alle möglichen Werte&nbsp;  $\{ z_\mu\}$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $\mu = 1 ,  \hspace{0.1cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm} , M$:
+*die&nbsp; '''Scharmittelung'''&nbsp; bzw.&nbsp; "Erwartungswertbildung" &nbsp; &rArr; &nbsp; Mittelung über alle möglichen Werte&nbsp;  $\{ z_\mu\}$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $\mu = 1 ,  \hspace{0.1cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm} , M$:
 :$$m_k = {\rm E} \big[z^k \big] = \sum_{\mu = 1}^{M}p_\mu \cdot z_\mu^k \hspace{2cm} \rm mit \hspace{0.1cm} {\rm E\big[\text{ ...} \big]\hspace{-0.1cm}:} \hspace{0.3cm} \rm Erwartungswert ;$$
 *die&nbsp; '''Zeitmittelung'''&nbsp; über die Zufallsfolge&nbsp;  $\langle z_ν\rangle$&nbsp; mit der Laufvariablen&nbsp; $ν = 1 ,  \hspace{0.1cm}\text{ ...}  \hspace{0.1cm} , N$:
@@ Zeile 21: / Zeile 23: @@
 Anzumerken ist:
 *Beide Berechnungsarten führen bei genügend großen Werten von&nbsp; $N$&nbsp; zum gleichen asymptotischen Ergebnis.
-*Bei endlichem&nbsp; $N$&nbsp; ergibt sich ein vergleichbarer Fehler, als wenn die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit angenähert wird.
+*Bei endlichem&nbsp; $N$&nbsp; ergibt sich ein vergleichbarer Fehler,&nbsp; als wenn die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit angenähert wird.
 ==Linearer Mittelwert - Gleichanteil==
@@ Zeile 29: / Zeile 31: @@
 :$$m_1 =\sum_{\mu=1}^{M}p_\mu\cdot z_\mu =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{\nu=1}^{N}z_\nu.$$
 *Der linke Teil dieser Gleichung beschreibt die Scharmittelung&nbsp; (über alle möglichen Werte),
-*während die rechte Gleichung die Bestimmung als Zeitmittelwert angibt.
+:während die rechte Gleichung die Bestimmung als Zeitmittelwert angibt.
 *In Zusammenhang mit Signalen wird diese Größe auch als der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichanteil]]&nbsp; bezeichnet.}}
@@ Zeile 43: / Zeile 45: @@
 :$$m_1 = 0.2 \cdot 1\,{\rm V}+ 0.8 \cdot 3\,{\rm V}= 2.6 \,{\rm V}. $$
 Dieser ist in der Grafik als rote Linie eingezeichnet.
-<br clear=all>
-Bestimmt man diese Kenngröße durch Zeitmittelung über die dargestellten&nbsp; $N = 12$&nbsp; Signalwerte, so erhält man einen etwas kleineren Wert:
+Bestimmt man diese Kenngröße durch Zeitmittelung über die dargestellten&nbsp; $N = 12$&nbsp; Signalwerte,&nbsp; so erhält man einen etwas kleineren Wert:
 :$$m_1\hspace{0.01cm}' = 4/12 \cdot 1\,{\rm V}+ 8/12 \cdot 3\,{\rm V}= 2.33 \,{\rm V}. $$
-Hier wurden die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; durch die entsprechenden Häufigkeiten&nbsp; $h_{\rm L} = 4/12$&nbsp; und&nbsp; $h_{\rm H} = 8/12$&nbsp; ersetzt. Der relative Fehler aufgrund der unzureichenden Folgenlänge&nbsp; $N$&nbsp; ist im Beispiel größer als&nbsp; $10\%$.
+Hier wurden die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; bzw.&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; durch die entsprechenden Häufigkeiten&nbsp; $h_{\rm L} = 4/12$&nbsp; und&nbsp; $h_{\rm H} = 8/12$&nbsp; ersetzt.&nbsp; Der relative Fehler aufgrund der unzureichenden Folgenlänge&nbsp; $N$&nbsp; ist im Beispiel größer als&nbsp; $10\%$.
-<u>Hinweis zu unserer (zugegebenermaßen etwas ungewöhnlicher)  Nomenklatur:</u>
+$\text{Hinweis zu unserer (zugegebenermaßen etwas ungewöhnlicher)  Nomenklatur:}$
-Wir bezeichnen hier Binärsymbole wie in der Schaltungstechnik  mit&nbsp; $\rm L$&nbsp; (Low) und&nbsp; $\rm H$&nbsp; (High), um Verwechslungen zu vermeiden.
+Wir bezeichnen hier Binärsymbole wie in der Schaltungstechnik  mit&nbsp; $\rm L$&nbsp; ("Low") und&nbsp; $\rm H$&nbsp; ("High"),&nbsp; um Verwechslungen zu vermeiden.
-*In der Codierungstheorie wird sinnvollerweise&nbsp; $\{ \text{L, H}\}$&nbsp; auf&nbsp; $\{0, 1\}$&nbsp; abgebildet, um die Möglichkeiten der Modulo-Algebra nutzen zu können.
+*In der Codierungstheorie wird sinnvollerweise&nbsp; $\{ \text{L, H}\}$&nbsp; auf&nbsp; $\{0, 1\}$&nbsp; abgebildet,&nbsp; um die Möglichkeiten der Modulo-Algebra nutzen zu können.
-*Zur Beschreibung der Modulation mit bipolaren (antipodalen) Signalen wählt man dagegen besser die Zuordnung&nbsp; $\{ \text{L, H}\}$  ⇔ $ \{-1, +1\}$.
+*Zur Beschreibung der Modulation mit bipolaren&nbsp; (antipodalen)&nbsp; Signalen wählt man dagegen besser die Zuordnung&nbsp; $\{ \text{L, H}\}$  ⇔ $ \{-1, +1\}$.
 }}
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 :$$m_2 =\sum_{\mu=\rm 1}^{\it M}p_\mu\cdot z_\mu^2 =\lim_{N\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\sum_{\nu=\rm 1}^{\it N}z_\nu^2.$$
-*Zusammen mit dem Gleichanteil&nbsp; $m_1$&nbsp; kann daraus als weitere Kenngröße die&nbsp; '''Varianz'''&nbsp; $σ^2$&nbsp; bestimmt werden ('''Satz von Steiner'''):
+*Zusammen mit dem Gleichanteil&nbsp; $m_1$&nbsp; kann daraus als weitere Kenngröße die&nbsp; '''Varianz'''&nbsp; $σ^2$&nbsp; bestimmt werden&nbsp; ("Satz von Steiner"):
 :$$\sigma^2=m_2-m_1^2.$$
-*Als&nbsp; '''Streuung'''&nbsp; $σ$&nbsp; bezeichnet man in der Statistik die Quadratwurzel der Varianz; manchmal wird diese Größe auch&nbsp; ''Standardabweichung''&nbsp; genannt:
+*Als&nbsp; '''Streuung'''&nbsp; $σ$&nbsp; bezeichnet man in der Statistik die Quadratwurzel der Varianz;&nbsp; manchmal wird diese Größe auch&nbsp; "Standardabweichung"&nbsp; genannt:
 :$$\sigma=\sqrt{m_2-m_1^2}.$$}}
-''Hinweise zu den Einheiten:''
+$\text{Hinweise zu den Einheiten:}$
-*Bei Nachrichtensignalen gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die (mittlere) ''Leistung''&nbsp; eines Zufallssignals an, bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
+*Bei Nachrichtensignalen gibt&nbsp; $m_2$&nbsp; die$\text{ "(mittlere) Leistung"&nbsp; eines Zufallssignals an,$\text{ bezogen auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$.
-*Beschreibt&nbsp; $z$&nbsp; eine Spannung, so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit ${\rm V}^2$.
+*Beschreibt&nbsp; $z$&nbsp; eine Spannung,$\text{ so besitzt dementsprechend&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit$\text{ ${\rm V}^2$.
-*Die Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; eines Zufallssignals entspricht physikalisch der&nbsp; ''Wechselleistung''&nbsp; und die Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; dem ''Effektivwert.''
+*Die Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; eines Zufallssignals entspricht physikalisch der&nbsp; "Wechselleistung"&nbsp; und die Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; dem "Effektivwert".
 *Diesen Definitionen liegt wiederum der Bezugswiderstand&nbsp; $1 \hspace{0.03cm} Ω$&nbsp; zugrunde.
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 Mit dem Gleichanteil&nbsp; $m_1 = 2.6 \hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($siehe&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Linearer_Mittelwert_-_Gleichanteil|$\text{Beispiel 1})$]]&nbsp; folgt daraus für
-*die Wechselleistung (Varianz)&nbsp;  $P_{\rm W} = σ^2 = 7.4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2 - \big [2.6 \hspace{0.05cm}\rm V\big ]^2 = 0.64\hspace{0.05cm}  {\rm V}^2$,
+*die Varianz&nbsp;  $ σ^2 = 7.4 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2 - \big [2.6 \hspace{0.05cm}\rm V\big ]^2 = 0.64\hspace{0.05cm}  {\rm V}^2$,
 *den Effektivwert&nbsp; $s_{\rm eff} = σ = 0.8 \hspace{0.05cm} \rm V$.
-:::''Einschub'': &nbsp; Bei anderem Bezugswiderstand &nbsp; ⇒ &nbsp; $R \ne 1 \hspace{0.1cm} Ω$&nbsp; gelten nicht alle diese Berechnungen.&nbsp; Beispielsweise haben mit&nbsp; $R = 50 \hspace{0.1cm} Ω$&nbsp; die Leistung $P_{\rm Gesamt} $,&nbsp; die Wechselleistung&nbsp; $P_{\rm W}$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $s_{\rm eff}$&nbsp;  folgende Werte:
+::Einschub: &nbsp; Bei anderem Bezugswiderstand &nbsp; ⇒ &nbsp; $R \ne 1 \hspace{0.1cm} Ω$&nbsp; gelten nicht alle diese Berechnungen.&nbsp; Beispielsweise haben mit&nbsp; $R = 50 \hspace{0.1cm} Ω$&nbsp; die Leistung $P_{\rm Gesamt} $,&nbsp; die Wechselleistung&nbsp; $P_{\rm W}$&nbsp; und der Effektivwert&nbsp; $s_{\rm eff}$&nbsp;  folgende physikalische Werte:
-::::$$P_{\rm Gesamt} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \frac{m_2}{R} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \frac{7.4\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega} } \hspace{-0.05cm}=  \hspace{-0.05cm}0.148\,{\rm W},\hspace{0.5cm}
+:::$$P_{\rm Gesamt} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \frac{m_2}{R} \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \frac{7.4\,{\rm V}^2}{50\,{\rm \Omega} } \hspace{-0.05cm}=  \hspace{-0.05cm}0.148\,{\rm W},\hspace{0.5cm}
 P_{\rm W} \hspace{-0.05cm} = \hspace{-0.05cm} \frac{\sigma^2}{R} \hspace{-0.05cm}=  \hspace{-0.05cm}12.8\,{\rm mW} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 s_{\rm eff} \hspace{-0.05cm} =  \hspace{-0.05cm}\sqrt{R \cdot P_{\rm W} } \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} \sigma \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm} 0.8\,{\rm V}.$$
-Die gleiche Varianz und der gleiche Effektivwert&nbsp; $s_{\rm eff}$&nbsp; ergeben sich für die Amplituden&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm L)$&nbsp; und $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm H)$&nbsp;, vorausgesetzt, die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; bleiben gleich.&nbsp; Nur der Gleichanteil und die Gesamtleistung ändern sich:
+Die gleiche Varianz und der gleiche Effektivwert&nbsp; $s_{\rm eff}$&nbsp; ergeben sich für die Amplituden&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm L)$&nbsp; und $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; $($für das Symbol&nbsp; $\rm H)$,&nbsp; vorausgesetzt, die Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L} = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = 0.8$&nbsp; bleiben gleich.&nbsp; Nur der Gleichanteil und die Gesamtleistung ändern sich:
-:$$m_1 =  1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, \hspace{0.5cm}P_{\rm Gesamt}  = P_{\rm W} + {m_1}^2 = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$
+:$$m_1 =  1.6 \hspace{0.05cm}{\rm V}, \hspace{0.5cm}P_{\rm Gesamt}  = {m_1}^2 +\sigma^2  = 3.2 \hspace{0.05cm}{\rm V}^2.$$
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−	Das Lernvideo [[Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen (Lernvideo)\|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]] verdeutlicht die definierten Größen am Beispiel eines Digitalsignals.	+	Das Lernvideo   [[Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen (Lernvideo)\|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]]   verdeutlicht die definierten Größen am Beispiel eines Digitalsignals.

	[[Datei:P_ID456__Sto_T_2_2_S3_neu.png \| right\|frame\|Standardabweichung eines Binärsignals]]		[[Datei:P_ID456__Sto_T_2_2_S3_neu.png \| right\|frame\|Standardabweichung eines Binärsignals]]