Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:49Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Set_Theory_Basics]]

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	$\text{Beispiel 9:}$  Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße  $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:		$\text{Beispiel 9:}$  Ein weiteres Beispiel für ein vollständiges System ist die diskrete Zufallsgröße  $X = \{ x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten entsprechend der folgenden  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]:
	:$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$		:$$P_X(X) = \big [ \hspace{0.1cm} P_X(x_1), P_X(x_2), \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm}, P_X(x_I) \hspace{0.05cm} \big ] = \big [ \hspace{0.1cm} p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm}, p_I \hspace{0.05cm} \big ] \hspace{0.05cm}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm},		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_1 = P_X(x_1) = {\rm Pr}(X=x_1) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_2 = {\rm Pr}(X=x_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm},\hspace{0.2cm} p_I = {\rm Pr}(X=x_I) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.2cm}p_2 = {\rm Pr}(X=x_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.15cm},\hspace{0.2cm} p_I = {\rm Pr}(X=x_I) \hspace{0.05cm}.$$

	Die möglichen Ergebnisse  $x_i$  der Zufallsgröße  $X$  sind paarweise zueinander disjunkt und die Summe aller Auftrittswahrscheinlichkeiten  $p_1 + p_2 + \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} + \hspace{0.05cm} p_I$  liefert grundsätzlich das Ergebnis  $1$.}}		Die möglichen Ergebnisse  $x_i$  der Zufallsgröße  $X$  sind paarweise zueinander disjunkt und die Summe aller Auftrittswahrscheinlichkeiten  $p_1 + p_2 + \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} + \hspace{0.05cm} p_I$  liefert grundsätzlich das Ergebnis  $1$.}}

Guenter am 18. November 2021 um 13:09 Uhr

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	[[Aufgaben:1.2Z_Ziffernmengen\|Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen]]		[[Aufgaben:1.2Z_Ziffernmengen\|Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen]]

	[[Aufgaben:1.3 ~~Fiktive_Uni_Irgenwo~~\|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni ~~Irgenwo~~]]		[[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Fiktive_Uni_Irgendwo\|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgendwo]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F\|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F\|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]

Guenter am 18. November 2021 um 13:08 Uhr

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]  $P_X(X)$  macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  der Zufallsgröße  $X$.		*Die  [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]  $($englisch:  "probability mass function",  $\rm PMF)$  $P_X(X)$  macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$  der Zufallsgröße  $X$.
	*Diese zusätzliche Information liefert die  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]  (WDF).}}		*Diese zusätzliche Information liefert die  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]  $\rm (WDF)$;  englische Bezeichnung:  "probability density function"  $\rm (PDF)$.}}

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 18. November 2021 um 12:56 Uhr

2021-11-18T12:56:36Z

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Guenter am 14. November 2021 um 13:45 Uhr

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die  '''Vereinigungsmenge'''  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle die Elemente,  die entweder in der Menge  $A$  oder der Menge  $B$  oder in beiden enthalten sind  (englisch: "~~union set~~").  Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:		$\text{Definition:}$  Die  '''Vereinigungsmenge'''  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle die Elemente,  die entweder in der Menge  $A$  oder der Menge  $B$  oder in beiden enthalten sind  (englisch:  "Union Set").  Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
	$$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$		$$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$

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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Betrachtet man die beiden Ereignisse		$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder das Experiment &bdquo;Werfen eines Würfels”.  Die möglichen Ergebnisse sind somit  $E_μ ∈ G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

			Betrachtet man die beiden Ereignisse
	* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,		* $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich $5$”$ = \{5, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,
	* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,		* $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$   ⇒   ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,

Guenter am 14. November 2021 um 13:41 Uhr

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Guenter am 8. November 2019 um 17:27 Uhr

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Guenter am 8. November 2019 um 16:41 Uhr

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Guenter am 31. Juli 2018 um 07:42 Uhr

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	[[Aufgaben:1.2Z_Ziffernmengen\|Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen]]		[[Aufgaben:1.2Z_Ziffernmengen\|Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen]]

	[[Aufgaben:1.3 ~~Fiktive_Uni_Irgenwo~~\|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni ~~Irgenwo~~]]		[[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Fiktive_Uni_Irgendwo\|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgendwo]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F\|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F\|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]

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	Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das  '''Venndiagramm'''  gemäß der Grafik:		Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das  '''Venndiagramm'''  gemäß der Grafik:
	*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse  $A_i$  als Flächenbereiche dargestellt.  Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit  $A_1$,  $A_2$  und  $A_3$, sondern mit  $A$,  $B$  und  $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge  $G$.		*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse  $A_i$  als Flächenbereiche dargestellt.  Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit  $A_1$,  $A_2$  und  $A_3$,  sondern mit  $A$,  $B$  und  $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge  $G$.
	*Die Grundmenge  $G$  beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das  '''Sichere Ereignis''', das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:   ${\rm Pr}(G) = 1$. Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels” die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.		*Die Grundmenge  $G$  beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das  '''Sichere Ereignis''',  das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:   ${\rm Pr}(G) = 1$.  Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels” die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.
	*Dagegen beinhaltet die  '''Leere Menge'''  $ϕ$  kein einziges Element.  Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das  '''Unmögliche Ereignis'''  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(ϕ) = 0$  an.  Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”' die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.		*Dagegen beinhaltet die  '''Leere Menge'''  $ϕ$  kein einziges Element.  Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das  '''Unmögliche Ereignis'''  mit der Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(ϕ) = 0$  an.  Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”' die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.


	Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis  $A$  mit  ${\rm Pr}(A) = 0$  wirklich nie eintreten kann:		Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis  $A$  mit  ${\rm Pr}(A) = 0$  wirklich nie eintreten kann:
	*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert  $n$  ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt  ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$, wenn  $n$  durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.		*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert  $n$  ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt  ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$,  wenn  $n$  durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.
	*Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich), dass irgendwann auch der exakte Rauschwert  $n = 0$  auftritt.		*Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich),  dass irgendwann auch der exakte Rauschwert  $n = 0$  auftritt.

	==Vereinigungsmenge==		==Vereinigungsmenge==
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die  '''Vereinigungsmenge'''  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle die Elemente, die entweder in der Menge  $A$  oder der Menge  $B$  oder in beiden enthalten sind  (englisch: ~~''Set Union''~~ ).  Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:		$\text{Definition:}$  Die  '''Vereinigungsmenge'''  $C$  zweier Mengen  $A$  und  $B$  beinhaltet alle die Elemente,  die entweder in der Menge  $A$  oder der Menge  $B$  oder in beiden enthalten sind  (englisch: "union set").  Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
	$$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$		$$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$

	In der Literatur ist auch die Bezeichnung  ''Summenmenge''  gebräuchlich und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.~~ ~~ In unserem Tutorial verwenden wir ~~jedoch ausschließlich das~~  ~~$∪$-Zeichen~~.}}		*In der Literatur ist insbesondere im Galoisfeld  $\rm GF(2)$  auch die Bezeichnung  "Summenmenge"  gebräuchlich,  und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.

			*In unserem Tutorial verwenden wir diesen Begriff zum Beispiel im Buch  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Beispiele_und_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|"Kanalcodierung"]].}}


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	:$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$		:$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$

	*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn  $A$  eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge\|Teilmenge]]  von  $B$  ist oder umgekehrt.		*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke,  wenn  $A$  eine  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge\|Teilmenge]]  von  $B$  ist oder umgekehrt.
	*Die obere Schranke gilt für  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen\|disjunkte Mengen]].		*Die obere Schranke gilt für  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen\|disjunkte Mengen]].