Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen - Versionsgeschichte

Guenter am 18. November 2021 um 13:09 Uhr

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Guenter am 18. November 2021 um 13:08 Uhr

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Guenter am 31. Juli 2018 um 07:42 Uhr

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Guenter am 4. April 2018 um 08:26 Uhr

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Guenter am 3. April 2018 um 08:41 Uhr

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 [[Aufgaben:1.2Z_Ziffernmengen|Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen]]
-[[Aufgaben:1.3 Fiktive_Uni_Irgenwo|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgenwo]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.3:_Fiktive_Uni_Irgendwo|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgendwo]]
 [[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]

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 ''Hinweise:''
-*Die&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]&nbsp; $P_X(X)$&nbsp; macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat&nbsp;  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$.
+*Die&nbsp; [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Wahrscheinlichkeitsfunktion_und_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]&nbsp; $($englisch:&nbsp; "probability mass function",&nbsp; $\rm PMF)$&nbsp;  $P_X(X)$&nbsp; macht nur Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten, nicht über den Wertevorrat&nbsp;  $\{x_1, x_2, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} , x_I\}$&nbsp; der Zufallsgröße&nbsp; $X$.
-*Diese zusätzliche Information liefert die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; (WDF).}}
+*Diese zusätzliche Information liefert die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion_(WDF)#Definition_der_Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]&nbsp; $\rm  (WDF)$;&nbsp; englische Bezeichnung:&nbsp; "probability density function"&nbsp; $\rm  (PDF)$.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Vereinigungsmenge'''&nbsp; $C$&nbsp; zweier Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhaltet alle die Elemente,&nbsp; die entweder in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; oder der Menge&nbsp; $B$&nbsp; oder in beiden enthalten sind&nbsp; (englisch: "union set").&nbsp; Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Vereinigungsmenge'''&nbsp; $C$&nbsp; zweier Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhaltet alle die Elemente,&nbsp; die entweder in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; oder der Menge&nbsp; $B$&nbsp; oder in beiden enthalten sind&nbsp; (englisch:&nbsp;  "Union Set").&nbsp; Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
 $$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Betrachtet man die beiden Ereignisse
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten wieder das Experiment &bdquo;Werfen eines Würfels&rdquo;.&nbsp; Die möglichen Ergebnisse sind somit&nbsp;  $E_μ ∈ G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
 * $A :=$ „die Augenzahl ist größer oder gleich $5$”$ = \{5, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (A)= 2/6= 1/3$,
 * $B :=$ „die Augenzahl ist geradzahlig” $= \{2, 4, 6\}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr} (B)= 3/6= 1/2$,

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 Ein wichtiges Hilfsmittel der Mengenlehre ist das&nbsp; '''Venndiagramm'''&nbsp; gemäß der Grafik:
-*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse&nbsp; $A_i$&nbsp; als Flächenbereiche dargestellt.&nbsp; Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp;  $A_3$, sondern mit&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge&nbsp; $G$.
+*Angewandt auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung sind hier die Ereignisse&nbsp; $A_i$&nbsp; als Flächenbereiche dargestellt.&nbsp; Zur einfacheren Beschreibung bezeichnen wir hier die Ereignisse im Gegensatz zum letzten Kapitel nicht mit&nbsp; $A_1$,&nbsp; $A_2$&nbsp; und&nbsp;  $A_3$,&nbsp; sondern mit&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$. Die Gesamtfläche entspricht der Grundmenge&nbsp; $G$.
-*Die Grundmenge&nbsp; $G$&nbsp; beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das&nbsp; '''Sichere Ereignis''', das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:  &nbsp; ${\rm Pr}(G) = 1$. Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels”  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.
+*Die Grundmenge&nbsp; $G$&nbsp; beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und steht für das&nbsp; '''Sichere Ereignis''',&nbsp; das definitionsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit „Eins” eintritt:  &nbsp; ${\rm Pr}(G) = 1$.&nbsp; Zum Beispiel ist beim Zufallsexperiment „Werfen eines Würfels”  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist kleiner oder gleich 6” identisch Eins.
 *Dagegen beinhaltet die&nbsp; '''Leere Menge'''&nbsp; $ϕ$&nbsp; kein einziges Element.&nbsp; Bezogen auf Ereignisse gibt die Leere Menge das&nbsp; '''Unmögliche Ereignis'''&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(ϕ) = 0$&nbsp; an.&nbsp; Beispielsweise ist beim Experiment „Werfen eines Würfels”'  die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „die Augenzahl ist größer als 6” identisch Null.
 Anzumerken ist, dass nicht jedes Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 0$&nbsp; wirklich nie eintreten kann:
-*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert&nbsp; $n$&nbsp; ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$, wenn&nbsp; $n$&nbsp; durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.
+*So ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „der Rauschwert&nbsp; $n$&nbsp; ist identisch Null” zwar verschwindend klein und es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(n \equiv 0) = 0$,&nbsp; wenn&nbsp; $n$&nbsp; durch eine kontinuierliche (Gaußsche) Zufallsgröße beschrieben wird.
-*Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich), dass irgendwann auch der exakte Rauschwert&nbsp; $n = 0$&nbsp; auftritt.
+*Trotzdem ist es natürlich möglich (wenn auch extrem unwahrscheinlich),&nbsp; dass irgendwann auch der exakte Rauschwert&nbsp; $n = 0$&nbsp; auftritt.
 ==Vereinigungsmenge==
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Vereinigungsmenge'''&nbsp; $C$&nbsp; zweier Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhaltet alle die Elemente, die entweder in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; oder der Menge&nbsp; $B$&nbsp; oder in beiden enthalten sind&nbsp; (englisch: ''Set Union'' ).&nbsp; Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''Vereinigungsmenge'''&nbsp; $C$&nbsp; zweier Mengen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhaltet alle die Elemente,&nbsp; die entweder in der Menge&nbsp; $A$&nbsp; oder der Menge&nbsp; $B$&nbsp; oder in beiden enthalten sind&nbsp; (englisch: "union set").&nbsp; Formelmäßig wird dieser Zusammenhang wie folgt ausgedrückt:
 $$\ C = A \cup B \hspace{0.2cm}(= A + B).$$
-In der Literatur ist auch die Bezeichnung&nbsp; ''Summenmenge''&nbsp; gebräuchlich und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.&nbsp; In unserem Tutorial verwenden wir jedoch ausschließlich das&nbsp; $∪$-Zeichen.}}
+*In der Literatur ist insbesondere im Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; auch die Bezeichnung&nbsp; "Summenmenge"&nbsp; gebräuchlich,&nbsp; und es wird manchmal das Pluszeichen benutzt.
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 :$${\rm Max}\big({\rm Pr} (A), \ {\rm Pr} (B)\big) \le {\rm Pr} (A \cup B) \le   {\rm Pr} (A)+{\rm Pr} (B).$$
-*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke, wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
+*Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge ist gleich der unteren Schranke,&nbsp; wenn&nbsp; $A$&nbsp; eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]&nbsp; von&nbsp; $B$&nbsp; ist oder umgekehrt.
 *Die obere Schranke gilt für&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkte Mengen]].

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 [[Aufgaben:1.3 Fiktive_Uni_Irgenwo|Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgenwo]]
-[[Aufgaben:1.3Z_Gewinnen_mit_Roulette|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.3Z:_Gewinnen_mit_Roulette%3F|Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?]]
 {{Display}}

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 *${\rm Pr}(A ∩ B)$ wird manchmal auch &bdquo;Verbundwahrscheinlichkeit&rdquo; genannt und manchmal mit ${\rm Pr}(A, \ B)$ bezeichnet.
-*${\rm Pr}(A ∩ B)$ ist gleich der oberen Schranke, wenn $A$ eine [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_unechte_Teilmenge|Teilmenge]]  von $B$ ist oder umgekehrt.
+*${\rm Pr}(A ∩ B)$ ist gleich der oberen Schranke, wenn $A$ eine [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Echte_Teilmenge_.E2.80.93_Unechte_Teilmenge|Teilmenge]]  von $B$ ist oder umgekehrt.
 *Die untere Schranke ergibt sich für die Verbundwahrscheinlichkeit von  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkten Mengen]].