Stochastische Signaltheorie/Markovketten - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:28:48Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Markov_Chains]]

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	:$${\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 0.2 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 0.4$$		:$${\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 0.2 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 0.4$$
	sind auch die beiden anderen Übergangswahrscheinlichkeiten eindeutig festgelegt:		sind auch die beiden anderen Übergangswahrscheinlichkeiten eindeutig festgelegt:
	:$${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 1- 0.2 = 0.8 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 1- 0.2 = 0.8 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 1- 0.4 = 0.6.$$}}
	{\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 1- 0.4 = 0.6.$$}}

	==Homogene Markovketten==		==Homogene Markovketten==

Guenter am 1. Dezember 2021 um 15:26 Uhr

2021-12-01T15:26:25Z

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Eine  '''Markovkette  $k$-ter Ordnung'''  (englisch:  ''Markov Chain'')  dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $ν$		Eine  '''Markovkette  $k$-ter Ordnung'''  (englisch:  "Markov Chain")  dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $ν$
	#  von den vorherigen Ereignissen  $E_{ν\hspace{0.05cm}–1}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{ν\hspace{0.05cm}–k}$  abhängen,  und		#  von den vorherigen Ereignissen  $E_{ν\hspace{0.05cm}–1}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{ν\hspace{0.05cm}–k}$  abhängen,  und
	# durch  $M^{k+1}$  bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.}}		# durch  $M^{k+1}$  bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.}}

Guenter am 1. Dezember 2021 um 15:25 Uhr

2021-12-01T15:25:24Z

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Guenter am 1. Dezember 2021 um 14:55 Uhr

2021-12-01T14:55:32Z

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Guenter am 11. November 2019 um 17:14 Uhr

2019-11-11T17:14:01Z

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Guenter am 11. November 2019 um 16:43 Uhr

2019-11-11T16:43:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2019, 18:43 Uhr
Zeile 95:		Zeile 95:

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$  Mit den vorgegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 0.2$ und ${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 0.4$ sind auch die beiden anderen Übergangswahrscheinlichkeiten eindeutig festgelegt:		$\text{Beispiel 3:}$  Mit den vorgegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten
			:$${\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 0.2 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 0.4$$
			sind auch die beiden anderen Übergangswahrscheinlichkeiten eindeutig festgelegt:
	:$${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 1- 0.2 = 0.8 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 1- 0.2 = 0.8 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm}
	{\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 1- 0.4 = 0.6.$$}}		{\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 1- 0.4 = 0.6.$$}}

Guenter am 11. November 2019 um 16:39 Uhr

2019-11-11T16:39:44Z

Guenter am 11. November 2019 um 16:35 Uhr

2019-11-11T16:35:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2019, 18:35 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Betrachtetes Szenario==		==Betrachtetes Szenario==
	<br>		<br>
	Wir betrachten ~~nun~~ abschließend den Fall, dass man ein Zufallsexperiment fortlaufend durchführt und dass zu jedem diskreten Zeitpunkt $(ν = 1, 2, 3, \text{...})$ ein neues Ereignis $E_ν$ eintritt. Hierbei soll gelten:		Wir betrachten abschließend den Fall, dass man ein Zufallsexperiment fortlaufend durchführt und dass zu jedem diskreten Zeitpunkt  $(ν = 1, 2, 3, \text{...})$  ein neues Ereignis  $E_ν$  eintritt. Hierbei soll gelten:
	[[Datei:P_ID442__Sto_T_1_4_S1_neu.png \|right\|frame\|Mögliche Ereignisse und Ereignisfolge]]		[[Datei:P_ID442__Sto_T_1_4_S1_neu.png \|right\|frame\|Mögliche Ereignisse und Ereignisfolge]]
	:$$E_\nu \in G = \{ E_{\rm 1}, E_{\rm 2}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_\mu , \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_M \}.$$		:$$E_\nu \in G = \{ E_{\rm 1}, E_{\rm 2}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_\mu , \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_M \}.$$

	Diese mathematisch nicht ganz saubere Nomenklatur bedeutet (siehe Grafik):		Diese mathematisch nicht ganz saubere Nomenklatur bedeutet (siehe Grafik):
	*Die $M$ möglichen Ereignisse werden mit dem Laufindex $μ$ durchnummeriert.		*Die  $M$  möglichen Ereignisse werden mit dem Laufindex  $μ$  durchnummeriert.
	*Der Index $ν$ benennt die diskreten Zeitpunkte, zu denen Ereignisse auftreten.		*Der Index  $ν$  benennt die diskreten Zeitpunkte, zu denen Ereignisse auftreten.


	Zur einfacheren Darstellung beschränken wir uns im Folgenden auf den Fall $M = 2$ mit der Grundmenge $G = \{ A, B \}$. Weiter soll gelten:		Zur einfacheren Darstellung beschränken wir uns im Folgenden auf den Fall  $M = 2$  mit der Grundmenge  $G = \{ A, \ B \}$.  Weiter soll gelten:
	*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_ν$ kann durchaus von allen vorherigen Ereignissen abhängen – also von den Ereignissen $E_{~~ν–1~~}, E_{~~ν–2~~}, E_{~~ν–3~~},$ usw.		*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  $E_ν$  kann durchaus von allen vorherigen Ereignissen abhängen – also von den Ereignissen  $E_{ν\hspace{0.05cm}-1},  E_{ν\hspace{0.05cm}-2},  E_{ν\hspace{0.05cm}-3},$  usw.
	*Diese Aussage bedeutet auch, dass wir in diesem Kapitel eine ''Ereignisfolge mit inneren statistischen Bindungen'' betrachten.		*Diese Aussage bedeutet auch, dass wir in diesem Kapitel eine  ''Ereignisfolge mit inneren statistischen Bindungen''  betrachten.


	Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse\|Zufallsprozesse]] noch ausführlich behandelt wird.		Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im Kapitel } [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse\|Zufallsprozesse]]  noch ausführlich behandelt wird.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$		$\text{Beispiel 1:}$
	Aus einem Kartenstapel mit $32$ Karten (darunter vier Asse) werden nacheinander Karten gezogen. Mit den Ereignissen		Aus einem Kartenstapel mit  $32$  Karten (darunter vier Asse) werden nacheinander Karten gezogen. Mit den Ereignissen
	*$A\text{ :}=$ „die gezogene Karte ist ein Ass”, und		*$A\text{ :}=$  „die gezogene Karte ist ein Ass”, und
	*$B = \overline{A}:=$ „die gezogene Karte ist kein Ass” lauten die Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν = 1$:		*$B = \overline{A}:=$  „die gezogene Karte ist kein Ass” lauten die Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $ν = 1$:
	:$${\rm Pr} (A_{\rm 1}) ={4}/{32}= {1}/{8}, \hspace{0.5cm}{\rm Pr} (B_{\rm 1}) = {28}/{32}= {7}/{8}.$$		:$${\rm Pr} (A_{\rm 1}) ={4}/{32}= {1}/{8}, \hspace{0.5cm}{\rm Pr} (B_{\rm 1}) = {28}/{32}= {7}/{8}.$$

	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (A_{\rm 2})$, dass als zweite Karte $(ν = 2)$ ein Ass gezogen wird, hängt nun davon ab,		Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr} (A_{\rm 2})$,  dass als zweite Karte  $(ν = 2)$  ein Ass gezogen wird, hängt nun davon ab,
	*ob zum Zeitpunkt $ν = 1$ ein Ass gezogen wurde   ⇒   ${\rm Pr} (A_{\rm 2}) = 3/31 < 1/8$, oder		*ob zum Zeitpunkt  $ν = 1$  ein Ass gezogen wurde   ⇒   ${\rm Pr} (A_{\rm 2}) = 3/31 < 1/8$,  oder
	*ob zum Zeitpunkt $ν = 1$ kein Ass gezogen wurde   ⇒   ${\rm Pr} (A_{\rm 2}) = 4/31 > 1/8$.		*ob zum Zeitpunkt  $ν = 1$  kein Ass gezogen wurde   ⇒   ${\rm Pr} (A_{\rm 2}) = 4/31 > 1/8$.


	Auch die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr} (A_{\nu})$ zu späteren Zeitpunkten $ν$  hängen stets vom Eintreffen bzw. Nichteintreffen aller vorherigen Ereignisse $E_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} ,E_{~~ν–1~~}$ ab.}}		Auch die Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr} (A_{\nu})$  zu späteren Zeitpunkten  $ν$  hängen stets vom Eintreffen bzw. Nichteintreffen aller vorherigen Ereignisse  $E_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} ,E_{ν\hspace{0.05cm}–1}$  ab.}}

	==Allgemeine Definition einer Markovkette==		==Allgemeine Definition einer Markovkette==
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$		$\text{Definition:}$
	Eine '''Markovkette $k$-ter Ordnung''' (englisch: ''Markov Chain'') dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen		Eine  '''Markovkette  $k$-ter Ordnung'''  (englisch:  ''Markov Chain'')  dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen
	*die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν$  von den vorherigen Ereignissen $E_{~~ν–1~~}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{~~ν–k~~}$ abhängen, und		# die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $ν$  von den vorherigen Ereignissen  $E_{ν\hspace{0.05cm}–1}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{ν\hspace{0.05cm}–k}$  abhängen, und
	*durch $M^{k+1}$ bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.		# durch  $M^{k+1}$  bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.}}

	~~[[Datei:P_ID444__Sto_T_1_4_S2a_neu.png \|center\|frame\| Markovkette zweiter Ordnung]]~~

	Für $M = 2$ gibt es deshalb $2^{k+1}$ solche bedingten Wahrscheinlichkeiten. ~~Mit $E_{\nu }\in \{ A, B \}, \hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } } \in \{ A, B \}$ lauten diese:~~		[[Datei:P_ID444__Sto_T_1_4_S2a_neu.png \|right\|frame\| Markovkette zweiter Ordnung]]

			Das Schaubild verdeutlicht diesen Sachverhalt am Beispiel  $k = 2$.

			Für  $M = 2$  gibt es deshalb  $2^{k+1}$  solche bedingten Wahrscheinlichkeiten.
	:$${\rm Pr} ( E_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}E_{\nu {\rm -1 } },\hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } }).$$		:$${\rm Pr} ( E_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}E_{\nu {\rm -1 } },\hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } }).$$

	~~Das Schaubild verdeutlicht diesen Sachverhalt am Beispiel~~ $k = 2$.}}		Mit  $E_{\nu }\in \{ A, B \}, \hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } } \in \{ A, B \}$  lauten diese:
			*${\rm Pr} ( A_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}A_{\nu {\rm -1 } }, A_{\nu { -2 } })$,  ${\rm Pr} ( B_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}A_{\nu {\rm -1 } }, A_{\nu { -2 } })$,
			*${\rm Pr} ( A_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}A_{\nu {\rm -1 } },B_{\nu { -2 } })$,  ${\rm Pr} ( B_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}A_{\nu {\rm -1 } }, B_{\nu { -2 } })$,
			*${\rm Pr} ( A_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}B_{\nu {\rm -1 } }, A_{\nu { -2 } })$,  ${\rm Pr} ( B_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}B_{\nu {\rm -1 } }, A_{\nu { -2 } })$,
			*${\rm Pr} ( A_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}B_{\nu {\rm -1 } }, B_{\nu { -2 } })$,  ${\rm Pr} ( B_\nu \hspace {0.05cm}\vert \hspace {0.05cm}B_{\nu {\rm -1 } }, B_{\nu { -2 } })$.


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 2:}$  Natürliche Sprachen sind oft durch Markovketten beschreibbar, wobei allerdings die Ordnung $k$ gegen Unendlich strebt. In diesem Beispiel werden Texte allerdings lediglich durch Markovketten zweiter Ordnung angenähert.		$\text{Beispiel 2:}$  Natürliche Sprachen sind oft durch Markovketten beschreibbar, wobei allerdings die Ordnung  $k$  gegen Unendlich strebt.  In diesem Beispiel werden Texte allerdings lediglich durch Markovketten zweiter Ordnung angenähert.

	[[Datei:P_ID506__Sto_T_1_4_S2b_neu.png \|center\|frame\| Synthetisch erzeugte Texte (deutsch und englisch)]]		[[Datei:P_ID506__Sto_T_1_4_S2b_neu.png \|center\|frame\| Synthetisch erzeugte Texte (deutsch und englisch)]]
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	Man erkennt trotz der Beschränkung auf $k = 2$ viele (kurze) deutsche bzw. englische Wörter und auch, dass deutsche Wörter im Mittel länger sind als englische. Es ergibt sich zwar kein sinnvoller Inhalt, aber die Struktur der jeweiligen Sprache ist erkennbar. }}		Man erkennt trotz der Beschränkung auf  $k = 2$  viele (kurze) deutsche bzw. englische Wörter und auch, dass deutsche Wörter im Mittel länger sind als englische.  Es ergibt sich zwar kein sinnvoller Inhalt, aber die Struktur der jeweiligen Sprache ist erkennbar. }}

	==Markovkette erster Ordnung==		==Markovkette erster Ordnung==

Guenter am 1. August 2018 um 14:40 Uhr

2018-08-01T14:40:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. August 2018, 16:40 Uhr
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	Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#~~Zufallsprozesse_.281.29~~\|Zufallsprozesse]] noch ausführlich behandelt wird.		Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse\|Zufallsprozesse]] noch ausführlich behandelt wird.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

← Nächstältere Version		Version vom 11. November 2019, 18:39 Uhr
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	==Markovkette erster Ordnung==		==Markovkette erster Ordnung==
	<br>		<br>
	Im Folgenden beschränken wir uns stets auf den Sonderfall $k =1$ .		Im Folgenden beschränken wir uns stets auf den Sonderfall  $k =1$ .

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Bei einer '''Markovkette erster Ordnung''' (englisch: ''First Order Markov Chain'') wird lediglich die statistische Bindung zum letzten Ereignis berücksichtigt, die in der Praxis meist auch am stärksten ist.		$\text{Definition:}$  Bei einer  '''Markovkette erster Ordnung'''  (englisch:  ''First Order Markov Chain'')  wird lediglich die statistische Bindung zum letzten Ereignis berücksichtigt, die in der Praxis meist auch am stärksten ist.

	Eine binäre Markovkette erster Ordnung   ⇒   Grundmenge $G = \{ A, B \}$ weist zum Zeitpunkt $\nu$ folgende Ereigniswahrscheinlichkeiten auf:		Eine binäre Markovkette erster Ordnung   ⇒   Grundmenge  $G = \{ A, \ B \}$  weist zum Zeitpunkt  $\nu$  folgende Ereigniswahrscheinlichkeiten auf:
	:$${\rm Pr}(A_\nu) = {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu - 1}) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(B_{\nu - 1}) ,$$		:$${\rm Pr}(A_\nu) = {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu - 1}) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(B_{\nu - 1}) ,$$
	:$${\rm Pr}(B_\nu) = {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu - 1}) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(B_{\nu - 1}) .$$}}		:$${\rm Pr}(B_\nu) = {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu - 1}) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(B_{\nu - 1}) .$$}}
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	Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:		Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:
	*${\rm Pr}(A_\nu)$ steht als Abkürzung für die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit $ν$ das Ereignis $E_ν = A = \overline{B}$ auftritt, und es gilt ${\rm Pr}(B_\nu) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu)$.		*${\rm Pr}(A_\nu)$  steht als Abkürzung für die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit  $ν$  das Ereignis  $E_ν = A = \overline{B}$  auftritt, und es gilt  ${\rm Pr}(B_\nu) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu)$.
	*Zu jedem Zeitpunkt gibt es vier Übergangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(E_ν\hspace{0.05cm} \|\hspace{0.05cm} E_{ν–1})$, von denen jedoch nur zwei unabhängig sind, denn es gilt:		*Zu jedem Zeitpunkt gibt es vier Übergangswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(E_ν\hspace{0.05cm} \|\hspace{0.05cm} E_{ν–1})$, von denen jedoch nur zwei unabhängig sind, denn es gilt:
	:$${\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}), \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) = 1 - {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}).$$		:$${\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}), \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) = 1 - {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}).$$
	*Durch Verallgemeinerung dieser letzten Aussage gelangt man zu dem Ergebnis, dass es bei einer Markovkette mit $M$ Ereignissen zu jedem Zeitpunkt $ν$ genau $M · (M – 1)$ voneinander unabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten gibt.		*Durch Verallgemeinerung dieser letzten Aussage gelangt man zu dem Ergebnis, dass es bei einer Markovkette mit  $M$ Ereignissen  zu jedem Zeitpunkt  $ν$  genau  $M · (M – 1)$  voneinander unabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten gibt.