Stochastische Signaltheorie/Markovketten - Versionsgeschichte

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Eine&nbsp; '''Markovkette&nbsp; $k$-ter Ordnung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Markov Chain'')&nbsp; dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp;
+Eine&nbsp; '''Markovkette&nbsp; $k$-ter Ordnung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "Markov Chain")&nbsp; dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp;
 #&nbsp;  von den vorherigen Ereignissen&nbsp; $E_{ν\hspace{0.05cm}–1}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{ν\hspace{0.05cm}–k}$&nbsp; abhängen,&nbsp; und
 #&nbsp;durch&nbsp; $M^{k+1}$&nbsp; bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.}}

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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Mit den vorgegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 0.2$ und  ${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 0.4$ sind auch die beiden anderen Übergangswahrscheinlichkeiten eindeutig festgelegt:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Mit den vorgegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten
 :$${\rm Pr}(B_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} A_{ν–1}) = 1- 0.2 = 0.8 \hspace{0.3cm}\text{und}\hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(A_ν\hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm} B_{ν–1}) = 1- 0.4 = 0.6.$$}}

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 ==Markovkette erster Ordnung==
 <br>
-Im Folgenden beschränken wir uns stets auf den Sonderfall $k =1$ .
+Im Folgenden beschränken wir uns stets auf den Sonderfall&nbsp; $k =1$ .
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Bei einer  '''Markovkette erster Ordnung''' (englisch: ''First Order Markov Chain'') wird lediglich die statistische Bindung zum letzten Ereignis berücksichtigt, die in der Praxis meist auch am stärksten ist.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Bei einer&nbsp;  '''Markovkette erster Ordnung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''First Order Markov Chain'')&nbsp; wird lediglich die statistische Bindung zum letzten Ereignis berücksichtigt, die in der Praxis meist auch am stärksten ist.
-Eine binäre Markovkette erster Ordnung &nbsp;  ⇒  &nbsp; Grundmenge $G = \{ A, B \}$ weist zum Zeitpunkt $\nu$ folgende Ereigniswahrscheinlichkeiten auf:
+Eine binäre Markovkette erster Ordnung &nbsp;  ⇒  &nbsp; Grundmenge&nbsp; $G = \{ A, \ B \}$&nbsp; weist zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; folgende Ereigniswahrscheinlichkeiten auf:
 :$${\rm Pr}(A_\nu) = {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu - 1}) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(B_{\nu - 1}) ,$$
 :$${\rm Pr}(B_\nu) = {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu - 1}) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) \cdot {\rm Pr}(B_{\nu - 1}) .$$}}
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 Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:
-*${\rm Pr}(A_\nu)$ steht als Abkürzung für die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit $ν$ das Ereignis $E_ν = A = \overline{B}$ auftritt, und es gilt   ${\rm Pr}(B_\nu) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu)$.
+*${\rm Pr}(A_\nu)$&nbsp; steht als Abkürzung für die Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit&nbsp; $ν$&nbsp; das Ereignis&nbsp; $E_ν = A = \overline{B}$&nbsp; auftritt, und es gilt&nbsp;   ${\rm Pr}(B_\nu) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu)$.
-*Zu jedem Zeitpunkt gibt es vier Übergangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(E_ν\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} E_{ν–1})$, von denen jedoch nur zwei unabhängig sind, denn es gilt:
+*Zu jedem Zeitpunkt gibt es vier Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(E_ν\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm} E_{ν–1})$, von denen jedoch nur zwei unabhängig sind, denn es gilt:
 :$${\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}) = 1 - {\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu - 1}), \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(A_\nu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}) = 1 - {\rm Pr}(B_\nu \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu - 1}).$$
-*Durch Verallgemeinerung dieser letzten Aussage gelangt man zu dem Ergebnis, dass es bei einer Markovkette mit $M$ Ereignissen zu jedem Zeitpunkt $ν$ genau $M · (M – 1)$ voneinander unabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten gibt.
+*Durch Verallgemeinerung dieser letzten Aussage gelangt man zu dem Ergebnis, dass es bei einer Markovkette mit&nbsp; $M$ Ereignissen&nbsp; zu jedem Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp; genau&nbsp; $M · (M – 1)$&nbsp; voneinander unabhängige Übergangswahrscheinlichkeiten gibt.

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 ==Betrachtetes Szenario==
 <br>
-Wir betrachten nun abschließend den Fall, dass man ein Zufallsexperiment fortlaufend durchführt und dass zu jedem diskreten Zeitpunkt $(ν = 1, 2, 3, \text{...})$ ein neues  Ereignis $E_ν$ eintritt. Hierbei soll gelten:
+Wir betrachten abschließend den Fall, dass man ein Zufallsexperiment fortlaufend durchführt und dass zu jedem diskreten Zeitpunkt&nbsp; $(ν = 1, 2, 3, \text{...})$&nbsp; ein neues  Ereignis&nbsp; $E_ν$&nbsp; eintritt. Hierbei soll gelten:
 [[Datei:P_ID442__Sto_T_1_4_S1_neu.png |right|frame|Mögliche Ereignisse und Ereignisfolge]]
 :$$E_\nu \in G = \{ E_{\rm 1}, E_{\rm 2}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_\mu , \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_M \}.$$
 Diese mathematisch nicht ganz saubere Nomenklatur bedeutet (siehe Grafik):
-*Die $M$ möglichen Ereignisse werden mit dem Laufindex $μ$ durchnummeriert.
+*Die&nbsp; $M$&nbsp; möglichen Ereignisse werden mit dem Laufindex&nbsp; $μ$&nbsp; durchnummeriert.
-*Der Index $ν$ benennt die diskreten Zeitpunkte, zu denen Ereignisse auftreten.
+*Der Index&nbsp; $ν$&nbsp; benennt die diskreten Zeitpunkte, zu denen Ereignisse auftreten.
-Zur einfacheren Darstellung beschränken wir uns im Folgenden auf den Fall $M = 2$  mit der Grundmenge $G = \{ A, B \}$. Weiter soll gelten:
+Zur einfacheren Darstellung beschränken wir uns im Folgenden auf den Fall&nbsp; $M = 2$&nbsp;  mit der Grundmenge&nbsp; $G = \{ A, \ B \}$.&nbsp; Weiter soll gelten:
-*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_ν$ kann durchaus von allen vorherigen Ereignissen abhängen – also von den Ereignissen $E_{ν–1}, E_{ν–2}, E_{ν–3},$ usw.
+*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses&nbsp; $E_ν$&nbsp; kann durchaus von allen vorherigen Ereignissen abhängen – also von den Ereignissen&nbsp; $E_{ν\hspace{0.05cm}-1},&nbsp; E_{ν\hspace{0.05cm}-2},&nbsp; E_{ν\hspace{0.05cm}-3},$&nbsp; usw.
-*Diese Aussage bedeutet auch, dass wir in diesem Kapitel eine ''Ereignisfolge mit inneren statistischen Bindungen'' betrachten.
+*Diese Aussage bedeutet auch, dass wir in diesem Kapitel eine&nbsp; ''Ereignisfolge mit inneren statistischen Bindungen''&nbsp; betrachten.
-Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse|Zufallsprozesse]]  noch ausführlich behandelt wird.
+Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im  Kapitel&nbsp;} [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse|Zufallsprozesse]]&nbsp;  noch ausführlich behandelt wird.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Aus einem Kartenstapel mit $32$ Karten (darunter vier Asse) werden nacheinander Karten gezogen. Mit den Ereignissen
+Aus einem Kartenstapel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten (darunter vier Asse) werden nacheinander Karten gezogen. Mit den Ereignissen
-*$A\text{ :}=$ „die gezogene Karte ist ein Ass”, und
+*$A\text{ :}=$&nbsp; „die gezogene Karte ist ein Ass”, und
-*$B = \overline{A}:=$ „die gezogene Karte ist kein Ass” lauten die Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν = 1$:
+*$B = \overline{A}:=$&nbsp; „die gezogene Karte ist kein Ass” lauten die Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $ν = 1$:
 :$${\rm Pr} (A_{\rm 1})  ={4}/{32}= {1}/{8}, \hspace{0.5cm}{\rm Pr} (B_{\rm 1}) = {28}/{32}= {7}/{8}.$$
-Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr} (A_{\rm 2})$, dass als zweite Karte $(ν = 2)$ ein Ass gezogen wird, hängt nun davon ab,
+Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr} (A_{\rm 2})$,&nbsp; dass als zweite Karte&nbsp; $(ν = 2)$&nbsp; ein Ass gezogen wird, hängt nun davon ab,
-*ob zum Zeitpunkt $ν = 1$ ein Ass gezogen wurde  &nbsp;  ⇒ &nbsp; ${\rm Pr} (A_{\rm 2})  = 3/31 < 1/8$,    oder
+*ob zum Zeitpunkt&nbsp; $ν = 1$&nbsp; ein Ass gezogen wurde  &nbsp;  ⇒ &nbsp; ${\rm Pr} (A_{\rm 2})  = 3/31 < 1/8$,&nbsp;    oder
-*ob zum Zeitpunkt $ν = 1$ kein Ass gezogen wurde &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm Pr} (A_{\rm 2})  = 4/31 > 1/8$.
+*ob zum Zeitpunkt&nbsp; $ν = 1$&nbsp; kein Ass gezogen wurde &nbsp; ⇒ &nbsp; ${\rm Pr} (A_{\rm 2})  = 4/31 > 1/8$.
-Auch die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr} (A_{\nu})$ zu späteren Zeitpunkten $ν$&nbsp; hängen stets vom Eintreffen bzw. Nichteintreffen aller vorherigen Ereignisse $E_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} ,E_{ν–1}$ ab.}}
+Auch die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr} (A_{\nu})$&nbsp; zu späteren Zeitpunkten&nbsp; $ν$&nbsp; hängen stets vom Eintreffen bzw. Nichteintreffen aller vorherigen Ereignisse&nbsp; $E_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm} ,E_{ν\hspace{0.05cm}–1}$&nbsp; ab.}}
 ==Allgemeine Definition einer Markovkette==
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Eine '''Markovkette $k$-ter Ordnung''' (englisch: ''Markov Chain'') dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen
+Eine&nbsp; '''Markovkette&nbsp; $k$-ter Ordnung'''&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Markov Chain'')&nbsp; dient als Modell für zeit- und wertdiskrete Vorgänge, bei denen
-*die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν$&nbsp;  von den vorherigen Ereignissen $E_{ν–1}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{ν–k}$ abhängen, und
+#&nbsp;die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp;  von den vorherigen Ereignissen&nbsp; $E_{ν\hspace{0.05cm}–1}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_{ν\hspace{0.05cm}–k}$&nbsp; abhängen, und
-*durch $M^{k+1}$ bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.
+#&nbsp;durch&nbsp; $M^{k+1}$&nbsp; bedingte Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können.}}
-Für $M = 2$ gibt es deshalb $2^{k+1}$ solche bedingten Wahrscheinlichkeiten. Mit $E_{\nu }\in \{ A, B \}, \hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } } \in \{ A, B \}$ lauten diese:
+[[Datei:P_ID444__Sto_T_1_4_S2a_neu.png |right|frame| Markovkette zweiter Ordnung]]
 :$${\rm Pr} ( E_\nu  \hspace {0.05cm}\vert  \hspace {0.05cm}E_{\nu {\rm -1 } },\hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } }).$$
-Das Schaubild verdeutlicht diesen Sachverhalt am Beispiel $k = 2$.}}
+Mit&nbsp; $E_{\nu }\in \{ A, B \}, \hspace {0.1cm}\text{...}\hspace {0.1cm}, E_{\nu { -k } } \in \{ A, B \}$&nbsp; lauten diese:
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Natürliche Sprachen sind oft durch Markovketten beschreibbar, wobei allerdings die Ordnung $k$ gegen Unendlich strebt. In diesem Beispiel werden Texte allerdings lediglich durch Markovketten zweiter Ordnung angenähert.
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Natürliche Sprachen sind oft durch Markovketten beschreibbar, wobei allerdings die Ordnung&nbsp; $k$&nbsp; gegen Unendlich strebt.&nbsp; In diesem Beispiel werden Texte allerdings lediglich durch Markovketten zweiter Ordnung angenähert.
 [[Datei:P_ID506__Sto_T_1_4_S2b_neu.png |center|frame| Synthetisch erzeugte Texte (deutsch und englisch)]]
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-Man erkennt trotz der Beschränkung auf $k = 2$  viele (kurze) deutsche bzw. englische Wörter und auch, dass deutsche Wörter im Mittel länger sind als englische. Es ergibt sich zwar kein sinnvoller Inhalt, aber die Struktur der jeweiligen Sprache ist erkennbar. }}
+Man erkennt trotz der Beschränkung auf&nbsp; $k = 2$&nbsp;  viele (kurze) deutsche bzw. englische Wörter und auch, dass deutsche Wörter im Mittel länger sind als englische.&nbsp; Es ergibt sich zwar kein sinnvoller Inhalt, aber die Struktur der jeweiligen Sprache ist erkennbar. }}
 ==Markovkette erster Ordnung==

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−	Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#~~Zufallsprozesse_.281.29~~\|Zufallsprozesse]] noch ausführlich behandelt wird.	+	Dieses Szenario ist ein Sonderfall eines zeit- und wertdiskreten Zufallsprozesses, der im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse\|Zufallsprozesse]] noch ausführlich behandelt wird.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-Bei einer stationären Markovkette treten sehr lange nach Einschalten der Kette $(ν → ∞)$ stets die ergodischen Wahrscheinlichkeiten auf, unabhängig von den Startbedingungen ${\rm Pr}(A_0)$ und ${\rm Pr}(B_0) = 1 - {\rm Pr}(A_0)$.
+Bei einer stationären Markovkette treten sehr lange nach Einschalten der Kette $(ν → ∞)$ mit guter Näherung stets die ergodischen Wahrscheinlichkeiten auf, unabhängig von den Startbedingungen ${\rm Pr}(A_0)$ und ${\rm Pr}(B_0) = 1 - {\rm Pr}(A_0)$.
 }}
 ==Matrix-Vektordarstellung==
 Homogene Markovketten können mit Vektoren und Matrizen sehr kompakt dargestellt werden. Dies empfiehlt sich insbesondere, wenn mehr als zwei Ereignisse betrachtet werden:
-$$E_\nu \in G = \{ E_{\rm 1}, E_{\rm 2}, \hspace{0.1cm}...\hspace{0.1cm}, E_\mu , \hspace{0.1cm}...\hspace{0.1cm}, E_M \}.$$
+:$$E_\nu \in G = \{ E_{\rm 1}, E_{\rm 2}, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_\mu , \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, E_M \}.$$
 Für die Matrix-Vektorendarstellung verwenden wir folgende Nomenklatur:
-*Die $M$ Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν$ fasst man zu einem Spaltenvektor zusammen:
+*Die $M$ Wahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν$ fassen wir einem Spaltenvektor zusammen:
 :$${\mathbf{p}^{(\nu)}} = \left[ \begin{array}{c} {p_{\rm 1}}^{(\nu)} \\ \dots \\ {p_{M}}^{(\nu)} \end{array} \right] \hspace{0.5cm}{\rm mit} \hspace{0.5cm} {p_{\mu}}^{(\nu)} = {\rm Pr}(E_\nu = E_\mu ).$$
 *Die Übergangswahrscheinlichkeiten werden durch eine $M$ x $M$-Matrix ausgedrückt:
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 Der neue Ereigniswahrscheinlichkeitsvektor nach einem Schritt lautet:
-$${\mathbf{p}^{(\nu + 1)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu )}} .$$
+:$${\mathbf{p}^{(\nu + 1)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu )}} .$$
-${\mathbf{P}^{\rm T}}$ bezeichnet hierbei die ''transponierte'' Matrix zu '''P'''. Nach $n$ Schritten ergibt sich somit
+${\mathbf{P}^{\rm T}}$ bezeichnet hierbei die ''transponierte'' Matrix zu $\mathbf{P}$. Nach $n$ Schritten ergibt sich somit
-$${\mathbf{p}^{(\nu +{\it n})}} = \left( {\mathbf{P}}^{\rm T} \right)^n \cdot {\mathbf{p}^{(\nu )}} .$$
+:$${\mathbf{p}^{(\nu +{\it n})}} = \left( {\mathbf{P}}^{\rm T} \right)^n \cdot {\mathbf{p}^{(\nu )}} .$$
 Im Grenzübergang ( $n → ∞$) erreicht man dann stets die Stationarität der Markovkette:
-$$\lim_{n \to\infty}\hspace{0.1cm}{\mathbf{p}^{(\nu + n)}} = \lim_{n \to\infty} \left( {\mathbf{P}}^{\rm T} \right)^n \cdot {\mathbf{p}^{(\nu )}}  = {\mathbf{p}}_{\rm erg}= \left[ \begin{array}{c} {p_{\rm 1}} \\ \dots \\ {p_{M}} \end{array} \right] .$$
+:$$\lim_{n \to\infty}\hspace{0.1cm}{\mathbf{p}^{(\nu + n)}} = \lim_{n \to\infty} \left( {\mathbf{P}}^{\rm T} \right)^n \cdot {\mathbf{p}^{(\nu )}}  = {\mathbf{p}}_{\rm erg}= \left[ \begin{array}{c} {p_{\rm 1}} \\ \dots \\ {p_{M}} \end{array} \right] .$$
-{{Definition}}
+{{BlaueBox|TEXT=
-Multipliziert man die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ unendlich oft mit sich selbst und benennt das Ergebnis mit ${\mathbf{P}}_{\rm erg}$, so besteht die resultierende Matrix aus $M$ gleichen Zeilen:
+$\text{Definition:}$&nbsp;
-$${\mathbf{P}}_{\rm erg} = \lim_{n \to\infty}  {\mathbf{P}}^n = \left[ \begin{array}{cccc} p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{M} \\ p_{1} & p_{2}& \cdots & p_{M} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{M}  \end{array} \right] .$$
+Multipliziert man die Übergangsmatrix ${\mathbf{P} }$ unendlich oft mit sich selbst und benennt das Ergebnis mit ${\mathbf{P} }_{\rm erg}$, so besteht die resultierende Matrix aus $M$ gleichen Zeilen:
-Die Wahrscheinlichkeiten $p_1, ... , p_M$ in jeder dieser Zeilen bezeichnet man als die '''ergodischen Wahrscheinlichkeiten''' .
+:$${\mathbf{P} }_{\rm erg} = \lim_{n \to\infty}  {\mathbf{P} }^n = \left[ \begin{array}{cccc} p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{M} \\ p_{1} & p_{2}& \cdots & p_{M} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ p_{1} & p_{2} & \cdots & p_{M}  \end{array} \right] .$$
-{{end}}
+Die Wahrscheinlichkeiten $p_1, \hspace{0.1cm}\text{...}\hspace{0.1cm}, p_M$ in jeder dieser Zeilen bezeichnet man als die '''ergodischen Wahrscheinlichkeiten''' . }}
 [[Datei:P_ID1445__Sto_T_1_4_S6c_neu.png | right|frame|Markovdiagramm mit drei Ereignissen]]
-Wir betrachten eine Markovkette mit den Ereignissen $E_1, E_2$ und $E_3$. Die Grafik zeigt das Markovdiagramm, die Übergangsmatrix '''P''' und deren Potenzen. Im Markovdiagramm sind alle Übergangswahrscheinlichkeiten „1/2” blau eingezeichnet; grün kennzeichnet die Wahrscheinlichkeit „1/4”.
+{{GraueBox|TEXT=
 *Beim Start ( $ν =0$) sind alle Ereignisse gleichwahrscheinlich.
 *Für den Zeitpunkt $ν = 1$ gilt dann:
-:$${\mathbf{p}^{(1)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(0 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/2&  1/2 \\ 1/4 & 0 & 1/2  \\ 1/4& 1/2& 0  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1/3 \\ 1/3  \\ 1/3  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/4  \\ 1/4  \end{array} \right] .$$
+:$${\mathbf{p}^{(1)} } = {\mathbf{P} }^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(0 )} }= \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/2&  1/2 \\ 1/4 & 0 & 1/2  \\ 1/4& 1/2& 0  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1/3 \\ 1/3  \\ 1/3  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/4  \\ 1/4  \end{array} \right] .$$
-:Hieraus ist zu ersehen, dass man von der Matrix '''P''' durch den Austausch der Zeilen und Spalten zur transponierten Matrix ${\mathbf{P}^{\rm T}}$ kommt.
+:Hieraus ist zu ersehen, dass man von der Matrix  $\mathbf{P}$ durch den Austausch der Zeilen und Spalten zur transponierten Matrix ${\mathbf{P}^{\rm T} }$ kommt.
 *Zum Zeitpunkt $ν =2$ (und auch zu allen späteren Zeiten) ergeben sich die gleichen Wahrscheinlichkeiten:
-:$${\mathbf{p}^{(2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/2&  1/2 \\ 1/4 & 0 & 1/2  \\ 1/4& 1/2& 0  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/4  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/4  \\ 1/4  \end{array} \right] .$$
+:$${\mathbf{p}^{(2)} } = {\mathbf{P} }^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(1 )} }= \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/2&  1/2 \\ 1/4 & 0 & 1/2  \\ 1/4& 1/2& 0  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/4  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/4  \\ 1/4  \end{array} \right] .$$
 :Das bedeutet: Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind „1/2”, „1/4” und „1/4”.
 *Dieses Ergebnis hätte man auch direkt aus der ergodischen Matrix ablesen können:
-:$${\mathbf{P}}_{\rm erg} = \lim_{n \to\infty}  {\mathbf{P}}^n = \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/4 & 1/4  \\ 1/2 & 1/4 & 1/4  \end{array} \right] .$$
+:$${\mathbf{P} }_{\rm erg} = \lim_{n \to\infty}  {\mathbf{P} }^n = \left[ \begin{array}{ccc} 1/2 & 1/4 & 1/4 \\ 1/2 & 1/4 & 1/4  \\ 1/2 & 1/4 & 1/4  \end{array} \right] .$$
-:Diese ergibt sich durch fortlaufende Multiplikation der Übergangsmatrix mit sich selbst. Im obigen Bild sind die Potenzen $\mathbf{P}^2$ und $\mathbf{P}^3$ angegeben, die sich der Matrix $\mathbf{P}_{\rm erg}$ annähern.
+:Diese ergibt sich durch fortlaufende Multiplikation der Übergangsmatrix mit sich selbst.
-{{end}}
+*Im obigen Bild sind die Potenzen $\mathbf{P}^2$ und $\mathbf{P}^3$ angegeben, die sich der Matrix $\mathbf{P}_{\rm erg}$ annähern.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:1.6_Übergangswahrscheinlichkeiten|Aufgabe 1.6: &nbsp; Übergangswahrscheinlichkeiten]]
+[[Aufgaben:1.6_Übergangswahrscheinlichkeiten|Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten]]
-[[Aufgaben:1.6Z_Ergodische_Wahrscheinlichkeiten|Zusatzaufgabe 1.6Z: &nbsp; Ergodische Wahrscheinlichkeiten]]
+[[Aufgaben:1.6Z_Ergodische_Wahrscheinlichkeiten|Aufgabe 1.6Z: Ergodische Wahrscheinlichkeiten]]
-[[Aufgaben:1.7 Ternäre Markovkette|Aufgabe 1.7: &nbsp; Ternäre Markovkette]]
+[[Aufgaben:1.7 Ternäre Markovkette|Aufgabe 1.7: Ternäre Markovkette]]
-[[Aufgaben:1.7Z_BARBARA-Generator|Zusatzaufgabe 1.7Z: &nbsp; BARBARA-Generator]]
+[[Aufgaben:1.7Z_BARBARA-Generator|Aufgabe 1.7Z: BARBARA-Generator]]
 {{Display}}