Stochastische Signaltheorie/Linearkombinationen von Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Februar 2022 um 13:03 Uhr

2022-02-25T13:03:35Z

Guenter am 27. November 2019 um 12:43 Uhr

2019-11-27T12:43:32Z

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Guenter am 17. August 2018 um 08:15 Uhr

2018-08-17T08:15:40Z

Guenter am 11. April 2018 um 08:22 Uhr

2018-04-11T08:22:42Z

Wael am 28. Dezember 2017 um 18:50 Uhr

2017-12-28T18:50:37Z

Guenter am 20. März 2017 um 15:29 Uhr

2017-03-20T15:29:50Z

Guenter am 20. März 2017 um 15:18 Uhr

2017-03-20T15:18:03Z

Guenter am 20. März 2017 um 14:57 Uhr

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Guenter am 20. März 2017 um 14:54 Uhr

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Christoph am 2. Juni 2016 um 15:56 Uhr

2016-06-02T15:56:21Z

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 *Die Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; seien jeweils mittelwertfrei &nbsp;  ⇒  &nbsp; $m_u = m_v = 0$&nbsp; und zudem statistisch unabhängig voneinander  &nbsp; ⇒  &nbsp; $ρ_{uv} = 0$.
 *Die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; besitzen jeweils gleiche Streuung&nbsp; $σ$.&nbsp; Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
-*Die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; seien Linearkombinationen von&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$, wobei gilt:
+*Die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; seien Linearkombinationen von&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$,&nbsp; wobei gilt:
 :$$x=A \cdot u + B \cdot v + C,$$
 :$$y=D \cdot u + E \cdot v + F.$$
-Für die (linearen) Mittelwerte der neuen Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; erhält man somit nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte:
+Für die&nbsp; (linearen)&nbsp; Mittelwerte der neuen Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; erhält man somit nach den allgemeinen Rechenregeln für Erwartungswerte:
 :$$m_x =A \cdot m_u + B \cdot m_v + C =C,$$
 :$$m_y =D \cdot m_u + E \cdot m_v + F =F.$$
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 :$$\sigma _x ^2 = {\rm E}\big[x ^{\rm 2}\big] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}\big[u^{\rm 2}\big]  + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}\big[v^{\rm 2}\big] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}\big[u \cdot v\big].$$
-*Die Erwartungswerte von&nbsp; $u^2$&nbsp; und&nbsp; $v^2$&nbsp; sind definitionsgemäß jeweils gleich&nbsp; $σ^2$, weil&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; mittelwertfrei sind.
+*Die Erwartungswerte von&nbsp; $u^2$&nbsp; und&nbsp; $v^2$&nbsp; sind definitionsgemäß jeweils gleich&nbsp; $σ^2$,&nbsp; weil&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; mittelwertfrei sind.
-*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:
+*Da&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden,&nbsp; kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:
 :$${\rm E}\big[u \cdot v\big] = {\rm E}\big[u\big] \cdot {\rm E}\big[v\big] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$
 *Damit erhält man für die Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen:
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
-Wir schließen nun Zwei Sonderfälle aus:
+Wir schließen nun zwei Sonderfälle aus:
-*$A = B = 0$&nbsp;  &rArr; &nbsp; $x ≡ 0$&nbsp; sowie
+*$A = B = 0$&nbsp;  &rArr; &nbsp; $x ≡ 0$,
 *$D = E = 0$&nbsp;  &rArr; &nbsp; $y ≡ 0$.
@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 Setzen wir&nbsp;  $A = E = 0$,&nbsp; so ergibt sich der Korrelationskoeffizient&nbsp; $ρ_{xy} = 0$.&nbsp; Dieses Ergebnis ist einsichtig:
 *Nun hängt&nbsp; $x$&nbsp; nur noch von&nbsp; $v$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; ausschließlich von&nbsp; $u$&nbsp; ab.
-*Da aber&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen auch keine Beziehungen zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
+*Da aber&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; als statistisch unabhängig angenommen wurden,&nbsp; bestehen auch keine Beziehungen zwischen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$.
 *Ebenso ergibt sich &nbsp;$ρ_{xy} = 0$&nbsp;  für die Kombination&nbsp; $B = D = 0$.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Konstellation &nbsp;$B = E = 0$&nbsp; führt dazu, dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; nur noch von&nbsp; $u$&nbsp; abhängen.&nbsp; Dann ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Konstellation &nbsp;$B = E = 0$&nbsp; führt dazu,&nbsp; dass sowohl&nbsp; $x$&nbsp; als auch&nbsp; $y$&nbsp; nur noch von&nbsp; $u$&nbsp; abhängen.&nbsp; Dann ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{xy } =  \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2} } } = \frac {A \cdot D }{\vert A\vert \cdot \vert D\vert } =\pm 1. $$
-*Besitzen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $D$&nbsp; gleiches Vorzeichen, so ist&nbsp; $ρ_{xy} = +1$.
+*Besitzen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $D$&nbsp; gleiches Vorzeichen,&nbsp; so ist&nbsp; $ρ_{xy} = +1$.
 *Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient&nbsp; $-1$.
-*Auch für &nbsp;$A = D = 0$&nbsp; ergibt sich der Koeffizient&nbsp; $ρ_{xy} = ±1$, wenn&nbsp; $B \ne 0$&nbsp; und&nbsp; $E \ne 0$&nbsp; gilt. }}
+*Auch für &nbsp;$A = D = 0$&nbsp; ergibt sich der Koeffizient&nbsp; $ρ_{xy} = ±1$,&nbsp; wenn&nbsp; $B \ne 0$&nbsp; und&nbsp; $E \ne 0$&nbsp; gilt. }}
 ==Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen==
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 Die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Resultierender_Korrelationskoeffizient|Gleichungen der letzten Seite]]&nbsp; können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $(x, y)$&nbsp; mit vorgegebenen Kenngrößen&nbsp; $σ_x$,&nbsp; $σ_y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy}$&nbsp; genutzt werden.
-*Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen, so ist einer der vier Koeffizienten&nbsp; $A, \ B, \ D$&nbsp; und&nbsp; $E$&nbsp; frei wählbar.
+*Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen,&nbsp; so ist einer der vier Koeffizienten&nbsp; $A, \ B, \ D$&nbsp; und&nbsp; $E$&nbsp; frei wählbar.
 *Im Folgenden wird stets willkürlich&nbsp; $E = 0$&nbsp; gesetzt.
-*Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch unabhängigen Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; jeweils die Streuung&nbsp; $σ =1$&nbsp;  aufweisen, erhält man:
+*Mit der weiteren Festlegung,&nbsp; dass die statistisch unabhängigen Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; jeweils die Streuung&nbsp; $σ =1$&nbsp;  aufweisen,&nbsp; erhält man:
 :$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$
 *Bei&nbsp; $σ ≠ 1$&nbsp; sind diese Werte jeweils noch durch&nbsp; $σ$&nbsp; zu dividieren.
@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
 Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; aus.&nbsp; Beide besitzen die Varianz&nbsp; $σ^2 = 1$.
 $(1)$ &nbsp; Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten&nbsp; $σ_x =1$,&nbsp; $σ_y = 1.55$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{xy} = -0.8$&nbsp; eignet sich zum Beispiel der Parametersatz
-[[Datei:P_ID419__Sto_T_4_3_S3_neu.png|right |frame| Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen]]
+[[Datei:P_ID419__Sto_T_4_3_S3_neu.png|right |frame| Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen  '''Korrekturen''': KG, EA]]
 :$$A =  -0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55, \; E = 0.$$
 *Dieser Parametersatz liegt der linken Grafik zugrunde.
-*Die Korrelationsgerade&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist rot dargestellt.
+*Die Korrelationsgerade&nbsp; $\rm (KG)$&nbsp; ist rot dargestellt.
 *Sie verläuft unter einem Winkel von etwa&nbsp; $-50^\circ$.
-*Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.
+*Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse&nbsp; $\rm (EA)$, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 $(2)$ &nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet:
 :$$A =  -0.625,\; B = 0.781,\; D = 1.501,\; E =  -0.390.$$
-*Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
+*Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat,&nbsp; auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
-*Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum Parametersatz&nbsp; $(1)$.  }}
+*Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade&nbsp; $\rm (KG)$&nbsp;und Ellipsenhauptachse&nbsp; $\rm (EA)$&nbsp;kein Unterschied zum Parametersatz&nbsp; $(1)$.  }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 ==Voraussetzungen und Mittelwerte==
 <br>
-In diesem Kapitel &bdquo; Linearkombinationen von Zufallsgrößen &rdquo;  gehen wir von den folgenden Annahmen aus:
+Im gesamten Kapitel &bdquo; Linearkombinationen von Zufallsgrößen &rdquo;  gehen wir von den folgenden Annahmen aus:
 *Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien jeweils mittelwertfrei &nbsp;  ⇒  &nbsp; $m_u = m_v = 0$ und zudem statistisch unabhängig voneinander  &nbsp; ⇒  &nbsp; $ρ_{uv} = 0$.
 *Die beiden Zufallsgrößen $u$ und $v$ besitzen jeweils gleiche Streuung $σ$. Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 ==Resultierender Korrelationskoeffizient==
 <br>
-Betrachten wir nun die '''Varianzen''' der Zufallsgrößen nach den Linearkombinationen. Für die Zufallsgröße $x$ gilt unabhängig vom Parameter $C$:
+Betrachten wir nun die '''Varianzen''' der Zufallsgrößen nach den Linearkombinationen.
-:$$\sigma _x ^2 = {\rm E}[x ^{\rm 2}] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}[u^{\rm 2}]  + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}[v^{\rm 2}] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}[u \cdot v].$$
+*Für die Zufallsgröße $x$ gilt unabhängig vom Parameter $C$:
-Die Erwartungswerte von $u^2$ und $v^2$ sind definitionsgemäß jeweils gleich $σ^2$, weil $u$ und $v$ mittelwertfrei sind. Da $u$ und $v$ zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:
+*Die Erwartungswerte von $u^2$ und $v^2$ sind definitionsgemäß jeweils gleich $σ^2$, weil $u$ und $v$ mittelwertfrei sind.
-:$${\rm E}[u \cdot v] = {\rm E}[u] \cdot {\rm E}[v] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$
+*Da $u$ und $v$ zudem als statistisch unabhängig vorausgesetzt werden, kann man für den Erwartungswert des Produktes auch schreiben:
-Damit erhält man für die Varianzen der durch Linearkombinationen gebildeten Zufallsgrößen:
+:$${\rm E}\big[u \cdot v\big] = {\rm E}\big[u\big] \cdot {\rm E}\big[v\big] = m_u \cdot m_v = \rm 0.$$
 :$$\sigma _x ^2 =(A^2 + B^2) \cdot \sigma ^2,$$
 :$$\sigma _y ^2 =(D^2 + E^2) \cdot \sigma ^2.$$
@@ Zeile 32: / Zeile 34: @@
 Die '''Kovarianz''' $μ_{xy}$ ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen $x$ und $y$   &nbsp; ⇒  &nbsp;  $C = F = 0$ identisch mit dem gemeinsamen Moment $m_{xy}$:
-:$$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}[x \cdot y] = {\rm E}[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)].$$
+:$$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}\big[x \cdot y\big] = {\rm E}\big[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)\big].$$
-Beachten Sie hierbei, dass ${\rm E}[ \text{...} ]$ einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:
+Beachten Sie hierbei, dass ${\rm E}\big[ \text{...} \big]$ einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt.
 :$$\mu_{xy } =  (A \cdot D + B \cdot E) \cdot  \sigma^{\rm 2 }
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
-\rho_{xy } = \frac{\rho_{xy }}{\sigma_x \cdot \sigma_y} =  \frac {A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^{\rm 2}+B^{\rm 2})(D^{\rm 2}+E^{\rm 2})}}. $$
+\rho_{xy } = \frac{\rho_{xy } }{\sigma_x \cdot \sigma_y} =  \frac {A \cdot D + B \cdot E}{\sqrt{(A^{\rm 2}+B^{\rm 2})(D^{\rm 2}+E^{\rm 2} ) } }. $$}}
-Schließen wir die Sonderfälle $A = B = 0$  (d. h. $x ≡ 0$ ) sowie $D = E = 0$  (d. h. $y ≡ 0$ ) aus, so liefert die Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich $–1 ≤ ρ_{xy} ≤ +1$.
+Wir schließen nun die Sonderfälle $A = B = 0$  (d. h. $x ≡ 0$ ) sowie $D = E = 0$  (d. h. $y ≡ 0$ ) aus. Dann liefert diese Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich &nbsp;$–1 ≤ ρ_{xy} ≤ +1$.
 {{GraueBox|TEXT=
@@ Zeile 45: / Zeile 51: @@
 *Nun hängt $x$ nur noch von $v$ und $y$ ausschließlich von $u$ ab.
 *Da aber $u$ und $v$ als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen keine Beziehungen zwischen $x$ und $y$.
-*Ebenso ergibt sich $ρ_{xy} = 0$  für die Kombination $B = D = 0$.}}
+*Ebenso ergibt sich &nbsp;$ρ_{xy} = 0$&nbsp;  für die Kombination $B = D = 0$.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Konstellation $B = E = 0$ führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy} = ±1$:
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Konstellation &nbsp;$B = E = 0$&nbsp; führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. Dann ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:
 :$$\rho_{xy } =  \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2} } } = \frac {A \cdot D }{\vert A\vert \cdot \vert D\vert } =\pm 1. $$
 *Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} = +1$.
 *Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient $-1$.
-*Auch für $A = D = 0$ ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} = ±1$. }}
+*Auch für &nbsp;$A = D = 0$&nbsp; ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} = ±1$, wenn $B \ne 0$ und $E \ne 0$ gilt. }}
 ==Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen==
@@ Zeile 60: / Zeile 66: @@
 Die [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Resultierender_Korrelationskoeffizient|Gleichungen der letzten Seite]] können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße $(x, y)$ mit vorgegebenen Kenngrößen $σ_x$, $σ_y$ und $ρ_{xy}$ genutzt werden.
-*Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen, so ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar. Im Folgenden wird stets willkürlich $E = 0$ gesetzt.
+*Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen, so ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar.
 *Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ jeweils die Streuung $σ =1$  aufweisen, erhält man:
 :$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$
@@ Zeile 70: / Zeile 77: @@
 Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$ aus. Beide besitzen die Varianz $σ^2 = 1$.
-'''(a)'''&nbsp; Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = -0.8$ eignet sich zum Beispiel der Parametersatz $A =  -0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55,  E = 0$, der dem linken Bild zugrundeliegt.
+$(1)$ &nbsp; Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = -0.8$ eignet sich zum Beispiel der Parametersatz
-*Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist rot dargestellt. Sie verläuft unter einem Winkel von etwa $-50^\circ$.
+[[Datei:P_ID419__Sto_T_4_3_S3_neu.png|right |frame| Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen]]
 *Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.
-'''(b)'''&nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A =  -0.625, B = 0.781, D = 1.501, E =  -0.390$.
+$(2)$ &nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet:
 *Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
-*Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum Parametersatz '''(a)'''.  }}
+*Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum Parametersatz $(1)$.  }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 }}
 ==Voraussetzungen und Mittelwerte==
 In diesem Kapitel &bdquo; Linearkombinationen von Zufallsgrößen &rdquo;  gehen wir von den folgenden Annahmen aus:
-*Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien jeweils mittelwertfrei  ⇒  $m_u = m_v = 0$ und zudem statistisch unabhängig voneinander  ⇒  $ρ_{uv} = 0$.
+*Die Zufallsgrößen $u$ und $v$ seien jeweils mittelwertfrei &nbsp;  ⇒  &nbsp; $m_u = m_v = 0$ und zudem statistisch unabhängig voneinander  &nbsp; ⇒  &nbsp; $ρ_{uv} = 0$.
 *Die beiden Zufallsgrößen $u$ und $v$ besitzen jeweils gleiche Streuung $σ$. Über die Art der Verteilung wird keine Aussage getroffen.
 *Die beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ seien Linearkombinationen von $u$ und $v$, wobei gilt:
@@ Zeile 19: / Zeile 20: @@
 ==Resultierender Korrelationskoeffizient==
-Betrachten wir nun die '''Varianzen''' nach den Linearkombinationen. Für die Zufallsgröße $x$ gilt unabhängig vom Parameter $C$:
+<br>
 :$$\sigma _x ^2 = {\rm E}[x ^{\rm 2}] = A^{\rm 2} \cdot {\rm E}[u^{\rm 2}]  + B^{\rm 2} \cdot {\rm E}[v^{\rm 2}] + {\rm 2} \cdot A \cdot B \cdot {\rm E}[u \cdot v].$$
@@ Zeile 31: / Zeile 33: @@
 Die '''Kovarianz''' $μ_{xy}$ ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen $x$ und $y$   &nbsp; ⇒  &nbsp;  $C = F = 0$ identisch mit dem gemeinsamen Moment $m_{xy}$:
 :$$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}[x \cdot y] = {\rm E}[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)].$$
-Beachten Sie hierbei, dass E[ $\,$ ] einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:
+Beachten Sie hierbei, dass ${\rm E}[ \text{...} ]$ einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:
 :$$\mu_{xy } =  (A \cdot D + B \cdot E) \cdot  \sigma^{\rm 2 }
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 38: / Zeile 40: @@
 Schließen wir die Sonderfälle $A = B = 0$  (d. h. $x ≡ 0$ ) sowie $D = E = 0$  (d. h. $y ≡ 0$ ) aus, so liefert die Gleichung stets eindeutige Werte für den Korrelationskoeffizienten im Bereich $–1 ≤ ρ_{xy} ≤ +1$.
-'''(1)'''&nbsp; Setzen wir zum Beispiel $A = E = 0$, so ergibt sich der Korrelationskoeffizient $ρ_{xy} = 0$. Dieses Ergebnis ist einsichtig: Nun hängt $x$ nur noch von $v$ und $y$ ausschließlich von $u$ ab. Da aber $u$ und $v$ als statistisch unabhängig angenommen wurden, bestehen keine Beziehungen zwischen $x$ und $y$.  –  Ebenso ergibt sich $ρ_{xy} = 0$  für $B = D = 0$.
+{{GraueBox|TEXT=
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Konstellation $B = E = 0$ führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy} = ±1$:
-'''(2)'''&nbsp; Die Konstellation $B = E = 0$ 0 führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy} = ±1$:
+:$$\rho_{xy } =  \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2} } } = \frac {A \cdot D }{\vert A\vert \cdot \vert D\vert } =\pm 1. $$
 *Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} = +1$.
-*Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient $–1$.
+*Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient $-1$.
-*Auch für $A = D = 0$ ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} = ±1$.
+*Auch für $A = D = 0$ ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} = ±1$. }}
 ==Erzeugung korrelierter Zufallsgrößen==
 Die [[Stochastische_Signaltheorie/Linearkombinationen_von_Zufallsgrößen#Resultierender_Korrelationskoeffizient|Gleichungen der letzten Seite]] können zur Erzeugung einer zweidimensionalen Zufallsgröße $(x, y)$ mit vorgegebenen Kenngrößen $σ_x$, $σ_y$ und $ρ_{xy}$ genutzt werden.
-*Wenn außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen werden, ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar. Im Folgenden wird stets willkürlich $E = 0$ gesetzt.
+*Werden außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen, so ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar. Im Folgenden wird stets willkürlich $E = 0$ gesetzt.
-*Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ jeweils die gleiche Streuung $σ =1$  aufweisen, erhält man:
+*Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ jeweils die Streuung $σ =1$  aufweisen, erhält man:
 :$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$
 *Bei $σ ≠ 1$ sind diese Werte jeweils noch durch $σ$ zu dividieren.
-{{Box}}
+{{GraueBox|TEXT=
-'''Beispiele:'''&nbsp; Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$ aus. Beide besitzen die Varianz $σ^2 = 1$.
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-'''(1)'''&nbsp; Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = –0.8$ eignet sich z. B. der Parametersatz $A = \ –0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55, \; E = 0$, der dem linken Bild zugrundeliegt.
+'''(a)'''&nbsp; Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = -0.8$ eignet sich zum Beispiel der Parametersatz $A =  -0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55,  E = 0$, der dem linken Bild zugrundeliegt.
-*Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist rot dargestellt. Sie verläuft unter einem Winkel von etwa $–50^\circ$.
+*Die Korrelationsgerade $K(x)$ ist rot dargestellt. Sie verläuft unter einem Winkel von etwa $-50^\circ$.
 *Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse, die etwas oberhalb der Korrelationsgeraden liegt.
-[[Datei:P_ID419__Sto_T_4_3_S3_neu.png |frame| Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen]]
+[[Datei:P_ID419__Sto_T_4_3_S3_neu.png|center |frame| Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen]]
-'''(2)'''&nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A = \ –0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = \ –0.390$.
+'''(b)'''&nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A =  -0.625, B = 0.781, D = 1.501, E =  -0.390$.
 *Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
-*Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum rechten Parametersatz.
+*Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum Parametersatz '''(a)'''.  }}
 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:4.7 Gewichtete Summe und Differenz|Aufgabe 4.7: &nbsp; Gewichtete Summe und Differenz]]
+[[Aufgaben:4.7Z Erzeugung einer 2D–WDF|Aufgabe 4.7Z: Erzeugung einer 2D–WDF]]
-[[Aufgaben:4.8 Rautenförmige 2D-WDF|Aufgabe 4.8: &nbsp; Rautenförmige 2D-WDF]]
+[[Aufgaben:4.8 Rautenförmige 2D-WDF|Aufgabe 4.8: Rautenförmige 2D-WDF]]
-[[Aufgaben:4.8Z AWGN-Kanal|Zusatzaufgabe 4.8Z: &nbsp; AWGN-Kanal]]
+[[Aufgaben:4.8Z AWGN-Kanal|Aufgabe 4.8Z: AWGN-Kanal]]
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	'''(2)'''  Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A = \ –0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = \ –0.390$.		'''(2)'''  Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A = \ –0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = \ –0.390$.

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 '''(2)'''&nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A = \ –0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = \ –0.390$.
-*Im statistischen Sinne erält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
+*Im statistischen Sinne erhält man das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
 *Insbesondere ergibt sich bezüglich Korrelationsgerade und Ellipsenhauptachse kein Unterschied zum rechten Parametersatz.
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 ==Aufgaben zum Kapitel==
-[[Aufgaben:4.4 Gaußsche 2D-WDF|Aufgabe 4.4: &nbsp; Gaußsche 2D-WDF]]
+[[Aufgaben:4.7 Gewichtete Summe und Differenz|Aufgabe 4.7: &nbsp; Gewichtete Summe und Differenz]]
-[[Aufgaben:4.4Z Höhenlinien der 2D-WDF|Zusatzaufgabe 4.4Z: &nbsp; Höhenlinien der 2D-WDF]]
+[[Aufgaben:4.7Z Erzeugung einer 2D–WDF|Zusatzaufgabe 4.7Z: &nbsp; Erzeugung einer 2D–WDF]]
-[[Aufgaben:4.5 2D-Prüfungsauswertung|Aufgabe 4.5: &nbsp; 2D-Prüfungsauswertung]]
+[[Aufgaben:4.8 Rautenförmige 2D-WDF|Aufgabe 4.8: &nbsp; Rautenförmige 2D-WDF]]
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 *Wenn außer diesen drei Sollwerten keine weiteren Voraussetzungen getroffen werden, ist einer der vier Koeffizienten $A, B, D$ und $E$ frei wählbar. Im Folgenden wird stets willkürlich $E = 0$ gesetzt.
 *Mit der weiteren Festlegung, dass die statistisch voneinander unabhängigen Zufallsgrößen $u$ und $v$ jeweils die gleiche Streuung $σ =1$  aufweisen, erhält man:
-$$D = \sigma_y, \hspace{2cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{2cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$
+:$$D = \sigma_y, \hspace{0.5cm} A = \sigma_x \cdot \rho_{xy}, \hspace{0.5cm} B = \sigma_x \cdot \sqrt {1-\rho_{xy}^2}.$$
 *Bei $σ ≠ 1$ sind diese Werte jeweils noch durch $σ$ zu dividieren.
-{{Beispiel}}
+{{Box}}
-Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =$ 1, $σ_y =$ 1.55 und $ρ_{xy} =$ –0.8 eignet sich z. B. der Parametersatz $A =$ –0.8, $B =$ 0.6, $D =$ 1.55, $E =$ 0, der dem linken Bild zugrundeliegt.
+'''Beispiele:'''&nbsp; Wir gehen stets von mittelwertfreien Gaußschen Zufallsgrößen $u$ und $v$ aus. Beide besitzen die Varianz $σ^2 = 1$.
-*Die Zufallsgrößen $u$ und $υ$ sind dabei gaußförmig und besitzen jeweils die Streuung $σ =$ 1.
-*Die Korrelationsgerade $y = K · x$ (rot dargestellt) verläuft unter einem Winkel von etwa –50 Grad. Violett eingezeichnet ist die Ellipsenhauptachse.
+'''(1)'''&nbsp; Zur Erzeugung einer 2D–Zufallsgröße mit den gewünschten Kennwerten $σ_x =1$, $σ_y = 1.55$ und $ρ_{xy} = –0.8$ eignet sich z. B. der Parametersatz $A = \ –0.8, \; B = 0.6, \; D = 1.55, \; E = 0$, der dem linken Bild zugrundeliegt.
 [[Datei:P_ID419__Sto_T_4_3_S3_neu.png | Per Linearkombination erzeugte 2D-Zufallsgrößen]]
-Mit den Parameterwerten $A =$ –0.625, $B =$ 0.781, $D =$ 1.501 und $E =$ –0.390 entsprechend der rechten Grafik erhält man – im statistischen Sinne – das gleiche Resultat, auch wenn sich die beiden Punktwolken im Detail unterscheiden.
+'''(2)'''&nbsp; Der Parametersatz für die rechte Grafik lautet: $A = \ –0.625, B = 0.781, D = 1.501, E = \ –0.390$.
 {{end}}

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 Die Kovarianz $μ_{xy}$ ist bei mittelwertfreien Zufallsgrößen $x$ und $y$  ⇒  $C = F =$ 0 identisch mit dem gemeinsamen Moment $m_{xy}$:
 $$\mu_{xy } = m_{xy } = {\rm E}[x \cdot y] = {\rm E}[(A \cdot u + B \cdot v)(D \cdot u + E \cdot v)].$$
-Beachten Sie hierbei, dass E[ ] einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:
+Beachten Sie hierbei, dass E[ $\,$ ] einen Erwartungswert bezeichnet, während $E$ eine Variable beschreibt. Nach Auswertung dieser Gleichung in analoger Weise zu oben folgt daraus:
 $$\mu_{xy } =  (A \cdot D + B \cdot E) \cdot  \sigma^{\rm 2 }$$
 $$\Rightarrow\hspace{0.3cm}
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 Die Konstellation $B = E =$ 0 führt dazu, dass sowohl $x$ als auch $y$ nur noch von $u$ abhängen. In diesem Fall ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten $ρ_{xy} =$ ±1:
 $$\rho_{xy } =  \frac {A \cdot D }{\sqrt{A^{\rm 2}\cdot D^{\rm 2}}} = \frac {A \cdot D }{|A| \cdot |D| } =\pm 1. $$
-Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} =$ +1. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient –1.  –  Auch für $A = D =$ 0 ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} =$ ±1.
+Besitzen $A$ und $D$ gleiches Vorzeichen, so ist $ρ_{xy} =$ +1. Bei unterschiedlichen Vorzeichen ergibt sich der Korrelationskoeffizient –1. Auch für $A = D =$ 0 ergibt sich der Koeffizient $ρ_{xy} =$ ±1.
 {{end}}