Stochastische Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum (LDS) - Versionsgeschichte

Guenter am 16. März 2022 um 15:59 Uhr

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Guenter am 16. März 2022 um 15:58 Uhr

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Guenter am 16. März 2022 um 15:54 Uhr

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Guenter am 16. März 2022 um 15:23 Uhr

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Guenter am 16. März 2022 um 14:33 Uhr

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Javier am 20. September 2021 um 08:45 Uhr

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Javier am 20. September 2021 um 08:34 Uhr

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Guenter am 30. November 2019 um 16:49 Uhr

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Guenter am 30. November 2019 um 16:48 Uhr

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:4.12 LDS eines Binärsignals|Aufgabe 4.12: Leistungsdichtespektrum eines Binärsignals]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.12:_Leistungsdichtespektrum_eines_Binärsignals|Aufgabe 4.12: Leistungsdichtespektrum eines Binärsignals]]
 [[Aufgaben:4.12Z Weißes Rauschen|Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen]]

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:4.12 LDS eines Binärsignals|Aufgabe 4.12: LDS eines Binärsignals]]
+[[Aufgaben:4.12 LDS eines Binärsignals|Aufgabe 4.12: Leistungsdichtespektrum eines Binärsignals]]
 [[Aufgaben:4.12Z Weißes Rauschen|Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen]]

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 ==Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente==
 <br>
-Wir gehen von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; aus.&nbsp; Weiter setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.&nbsp; Dann gilt:
+Wir gehen von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; aus.&nbsp; Weiter setzen wir voraus,&nbsp; dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet.&nbsp; Dann gilt:
 *Die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $φ_x(τ)$ verschwindet&nbsp; für&nbsp; $τ → ∞$.
-*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it  \Phi}_x(f)$ &nbsp;–&nbsp; berechenbar als die Fouriertransformierte von&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; –&nbsp; ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich, also ohne diskrete Anteile.
+*Das Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it  \Phi}_x(f)$ &nbsp;–&nbsp; berechenbar als die Fouriertransformierte von&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; –&nbsp; ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich,&nbsp; also ohne diskrete Anteile.
-Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente&nbsp; $m_y$&nbsp; unterscheidet:
+Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$,&nbsp; der sich vom Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente&nbsp; $m_y$&nbsp; unterscheidet:
 :$$\left\{ y_i (t)  \right\} = \left\{ x_i (t)  + m_y \right\}.$$
 Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; weisen dann folgende Eigenschaften auf:
-*Der Grenzwert der AKF für&nbsp; $τ → ∞$&nbsp; ist nun nicht mehr Null, sondern&nbsp; $m_y^2$.&nbsp; Im gesamten&nbsp; $τ$&ndash;Bereich von&nbsp; $–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; ist die AKF&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; um&nbsp; $m_y^2$&nbsp; größer als&nbsp; $φ_x(τ)$:
+*Der Grenzwert der AKF für&nbsp; $τ → ∞$&nbsp; ist nun nicht mehr Null,&nbsp; sondern&nbsp; $m_y^2$.&nbsp; Im gesamten&nbsp; $τ$&ndash;Bereich von&nbsp; $–∞$&nbsp; bis&nbsp; $+∞$&nbsp; ist die AKF&nbsp; $φ_y(τ)$&nbsp; um &nbsp; $m_y^2$ &nbsp; größer als&nbsp; $φ_x(τ)$:
 :$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$
 *Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im LDS zu einer Diracfunktion&nbsp; $δ(f)$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $m_y^2$:
 :$${{\it  \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2  \cdot \delta (f). $$
-Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals]]&nbsp;  des Buches „Signaldarstellung”.&nbsp;
+*Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung/Gleichsignal_-_Grenzfall_eines_periodischen_Signals|"Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals"]]&nbsp;  des Buches „Signaldarstellung”.&nbsp;  Zudem möchten wir Sie hier auf das Lernvideo&nbsp; [[Herleitung_und_Visualisierung_der_Diracfunktion_(Lernvideo)|"Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion"]]&nbsp; hinweisen.
 ==Numerische LDS-Ermittlung==
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 Der Übergang vom Zeit&ndash; in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:
-*Der Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses)&nbsp; über das Abtasttheorem festgelegt:
+*Der Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; $($maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses$)$&nbsp; über das Abtasttheorem festgelegt:
 :$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$
-*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten&nbsp; (abgetasteten)&nbsp; AKF ergibt ein mit&nbsp; ${\rm 1}/T_{\rm A}$&nbsp; periodisches LDS:
+*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten&nbsp; $($abgetasteten$)$&nbsp; Autokorrelationsfunktion ergibt ein mit&nbsp; ${\rm 1}/T_{\rm A}$&nbsp; periodisches Leistungsdichtespektrum:
 :$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \}  \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Da sowohl&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; als auch&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Da sowohl&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; als auch&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; gerade und reelle Funktionen sind,&nbsp; gilt der Zusammenhang:
 :$${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot  \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x  ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} f k T_{\rm A}).$$
 *Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus&nbsp; ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$&nbsp; durch Bandbegrenzung auf den Bereich&nbsp; $\vert f \vert  ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
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-[[Datei:P_ID425__Sto_T_4_5_S5_neu.png |right|frame| Zeitdiskrete AKF und periodisch fortgesetztes LDS]]
+{{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;  Eine gaußförmige AKF&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; wird im Abstand&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:
-*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF&nbsp; ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$&nbsp; sei&nbsp; ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$.&nbsp;
+[[Datei:P_ID425__Sto_T_4_5_S5_neu.png |right|frame| Zeitdiskrete Autokorrelationsfunktion,&nbsp; periodisch fortgesetztes Leistungsdichtespektrum]]
-*Diese mit&nbsp; ${\rm 1}/T_{\rm A}$&nbsp; periodische Funktion&nbsp;  ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$&nbsp; ist dementsprechend unendlich weit ausgedehnt ( roter Kurvenzug ).
+*Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten Autokorrelationsfunktion&nbsp; ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$&nbsp; sei&nbsp; ${\rm P} \{ { {\it \Phi}_x} ( f) \}$.&nbsp;
-*Das LDS&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; des zeitkontinuierlichen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich&nbsp; $\vert f · T_{\rm A} \vert  ≤ 0.5$. }}
 ==Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung==
 <br>
 Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:
-*Die zeitdiskrete AKF&nbsp; $φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; wurde aus&nbsp; $N$&nbsp; Abtastwerten numerisch ermittelt.&nbsp; Wie bereits auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Genauigkeit_der_numerischen_AKF-Berechnung|Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung]]&nbsp;  gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn&nbsp; $N$&nbsp; zu klein gewählt wurde.
+#Die zeitdiskrete AKF&nbsp; $φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; wurde aus&nbsp; $N$&nbsp; Abtastwerten numerisch ermittelt.&nbsp;
-*Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte&nbsp; $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:
+#Wie auf der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Genauigkeit_der_numerischen_AKF-Berechnung|"Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung"]]&nbsp;  gezeigt,&nbsp; sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert,&nbsp; wenn&nbsp; $N$&nbsp; zu klein gewählt wurde.
-:$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot  \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x  ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} f k T_{\rm A}).$$
+#Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; verwenden wir nur die AKF-Werte&nbsp; $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
 Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter&nbsp; $K$&nbsp; bestimmt:
-*Ist&nbsp; $K$&nbsp; zu klein gewählt, so werden die eigentlich vorhandenen AKF-Werte&nbsp; $φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; mit&nbsp; $k > K$&nbsp; nicht berücksichtigt.
+*Ist&nbsp; $K$&nbsp; zu klein gewählt,&nbsp; so werden die eigentlich vorhandenen AKF-Werte&nbsp; $φ_x(k · T_{\rm A})$&nbsp; mit&nbsp; $k > K$&nbsp; nicht berücksichtigt.
-*Bei zu großem&nbsp; $K$&nbsp; werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen  AKF-Berechnung endlich sind.
+*Bei zu großem&nbsp; $K$&nbsp; werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt,&nbsp; die eigentlich Null sein sollten und nur wegen der numerischen  AKF-Berechnung endlich sind.
 *Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines&nbsp; $N$&nbsp; bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern. }}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten.&nbsp; Deshalb sollte eigentlich nur der AKF–Wert&nbsp; $φ_x(0) = σ_x^2$&nbsp; von Null verschieden sein.
-*Deshalb sollte nur der AKF–Wert&nbsp; $φ_x(0) = σ_x^2$&nbsp; von Null verschieden ist.
+[[Datei:P_ID643__Sto_T_4_5_S5_b.png |450px|right|frame| Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung]]
 *Ermittelt man aber  die AKF numerisch aus lediglich&nbsp; $N = 1000$&nbsp; Abtastwerten, so erhält man auch für&nbsp; $k ≠ 0$&nbsp; endliche AKF–Werte.
-*Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften AKF&ndash;Werte bis zu&nbsp; $6\%$&nbsp; des Maximalwertes betragen können.
+Im betrachteten Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$.&nbsp; Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.
-*Unten ist das numerisch ermittelte Leistungsdichtespektrum dargestellt.&nbsp; Gelb ist der theoretische Verlauf dargestellt, der für&nbsp; $\vert f · T_{\rm A} \vert  ≤ 0.5$&nbsp; konstant sein sollte.
+#Wird dieser zu klein gewählt,&nbsp; so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.
-*Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch&nbsp; $K = 3$ &nbsp;bzw.&nbsp; $K = 10$&nbsp; das Ergebnis gegenüber&nbsp; $K = 0$&nbsp; verfälscht wird.
+#Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen,&nbsp; die vorwiegend auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 ==Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite==
 <br>
-Alle  im  Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; können auch auf die&nbsp; ''Autokorrelationsfunktion''&nbsp; (AKF) und das&nbsp; ''Leistungsdichtespektrum''&nbsp; (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden.
+Alle  im  Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; können auch auf die&nbsp;
-[[Datei:P_ID390__Sto_T_4_5_S3_Ganz_neu.png |frame| Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS]]
-Aufgrund der spezifischen Eigenschaften
+eines Zufallsprozesses angewendet werden.&nbsp; Aufgrund der spezifischen Eigenschaften
 *von Autokorrelationsfunktion&nbsp; (stets reell und gerade)
 *und Leistungsdichtespektrum&nbsp; (stets reell, gerade und nicht&ndash;negativ)
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 liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.
-Wir betrachten nun wie im Abschnitt&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; anhand
+Wir betrachten nun wie im Abschnitt&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|"Interpretation der Autokorrelationsfunktion"]]&nbsp; zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; anhand
 *der beiden Mustersignale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; obere Skizze,
 *der beiden Autokorrelationsfunktionen&nbsp; $φ_x(τ)$&nbsp; und&nbsp; $φ_y(τ)$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  mittlere Skizze,
 *der beiden Leistungsdichtespektren&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Phi}_y(f)$ &nbsp; ⇒  &nbsp;  untere Skizze.
-<br clear=all>
 Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich:
-*Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich  &nbsp; ⇒  &nbsp;  die Prozesse&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; und&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; besitzen gleiche Leistung:
+Anhand dieser beispielhaften Grafiken sind folgende Aussagen möglich:
 :$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm}  =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$
-*Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite]]&nbsp; gilt hier ebenfalls: &nbsp; <br>Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.
-*Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite&nbsp; $∇f$&nbsp; $($man spricht&bdquo;Nabla-f&rdquo;$)$, ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $∇τ$&nbsp; im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Interpretation_der_Autokorrelationsfunktion|Interpretation der Autokorrelationsfunktion]]:
+*Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|"Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite"]]&nbsp; gilt hier ebenfalls: &nbsp; '''Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt'''.
 :$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$
 *Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:
 :$${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm}
@@ Zeile 75: / Zeile 82: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Wir gehen von der Grafik oben auf dieser Seite aus:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Wir gehen von der oberen Grafik auf dieser Seite aus:
 *Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; sind&nbsp; $∇τ_x = 0.33\hspace{0.08cm} \rm &micro;s$&nbsp; &nbsp;und&nbsp; $∇f_x = 3 \hspace{0.08cm} \rm MHz$.
 *Die äquivalente AKF-Dauer des Signals&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist dreimal so groß: &nbsp; $∇τ_y = 1 \hspace{0.08cm} \rm &micro;s$.
-*Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr&nbsp; $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$. }}
+*Dessen äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr&nbsp; $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.08cm} \rm MHz$. }}
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Allgemein gilt:}$&nbsp;
-Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer&nbsp; ${ {\rm \nabla} \tau_x}$&nbsp; und äquivalenter LDS-Bandbreite&nbsp; $ { {\rm \nabla} f_x}$&nbsp; ist immer gleich&nbsp; $1$:
+'''Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer&nbsp; ${ {\rm \nabla} \tau_x}$&nbsp; und äquivalenter LDS-Bandbreite&nbsp; $ { {\rm \nabla} f_x}$&nbsp; ist immer gleich&nbsp; $1$''':
 :$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot  { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$}}
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 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte&nbsp; '''Weiße Rauschen'''&nbsp; dar:
-*Dieses beinhaltet alle Spektralanteile&nbsp; (bis ins Unendliche).
+*Dieses beinhaltet alle Spektralanteile &nbsp; (bis ins Unendliche).
-*Die äquivalente LDS-Bandbreite&nbsp; $∇f$&nbsp; ist unendlich groß.
+*Die äquivalente LDS-Bandbreite&nbsp; $∇f$&nbsp; ist also unendlich groß.
-Das hier angegebene Gesetz besagt, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $∇τ = 0$&nbsp; gelten muss &nbsp; &rArr; &nbsp; das  weiße Rauschen besitzt eine diracförmige AKF.
+Das hier angegebene Gesetz besagt,&nbsp; dass damit für die äquivalente AKF-Dauer&nbsp; $∇τ = 0$&nbsp; gelten muss &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Weißes Rauschen besitzt stets eine diracförmige AKF'''.
-Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]], insbesondere im zweiten Teil.}}
+Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|"Der AWGN-Kanal"]],&nbsp; insbesondere im zweiten Teil.}}

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 ==Theorem von Wiener-Chintchine==
 <br>
-Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse.&nbsp; Wie im&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|letzten Kapitel]]&nbsp;  gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:
+Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse.&nbsp; Wie im&nbsp;  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse|letzten Kapitel]]&nbsp;  gezeigt wurde,&nbsp; gelten dann die folgenden Aussagen:
 *Jede einzelne Musterfunktion&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$.
 *Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
-*Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz&nbsp; $τ = t_2 – t_1$&nbsp; ab:
+*Die Autokorrelationsfunktion,&nbsp; die allgemein von den beiden Zeitparametern&nbsp; $t_1$&nbsp; und&nbsp; $t_2$&nbsp; beeinflusst wird,&nbsp; hängt nur noch von der Zeitdifferenz&nbsp; $τ = t_2 – t_1$&nbsp; ab:
 :$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}\big[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})\big] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$
-Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; im Zeitbereich.&nbsp; Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die ''spektrale Leistungsdichte '', häufig auch als &bdquo;Leistungsdichtespektrum&rdquo; bezeichnet.
+Die Autokorrelationsfunktion liefert quantitative Aussagen über die&nbsp; (linearen)&nbsp; statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; im Zeitbereich.&nbsp; Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die&nbsp; &bdquo;spektrale Leistungsdichte&rdquo;,&nbsp; häufig auch als &bdquo;Leistungsdichtespektrum&rdquo; bezeichnet.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Das&nbsp; '''Leistungsdichtespektrum'''&nbsp; (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF):
+$\text{Definition:}$&nbsp; Das&nbsp; '''Leistungsdichtespektrum'''&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; eines ergodischen Zufallsprozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$:
 :$${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} \tau. $$
-Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin]. }}
+Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das&nbsp; "Theorem von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Norbert_Wiener Wiener]&nbsp; und&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Jakowlewitsch_Chintschin Chintchin]". }}
-Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]&nbsp; im Buch &bdquo;Signaldarstellung&rdquo;):
+Ebenso kann die Autokorrelationsfunktion als Fourierrücktransformierte des Leistungsdichtespektrums berechnet werden (siehe Seite&nbsp;  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|"Fourierrücktransformation"]]):
 :$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x  \cdot {\rm e}^{- {\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\tau} {\rm d} f.$$
-*Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.
+*Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar,&nbsp; wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet.
-*Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Leistungsdichtespektrum_mit_Gleichsignalkomponente|Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente]]&nbsp; vorgehen.
+*Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Leistungsdichtespektrum_mit_Gleichsignalkomponente|"Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente"]]&nbsp; vorgehen.
 ==Physikalische Interpretation und Messung==
 <br>
-Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$.
+Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$.&nbsp; Hierzu ist anzumerken:
+*Das Zufallssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird auf ein&nbsp;  (möglichst)&nbsp;  rechteckförmiges und&nbsp;  (möglichst)&nbsp;  schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz&nbsp; $f$&nbsp; und Bandbreite&nbsp; $Δf$&nbsp; gegeben,&nbsp;  wobei&nbsp; $Δf$&nbsp; entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
-[[Datei: P_ID387__Sto_T_4_5_S2_neu.png |center|frame| Zur Messung des Leistungsdichtespektrums]]
+*Das entsprechende Ausgangssignal&nbsp; $x_f(t)$&nbsp; wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer&nbsp; $T_{\rm M}$&nbsp; gebildet.&nbsp; Damit erhält man die&nbsp;  "Leistung von&nbsp; $x_f(t)$"&nbsp; bzw. die&nbsp;  "Leistungsanteile von&nbsp; $x(t)$&nbsp; im Spektralbereich von&nbsp; $f - Δf/2$&nbsp; bis&nbsp; $f + Δf/2$":
+[[Datei: P_ID387__Sto_T_4_5_S2_neu.png |right|frame| Zur Messung des Leistungsdichtespektrums]]
 :$$P_{x_f} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
-*Die Division durch&nbsp; $Δf$&nbsp; führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:
+*Die Division durch&nbsp; $Δf$&nbsp; führt zur spektralen Leistungsdichte:
 :$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f)  =\frac{P_{x_f}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.}  \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{x_f}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$
-:Hierbei bezeichnet&nbsp; ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$&nbsp; das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS.&nbsp; Für negative Frequenzen ist&nbsp; ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$.&nbsp; Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: &nbsp; ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$&nbsp; das einseitig definierte LDS&nbsp; (nur positive Frequenzen).&nbsp; Für&nbsp; $f<0$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$.&nbsp;
-*Während die Leistung&nbsp; $P_{x_f}$&nbsp; mit kleiner werdender Bandbreite&nbsp; $Δf$&nbsp; gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von&nbsp; $Δf$&nbsp; nahezu konstant.&nbsp; Für die exakte Bestimmung von&nbsp; ${\it \Phi}_x(f)$&nbsp; sind zwei Grenzübergänge notwendig:
+*Üblicherweise wird das zweiseitige Leistungsdichtespektrum verwendet.&nbsp; Für dieses gilt:
 :$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann.&nbsp;
+*Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter,&nbsp; dass das Leistungsdichtespektrum stets reell ist und nie negativ werden kann.&nbsp;
 *Die gesamte Signalleistung von&nbsp; $x(t)$&nbsp; erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:
 :$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$}}