Stochastische Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Theory_of_Stochastic_Signals/Cross-Correlation_Function_and_Cross_Power-Spectral_Density]]

Guenter am 18. März 2022 um 15:02 Uhr

2022-03-18T15:02:08Z

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	*Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang  $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$.  Im  $\text{Beispiel 1}$  des letzten Abschnitts hätte  $φ_{yx}(τ)$  sein Maximum bei  $τ = -3 \ \rm ms$.		*Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang  $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$.  Im  $\text{Beispiel 1}$  des letzten Abschnitts hätte  $φ_{yx}(τ)$  sein Maximum bei  $τ = -3 \ \rm ms$.
	*Im Allgemeinen tritt das  »KKF-Maximum«  nicht bei $τ = 0$ auf  $($Ausnahme:   $y = α · x)$  und dem KKF-Wert  $φ_{xy}(τ = 0)$  kommt keine besondere,  physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF,  bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.		*Im Allgemeinen tritt das  »KKF-Maximum«  nicht bei $τ = 0$ auf  $($Ausnahme:   $y = α · x)$  und dem KKF-Wert  $φ_{xy}(τ = 0)$  kommt keine besondere,  physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF,  bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.
	*Der Betrag der KKF ist nach der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy~~–~~Schwarzsche_Ungleichung Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]  für alle  $τ$–Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:		*Der Betrag der KKF ist nach der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]  für alle  $τ$–Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:
	:$$\varphi_{xy}( \tau) \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$		:$$\varphi_{xy}( \tau) \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$
	*Im  $\text{Beispiel 1}$  auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:		*Im  $\text{Beispiel 1}$  auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:

Guenter am 18. März 2022 um 14:54 Uhr

2022-03-18T14:54:27Z

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Guenter am 2. Dezember 2019 um 15:43 Uhr

2019-12-02T15:43:59Z

Guenter am 2. Dezember 2019 um 15:13 Uhr

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Guenter am 21. August 2018 um 08:27 Uhr

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	Ein Vergleich mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#~~Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen_.282.29~~\|AKF-Definition]] zeigt viele Gemeinsamkeiten mit dieser. Setzt man $y(t) = x(t)$, so erhält man $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial allerdings meist die vereinfachte Schreibweise $φ_x(τ)$ verwendet wird.		Ein Vergleich mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|AKF-Definition]] zeigt viele Gemeinsamkeiten mit dieser. Setzt man $y(t) = x(t)$, so erhält man $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial allerdings meist die vereinfachte Schreibweise $φ_x(τ)$ verwendet wird.

	[[Datei:P_ID434__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\|Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals]]		[[Datei:P_ID434__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\|Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals]]

Guenter am 21. August 2018 um 08:26 Uhr

2018-08-21T08:26:02Z

Guenter am 13. April 2018 um 09:08 Uhr

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← Nächstältere Version		Version vom 13. April 2018, 11:08 Uhr
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	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:4.14 ~~AKF/KKF bei Rechtecken~~\|Aufgabe 4.14: AKF/KKF bei ~~Rechtecken~~]]		[[Aufgaben:Aufgabe_4.14:_AKF_und_KKF_bei_Rechtecksignalen\|Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen]]

	[[Aufgaben:4.14Z Auffinden von Echos\|Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos]]		[[Aufgaben:4.14Z Auffinden von Echos\|Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos]]

Guenter am 13. April 2018 um 09:04 Uhr

2018-04-13T09:04:50Z

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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 5:}$  Beim so genannten [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#~~Korrelationsempf~~.C3.A4nger\|Korrelationsempfänger]] verwendet man die KKF zur Signaldetektion. Hierbei bildet man die Kreuzkorrelation zwischen dem durch Rauschen und eventuell auch durch Verzerrungen verfälschten Empfangssignal $r(t)$ und allen möglichen Sendesignalen $s_i(t)$, wobei für den Laufindex $i = 1$, ... , $I$ gelten soll. Entscheidet man $N$ Binärsymbole gemeinsam, so ist $I = {\rm 2}^N$. Man entscheidet sich dann für die Symbolfolge mit dem größten KKF-Wert und erreicht so die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend der ''Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel.''}}		$\text{Beispiel 5:}$  Beim so genannten [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger\|Korrelationsempfänger]] verwendet man die KKF zur Signaldetektion. Hierbei bildet man die Kreuzkorrelation zwischen dem durch Rauschen und eventuell auch durch Verzerrungen verfälschten Empfangssignal $r(t)$ und allen möglichen Sendesignalen $s_i(t)$, wobei für den Laufindex $i = 1$, ... , $I$ gelten soll. Entscheidet man $N$ Binärsymbole gemeinsam, so ist $I = {\rm 2}^N$. Man entscheidet sich dann für die Symbolfolge mit dem größten KKF-Wert und erreicht so die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend der ''Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel.''}}

	==Kreuzleistungsdichtespektrum==		==Kreuzleistungsdichtespektrum==

Guenter am 13. April 2018 um 09:00 Uhr

2018-04-13T09:00:42Z

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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 6:}$		$\text{Beispiel 6:}$
	Wir nehmen ~~hier~~ Bezug zum ~~Beispiel 1 auf der Seite~~ [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|~~Definition der KKF~~]] mit den beiden ~~„rechteckförmigen~~ Zufallsgrößen” $x(t)$ und $y(t) = α · x(t – t_0)$. Da die AKF ${\it φ}_x(τ)$ dreieckförmig verläuft, ist – wie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektrum]] beschrieben – hat das LDS ${\it Φ}_x(f)$ einen ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.		Wir nehmen Bezug zum [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|Beispiel 1]] mit den beiden „rechteckigen Zufallsgrößen” $x(t)$ und $y(t) = α · x(t – t_0)$.

			Da die AKF ${\it φ}_x(τ)$ dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektrum]] beschrieben – das LDS ${\it Φ}_x(f)$ einen ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.
			<br clear=all>
	Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?		Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?
	*Im zitierten Beispiel haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_y(τ)$ von ${\it φ}_x(τ)$ nur um den konstanten Faktor $α^2$ unterscheidet.		*Im zitierten Beispiel 1 haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_y(τ)$ von ${\it φ}_x(τ)$ nur um den konstanten Faktor $α^2$ unterscheidet.
	*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ von ${\it \Phi}_x(f)$ ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor $α^2$ abweicht. Beide Spektralfunktionen sind reell.		*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ von ${\it \Phi}_x(f)$ ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor $α^2$ abweicht. Beide Spektralfunktionen sind reell.
	*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:		*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die beiden '''Kreuzleistungsdichtespektren''' ${\it Φ}_{xy}(f)$ und ${\it Φ}_{yx}(f)$ ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen $\varphi_{xy}({\it \tau})$  bzw.  $\varphi_{yx}({\it \tau})$ durch die Fouriertransformation:		$\text{Definition:}$  Die beiden  '''Kreuzleistungsdichtespektren'''  ${\it Φ}_{xy}(f)$  und  ${\it Φ}_{yx}(f)$  ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen  $\varphi_{xy}({\it \tau})$  bzw.  $\varphi_{yx}({\it \tau})$  durch die Fouriertransformation:
	:$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$		:$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$
	:$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$		:$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$
	Manchmal wird hierfür auch der Begriff ''spektrale Kreuzleistungsdichte''  verwendet.}}		Manchmal wird hierfür auch der Begriff  ''spektrale Kreuzleistungsdichte''  verwendet.}}


	Es gilt hier der gleiche Zusammenhang wie		Es gilt hier der gleiche Zusammenhang wie
	*zwischen einem deterministischen Signal $x(t)$ und seinem Spektrum $X(f)$ bzw.		*zwischen einem deterministischen Signal  $x(t)$  und seinem Spektrum  $X(f)$  bzw.
	*zwischen der Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_x(τ)$ eines ergodischen Prozesses $\{x_i(t)\}$ und dem dazugehörigen Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$.		*zwischen der Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_x(τ)$  eines ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  und dem dazugehörigen Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$.


	Ebenso beschreibt hier die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]]   ⇒   „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.		Ebenso beschreibt hier die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]]   ⇒   „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.

	[[Datei:P_ID772__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\| Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion]]		[[Datei:P_ID772__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\| Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 6:}$		$\text{Beispiel 6:}$
	Wir nehmen Bezug zum [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|$\text{Beispiel 1}$]] mit den beiden ~~„rechteckigförmigen~~ Zufallsgrößen” $x(t)$  und  $y(t) = α · x(t – t_0)$.		Wir nehmen Bezug zum  [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|$\text{Beispiel 1}$]]  mit den beiden „rechteckförmigen Zufallsgrößen”  $x(t)$   und  $y(t) = α · x(t – t_0)$.

	Da die AKF ${\it φ}_x(τ)$ dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektrum]] beschrieben – das LDS ${\it Φ}_x(f)$ einen ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.		Da die AKF  ${\it φ}_x(τ)$  dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektrum]]  beschrieben – das LDS  ${\it Φ}_x(f)$  einen  ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?		Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?
	*Im zitierten $\text{Beispiel 1}$ haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_y(τ)$ von ${\it φ}_x(τ)$ nur um den konstanten Faktor $α^2$ unterscheidet.		*Im zitierten  $\text{Beispiel 1}$  haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_y(τ)$  von  ${\it φ}_x(τ)$  nur um den konstanten Faktor  $α^2$  unterscheidet.
	*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ von ${\it \Phi}_x(f)$ ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor $α^2$ abweicht. Beide Spektralfunktionen sind reell.		*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_y(f)$  von  ${\it \Phi}_x(f)$  ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor  $α^2$  abweicht.  Beide Spektralfunktionen sind reell.
	*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:		*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:
	:$${\it \Phi}_{xy}(f) ={\it \Phi}^\star_{yx}(f)= \alpha \cdot {\it \Phi}_{x}(f) \hspace{0.05cm}\cdot {\rm e}^{- {\rm j } \hspace{0.02cm}\pi f t_0}.$$}}		:$${\it \Phi}_{xy}(f) ={\it \Phi}^\star_{yx}(f)= \alpha \cdot {\it \Phi}_{x}(f) \hspace{0.05cm}\cdot {\rm e}^{- {\rm j } \hspace{0.02cm}\pi f t_0}.$$}}

← Nächstältere Version		Version vom 21. August 2018, 10:26 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	==Definition der Kreuzkorrelationsfunktion==		==Definition der Kreuzkorrelationsfunktion==
	<br>		<br>
	Bei vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für ein quantitatives Maß zur Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen verschiedenen Prozessen bzw. zwischen deren Mustersignalen. Ein solches Maß ist die ''Kreuzkorrelationsfunktion'' (KKF), die hier unter den Voraussetzungen von ''Stationarität'' und ''Ergodizität'' angegeben wird.		Bei vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für ein quantitatives Maß zur Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen verschiedenen Prozessen bzw. zwischen deren Mustersignalen.

			Ein solches Maß ist die ''Kreuzkorrelationsfunktion'' (KKF), die hier unter den Voraussetzungen von ''Stationarität'' und ''Ergodizität'' angegeben wird.

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Für die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' zweier stationärer und ergodischer Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ gilt:		$\text{Definition:}$  Für die '''Kreuzkorrelationsfunktion''' zweier stationärer und ergodischer Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ gilt:
	:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} [{x(t)\cdot y(t+\tau)}]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\rm d \it t.$$		:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\rm d \it t.$$

	Die erste Definitionsgleichung kennzeichnet die ''Erwartungswertbildung'' (''Scharmittelung''), während die zweite Gleichung die ''Zeitmittelung'' über eine (möglichst große) Messdauer $T_{\rm M}$ beschreibt.}}		*Die erste Definitionsgleichung kennzeichnet die ''Erwartungswertbildung'' (''Scharmittelung''),
			*während die zweite Gleichung die ''Zeitmittelung'' über eine (möglichst große) Messdauer $T_{\rm M}$ beschreibt.}}


	Ein Vergleich mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen_.282.29\|AKF-Definition]] zeigt viele Gemeinsamkeiten mit dieser. Setzt man $y(t) = x(t)$, so erhält man $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial meist die vereinfachte Schreibweise $φ_x(τ)$verwendet wird.		Ein Vergleich mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen_.282.29\|AKF-Definition]] zeigt viele Gemeinsamkeiten mit dieser. Setzt man $y(t) = x(t)$, so erhält man $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$, also die Autokorrelationsfunktion, für die in unserem Tutorial allerdings meist die vereinfachte Schreibweise $φ_x(τ)$ verwendet wird.


	[[Datei:P_ID434__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\|Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals]]		[[Datei:P_ID434__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\|Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals]]
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	==Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion==		==Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion==
	<br>		<br>
	Im Folgenden sind wesentliche Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion zusammengestellt und ~~die wichtigsten~~ Unterschiede zur AKF herausgearbeitet.		Im Folgenden sind wesentliche Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion zusammengestellt und es werden wichtige Unterschiede zur AKF herausgearbeitet.
	*Die Bildung der Kreuzkorrelationsfunktion ist ''nicht kommutativ''. Vielmehr gibt es stets zwei unterschiedliche Funktionen, nämlich		*Die Bildung der Kreuzkorrelationsfunktion ist ''nicht kommutativ''. Vielmehr gibt es stets zwei unterschiedliche Funktionen, nämlich
	:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} [{x(t)\cdot y(t+\tau)}]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\, \rm d \it t,$$		:$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\, \rm d \it t,$$
	:$$\varphi_{yx}(\tau)={\rm E} [{y(t)\cdot x(t+\tau)}]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}y(t)\cdot x(t+\tau)\,\, \rm d \it t .$$		:$$\varphi_{yx}(\tau)={\rm E} \big[{y(t)\cdot x(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}y(t)\cdot x(t+\tau)\,\, \rm d \it t .$$
	*Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$. Im Beispiel 1 des letzten Abschnitts hätte $φ_{yx}(τ)$ sein Maximum bei $τ = -3 \ \rm ms$.		*Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$. Im $\text{Beispiel 1}$ des letzten Abschnitts hätte $φ_{yx}(τ)$ sein Maximum bei $τ = -3 \ \rm ms$.
	*Im Allgemeinen tritt das ''KKF-Maximum'' nicht bei $τ = 0$ auf (Ausnahme: $y = α · x$) und dem KKF-Wert $φ_{xy}(τ = 0)$ kommt keine besondere, physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF, bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.		*Im Allgemeinen tritt das ''KKF-Maximum'' nicht bei $τ = 0$ auf (Ausnahme:   $y = α · x$) und dem KKF-Wert $φ_{xy}(τ = 0)$ kommt keine besondere, physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF, bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.
	*Der Betrag der KKF ist nach der [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung Cauchy-Schwarzschen Ungleichung] für alle $τ$-Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:		*Der Betrag der KKF ist nach der [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung Cauchy-Schwarzschen Ungleichung] für alle $τ$-Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:
	:$$\varphi_{xy}( \tau) \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$		:$$\varphi_{xy}( \tau) \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$
	:Im ~~Beispiel1~~ auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:		*Im $\text{Beispiel 1}$ auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:
	:$$\varphi_{xy}( \tau = t_{\rm 0}) = \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)} = \alpha \cdot \varphi_{x}( \tau = {\rm 0}) .$$		:$$\varphi_{xy}( \tau = t_{\rm 0}) = \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)} = \alpha \cdot \varphi_{x}( \tau = {\rm 0}) .$$
	*Beinhalten $x(t)$ und $y(t)$ keinen gemeinsamen periodischen Anteil, so gibt der ''Grenzwert der KKF'' für $τ → ∞$ das Produkt beider Mittelwerte an:		*Beinhalten $x(t)$ und $y(t)$ keinen gemeinsamen periodischen Anteil, so gibt der ''Grenzwert der KKF''  für $τ → ∞$ das Produkt beider Mittelwerte an:
	:$$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \varphi _{xy} ( \tau ) = m_x \cdot m_y .$$		:$$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \varphi _{xy} ( \tau ) = m_x \cdot m_y .$$
	*Sind zwei Signale $x(t)$ und $y(t)$ ''unkorreliert'', so gilt $φ_{xy}(τ) ≡$ 0, das heißt, es ist $φ_{xy}(τ) =$ 0 für alle Werte von $τ$. Diese Annahme ist beispielsweise bei der gemeinsamen Betrachtung eines Nutz- und eines Störsignals in den meisten Fällen gerechtfertigt.		*Sind zwei Signale $x(t)$ und $y(t)$ ''unkorreliert'', so gilt $φ_{xy}(τ) ≡$ 0, das heißt, es ist $φ_{xy}(τ) =$ 0 für alle Werte von $τ$. Diese Annahme ist beispielsweise bei der gemeinsamen Betrachtung eines Nutz- und eines Störsignals in den meisten Fällen gerechtfertigt.
	*Es ist jedoch stets zu beachten, dass die KKF nur die ''linearen statistischen Bindungen'' zwischen den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ beinhaltet. Bindungen anderer Art – wie beispielsweise für den Fall $y(t) = x^2(t)$ – werden dagegen bei der ~~KKF-Bildung~~ nicht berücksichtigt.		*Es ist jedoch stets zu beachten, dass die KKF nur die ''linearen statistischen Bindungen'' zwischen den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ beinhaltet. Bindungen anderer Art – wie beispielsweise für den Fall $y(t) = x^2(t)$ – werden dagegen bei der KKF–Bildung nicht berücksichtigt.

	==Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion==		==Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion==
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	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 3:}$		$\text{Beispiel 3:}$
	Das Mehrfachzugriffsverfahren [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA\|CDMA]] (''Code Division Multiple Access'') wird zum Beispiel im Mobilfunkstandard [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS\|UMTS]] angewendet. Es erfordert eine strenge Phasensynchronität, und zwar bezüglich der zugesetzten Pseudonoise-Folgen beim Sender (''Bandspreizung'') und beim Empfänger (''Bandstauchung''). Auch dieses Synchronisationsproblem löst man meist mittels der Kreuzkorrelationsfunktion.}}		Das Mehrfachzugriffsverfahren [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA\|CDMA]] (''Code Division Multiple Access'') wird zum Beispiel im Mobilfunkstandard [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS\|UMTS]] angewendet. Es erfordert eine strenge Phasensynchronität, und zwar bezüglich der zugesetzten ''Pseudonoise-Folgen''  beim Sender (''Bandspreizung'') und beim Empfänger (''Bandstauchung''). Auch dieses Synchronisationsproblem löst man meist mittels der Kreuzkorrelationsfunktion.}}


	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	Mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion kann festgestellt werden, ob ~~ein bekanntes Signal $s(t)$~~ in einem verrauschten Empfangssignal $r(t) = α · s(t – t_0) + n(t)$ vorhanden ist oder nicht, und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt $t_0$ es auftritt. Aus dem berechneten Wert für $t_0$ lässt sich dann beispielsweise eine Fahrgeschwindigkeit ermitteln (''Radartechnik''). Diese Aufgabenstellung kann auch mit dem so genannten ~~Matched-Filter~~ gelöst werden, das in einem [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter\|späteren Kapitel]] noch beschrieben wird und das viele Gemeinsamkeiten mit der Kreuzkorrelationsfunktion aufweist.}}		Mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion kann festgestellt werden, ob in einem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = α · s(t – t_0) + n(t)$  ein bekanntes Signal $s(t)$ vorhanden ist oder nicht, und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt $t_0$ es auftritt. Aus dem berechneten Wert für $t_0$ lässt sich dann beispielsweise eine Fahrgeschwindigkeit ermitteln (''Radartechnik''). Diese Aufgabenstellung kann auch mit dem so genannten Matched–Filter gelöst werden, das in einem [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter\|späteren Kapitel]] noch beschrieben wird und das viele Gemeinsamkeiten mit der Kreuzkorrelationsfunktion aufweist.}}


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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Die beiden '''Kreuzleistungsdichtespektren''' ${\it Φ}_{xy}(f)$ und ${\it Φ}_{yx}(f)$ ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen durch die Fouriertransformation:		$\text{Definition:}$  Die beiden '''Kreuzleistungsdichtespektren''' ${\it Φ}_{xy}(f)$ und ${\it Φ}_{yx}(f)$ ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen $\varphi_{xy}({\it \tau})$  bzw.  $\varphi_{yx}({\it \tau})$ durch die Fouriertransformation:
	:$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$		:$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$
	:$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$		:$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$
	Manchmal wird hierfür auch der Begriff ''spektrale Kreuzleistungsdichte'' verwendet.}}		Manchmal wird hierfür auch der Begriff ''spektrale Kreuzleistungsdichte''  verwendet.}}


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	Ebenso beschreibt hier die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]] ⇒ „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.		Ebenso beschreibt hier die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]]   ⇒   „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.


	[[Datei:P_ID772__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\| Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion]]		[[Datei:P_ID772__Sto_T_4_6_S1neu.png \|right\|frame\| Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 6:}$		$\text{Beispiel 6:}$
	Wir nehmen Bezug zum [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|Beispiel 1]] mit den beiden ~~„rechteckigen~~ Zufallsgrößen” $x(t)$ und $y(t) = α · x(t – t_0)$.		Wir nehmen Bezug zum [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte#Definition_der_Kreuzkorrelationsfunktion\|$\text{Beispiel 1}$]] mit den beiden „rechteckigförmigen Zufallsgrößen” $x(t)$  und  $y(t) = α · x(t – t_0)$.

	Da die AKF ${\it φ}_x(τ)$ dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektrum]] beschrieben – das LDS ${\it Φ}_x(f)$ einen ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.		Da die AKF ${\it φ}_x(τ)$ dreieckförmig verläuft, hat – wie im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)\|Leistungsdichtespektrum]] beschrieben – das LDS ${\it Φ}_x(f)$ einen ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?		Welche Aussagen können wir allgemein aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?
	*Im zitierten Beispiel 1 haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_y(τ)$ von ${\it φ}_x(τ)$ nur um den konstanten Faktor $α^2$ unterscheidet.		*Im zitierten $\text{Beispiel 1}$ haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion ${\it φ}_y(τ)$ von ${\it φ}_x(τ)$ nur um den konstanten Faktor $α^2$ unterscheidet.
	*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ von ${\it \Phi}_x(f)$ ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor $α^2$ abweicht. Beide Spektralfunktionen sind reell.		*Damit ist klar, dass das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ von ${\it \Phi}_x(f)$ ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor $α^2$ abweicht. Beide Spektralfunktionen sind reell.
	*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:		*Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf: