Stochastische Signaltheorie/Gleichverteilte Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

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2022-01-12T14:09:49Z

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2018-08-09T06:16:13Z

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2017-03-14T11:21:26Z

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 ==Multiplicative Congruental Generator==
 <br>
-$\text{Multiplicative Congruental Generator}$ ist das bekannteste Verfahren  zur Erzeugung einer Folge $〈 x_\nu 〉$ mit gleichverteilten Werten $ x_\nu$ zwischen $0$ und $1$. Diese Methode wird hier stichpunktartig angegeben:
+$\text{Multiplicative Congruental Generator}$&nbsp; ist das bekannteste Verfahren  zur Erzeugung einer Folge&nbsp; $〈 x_\nu 〉$&nbsp; mit gleichverteilten Werten&nbsp; $ x_\nu$&nbsp; zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.&nbsp; Diese Methode wird hier stichpunktartig angegeben:
-'''(1)''' &nbsp;  Diese Zufallsgeneratoren basieren auf der sukzessiven Manipulation einer Integervariablen $k$. Geschieht die Zahlendarstellung im Rechner mit $L$ Bit, so nimmt diese Variable bei geeigneter Behandlung des Vorzeichenbits alle Werte zwischen $1$ und $2^{L − 1}$ jeweils genau einmal an.
+'''(1)''' &nbsp;  Diese Zufallsgeneratoren basieren auf der sukzessiven Manipulation einer Integervariablen&nbsp; $k$.&nbsp; Geschieht die Zahlendarstellung im Rechner mit&nbsp; $L$&nbsp; Bit, so nimmt diese Variable bei geeigneter Behandlung des Vorzeichenbits alle Werte zwischen&nbsp; $1$&nbsp; und&nbsp; $2^{L − 1}$&nbsp; jeweils genau einmal an.
-'''(2)''' &nbsp;  Die hieraus abgeleitete Zufallsgröße $x={k}/{\rm 2^{\it L - \rm 1}}$ ist ebenfalls diskret (mit Stufenzahl $M = 2^{L– 1})$:
+'''(2)''' &nbsp;  Die hieraus abgeleitete Zufallsgröße&nbsp; $x={k}/{\rm 2^{\it L - \rm 1}}$&nbsp; ist ebenfalls diskret&nbsp; $($mit Stufenzahl&nbsp; $M = 2^{L– 1})$:
 :$$x={k}/{\rm 2^{\it L - \rm 1}} = k\cdot \Delta x \in   \{\Delta x, \hspace{0.05cm}2\cdot \Delta x,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.05cm}1-\Delta x,\hspace{0.05cm} 1\}.$$
-Ist die Bitanzahl $L$ hinreichend groß, so ist der Abstand $Δx = 1/2^{L– 1}$ zwischen zwei möglichen Werten sehr klein, und man kann $x$ im Rahmen der Simulationsgenauigkeit durchaus als eine kontinuierliche Zufallsgröße interpretieren.
+:Ist die Bitanzahl $L$ hinreichend groß, so ist der Abstand&nbsp; $Δx = 1/2^{L– 1}$&nbsp; zwischen zwei möglichen Werten sehr klein, und man kann&nbsp; $x$&nbsp; im Rahmen der Simulationsgenauigkeit durchaus als eine wertkontinuierliche Zufallsgröße interpretieren.
-'''(3)''' &nbsp; Die rekursive Generierungsvorschrift eines solchen ''Multiplicative Congruential Generators'' lautet:
+'''(3)''' &nbsp; Die rekursive Generierungsvorschrift eines solchen&nbsp; ''Multiplicative Congruential Generators''&nbsp; lautet:
 :$$k_\nu=(a\cdot k_{\nu-1})\hspace{0.1cm} \rm mod \hspace{0.1cm} \it m.$$
-'''(4)''' &nbsp; Die statistischen Eigenschaften der Folge hängen entscheidend von den Parametern $a$ und $m$ ab. Der Startwert $k_0$ hat dagegen für die Statistik eine eher untergeordnete Bedeutung.
+'''(4)''' &nbsp; Die statistischen Eigenschaften der Folge hängen entscheidend von den Parametern&nbsp; $a$&nbsp; und&nbsp; $m$&nbsp; ab. Der Startwert&nbsp; $k_0$&nbsp; hat dagegen für die Statistik eine eher untergeordnete Bedeutung.
-'''(5)''' &nbsp; Die besten Ergebnisse erzielt man mit der Basis $m =2\hspace{0.05cm}^l–1$, wobei $l$ eine beliebige natürliche Zahl angibt. Weit verbreitet ist bei Rechnern mit 32 Bit-Architektur und einem Vorzeichenbit die Basis $m = 2^{31} – 1 = 2\hspace{0.08cm}147\hspace{0.08cm}483\hspace{0.08cm}647.$ Ein entsprechender Algorithmus lautet:
+'''(5)''' &nbsp; Die besten Ergebnisse erzielt man mit der Basis&nbsp; $m =2\hspace{0.05cm}^l-1$, wobei&nbsp; $l$&nbsp; eine beliebige natürliche Zahl angibt. Weit verbreitet ist bei Rechnern mit 32 Bit-Architektur und einem Vorzeichenbit die Basis&nbsp; $m = 2^{31} - 1 = 2\hspace{0.08cm}147\hspace{0.08cm}483\hspace{0.08cm}647$.&nbsp; Ein entsprechender Algorithmus lautet:
 :$$k_\nu=(16807\cdot k_{\nu-1})\hspace{0.1cm} \rm mod\hspace{0.1cm}(2^{31}-1).$$
-'''(6)''' &nbsp; Für einen solchen Generator ist nur der Startwert $k_0 = 0$ nicht erlaubt. Für $k_0 \ne 0$ beträgt die Periodendauer $P = 2^{31} − 2.$
+'''(6)''' &nbsp; Für einen solchen Generator ist nur der Startwert&nbsp; $k_0 = 0$&nbsp; nicht erlaubt.&nbsp; Für&nbsp; $k_0 \ne 0$&nbsp; beträgt die Periodendauer&nbsp; $P = 2^{31} - 2.$
 [[Datei:P_ID920__Sto_T_3_4_S5.png |right|frame| Multiplicative Congruental Generator (C-Programm)]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir analysieren den oben beschriebenen ''Multiplicative Congruental Generator'' genauer:
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir analysieren den oben beschriebenen&nbsp; ''Multiplicative Congruental Generator''&nbsp; genauer:
 *Den Algorithmus kann man allerdings auf einem 32 Bit&ndash;Rechner nicht direkt implementieren, da das Multiplikationsergebnis bis zu 46 Bit benötigt.
 *Er kann aber so abgewandelt werden, dass zu keinem Zeitpunkt der Berechnung der 32 Bit&ndash;Integerzahlenbereich überschritten wird.
-*Das so modifizierte C-Programm $\text{uniform( )}$ ist rechts angegeben.}}
+*Das so modifizierte C-Programm&nbsp; $\text{uniform( )}$&nbsp; ist rechts angegeben.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 '''(1)''' &nbsp; Die Bedeutung der Gleichverteilung für die Simulation nachrichtentechnischer Systeme ist darauf zurückzuführen, dass man entsprechende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren&rdquo; relativ einfach realisieren kann, und dass sich daraus andere Verteilungen wie zum Beispiel die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußverteilung]]&nbsp; und die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp; leicht ableiten lassen.
-'''(2)''' &nbsp; In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird häufig vereinfachend mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem ''natürlichen Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.
+'''(2)''' &nbsp; In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird oft vereinfachend mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen ''natürlichem Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.
 '''(3)''' &nbsp; Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen dagegen die Ausnahme.&nbsp; Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei&nbsp; ''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulationsverfahren''&nbsp; (QAM) auftreten.
-Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp;  berechnet unter anderem
+Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp;  berechnet alle Kenngrößen der Gleichverteilung für beliebige Parameter&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm max}$.
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 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition}$&nbsp; Die heute verwendeten Zufallsgeneratoren sind meist '''pseudozufällig''':
+$\text{Definition}$&nbsp; Die heute verwendeten Zufallsgeneratoren sind meist&nbsp; '''pseudozufällig'''.&nbsp; Das bedeutet,
-*Das bedeutet, dass die erzeugte Folge als das Ergebnis eines festen Algorithmuses eigentlich deterministisch ist, für den Anwender jedoch aufgrund der großen Periodenlänge $P$ als stochastisch erscheint.
+*dass die erzeugte Folge als das Ergebnis eines festen Algorithmuses eigentlich deterministisch ist,
-*Mehr hierzu im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]. }}
+*für den Anwender jedoch aufgrund der großen Periodenlänge&nbsp; $P$&nbsp; als stochastisch erscheint.
-Für die Systemsimulation haben Pseudo&ndash;Noise ('''PN''')&ndash;Generatoren gegenüber echten Zufallsgeneratoren den entscheidenden Vorteil, dass die erzeugten Zufallsfolgen ohne Speicherung reproduzierbar sind, was
+Mehr hierzu im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]. }}
 *zum einen den Vergleich verschiedener Systemmodelle ermöglicht, und
 *auch die Fehlersuche wesentlich erleichtert.
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 Ein Zufallsgenerator sollte dabei folgende Kriterien erfüllen:
-'''(1)''' &nbsp; Die Zufallsgrößen $x_ν$ einer generierten Folge sollten mit sehr guter Näherung gleichverteilt sein. Bei wertdiskreter Darstellung an einem Rechner erfordert dies unter anderem eine hinreichend ''hohe Bitauflösung,'' zum Beispiel mit 32 oder 64 Bit pro Abtastwert.
+'''(1)''' &nbsp; Die Zufallsgrößen&nbsp; $x_ν$&nbsp; einer generierten Folge sollten mit sehr guter Näherung gleichverteilt sein. Bei wertdiskreter Darstellung an einem Rechner erfordert dies unter anderem eine hinreichend&nbsp; ''hohe Bitauflösung'',&nbsp; zum Beispiel mit&nbsp; $32$&nbsp; oder&nbsp; $64$&nbsp; Bit pro Abtastwert.
-'''(2)''' &nbsp; Bildet man aus der sequentiellen Zufallsfolge $〈x_ν〉$ jeweils nichtüberlappende Paare von Zufallsgrößen, beispielsweise $(x_ν, x_{ν+1})$, $(x_{ν+2}$, $x_{ν+3})$, ... , so sollten diese ''Tupel''&nbsp; in einer zweidimensionalen Darstellung innerhalb eines Quadrates ebenfalls gleichverteilt sein.
+'''(2)''' &nbsp; Bildet man aus der sequentiellen Zufallsfolge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; jeweils nichtüberlappende Paare von Zufallsgrößen, beispielsweise&nbsp; $(x_ν, x_{ν+1})$,&nbsp; $(x_{ν+2}$,&nbsp; $x_{ν+3})$, ... , so sollten diese&nbsp; ''Tupel''&nbsp; in einer zweidimensionalen Darstellung innerhalb eines Quadrates ebenfalls gleichverteilt sein.
-'''(3)''' &nbsp; Bildet man aus der sequentiellen Folge $〈x_ν〉$ nicht überlappende $n$&ndash;''Tupel'' von Zufallsgrößen &nbsp; ⇒ &nbsp; $(x_ν$, ... , $x_{ν+n–1})$, $(x_{ν+n}$, ... , $x_{ν+2n–1})$ usw., so sollten auch diese innerhalb eines $n$&ndash;dimensionalen Würfels möglichst die Gleichverteilung ergeben.
+'''(3)''' &nbsp; Bildet man aus der sequentiellen Folge&nbsp; $〈x_ν〉$&nbsp; nicht überlappende&nbsp; $n$&ndash;''Tupel'' &nbsp; von Zufallsgrößen &nbsp; ⇒ &nbsp; $(x_ν$, ... , $x_{ν+n–1})$,&nbsp; $(x_{ν+n}$, ... , $x_{ν+2n–1})$&nbsp; usw., so sollten auch diese innerhalb eines&nbsp; $n$&ndash;dimensionalen Würfels möglichst die Gleichverteilung ergeben.
 ''Anmerkung:''
-*Die erste Forderung bezieht sich ausschließlich auf die ''Amplitudenverteilung''&nbsp; (WDF) und ist im Allgemeinen leichter zu erfüllen.
+*Die erste Forderung bezieht sich ausschließlich auf die&nbsp; ''Amplitudenverteilung''&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; und ist im Allgemeinen leichter zu erfüllen.
-*Die beiden weiteren Forderungen sollen eine „ausreichende Zufälligkeit” der Folge gewährleisten.
+*Die weiteren Forderungen gewährleisten eine „ausreichende Zufälligkeit” der Folge.&nbsp; Sie betreffen die statistische Unabhängigkeit aufeinander folgender Zufallswerte.

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 [[Datei:P_ID45__Sto_T_3_4_S1_neu100.png |frame|WDF und VTF der Gleichverteilung]]
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Eine Zufallsgröße $x$ bezeichnet man als '''gleichverteilt''', wenn sie nur Werte im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ annehmen kann, und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Eine Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; bezeichnet man als&nbsp; '''gleichverteilt''', wenn sie nur Werte im Bereich von&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; bis&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; annehmen kann, und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
 Die Grafik zeigt
-*links die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$,
+*links die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{x}(x)$,
-*rechts die Verteilungsfunktion $F_{x}(r)$
+*rechts die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{x}(r)$
-einer gleichverteilten Zufallsgröße $x$.}}
+einer solchen  gleichverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$.}}
 Aus der Grafik und der Definition können folgende Eigenschaften abgeleitet werden:
-*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ('''WDF''') besitzt im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ den konstanten Wert $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$. An den Bereichsgrenzen ist für $f_{x}(x)$ jeweils nur der halbe Wert – also der Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert – zu setzen.
+*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; besitzt im Bereich von&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; bis&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; den konstanten Wert&nbsp; $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$.&nbsp;
-*Die Verteilungsfunktion ('''VTF''') steigt im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ linear von $0$ auf $1$ linear an.
+*An den Bereichsgrenzen ist für&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; jeweils nur der halbe Wert – also der Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert – zu setzen.
 *Mittelwert und Streuung haben bei der Gleichverteilung die folgenden Werte:
 :$$m_{\rm 1} = \frac{\it x_ {\rm max} \rm + \it x_{\rm min}}{2},\hspace{0.5cm}
 \sigma = \frac{\it x_{\rm max} - \it x_{\rm min}}{2 \sqrt{3}}.$$
-*Bei symmetrischer WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm min} = -x_{\rm max}$ erhält man als Sonderfall den Mittelwert $m_1 = 0$ und die Varianz $σ^2 = x_{\rm max}^2/3.$
+*Bei symmetrischer WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm min} = -x_{\rm max}$&nbsp; erhält man als Sonderfall den Mittelwert&nbsp; $m_1 = 0$&nbsp; und die Varianz&nbsp; $σ^2 = x_{\rm max}^2/3.$
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt zwei Signalverläufe mit gleichförmiger Amplitudenverteilung.
-[[Datei:P_ID618__Sto_T_3_4_S2_neu100.png |center|frame|Beispiele gleichverteilter Signale]] }}
+[[Datei:P_ID618__Sto_T_3_4_S2_neu100.png |right|frame|Beispiele gleichverteilter Signale]]
 ==Bedeutung der Gleichverteilung für die Nachrichtentechnik==
 <br>
-Die Bedeutung gleichverteilter Zufallsgrößen für die Informations&ndash; und Kommunikationstechnik ist darauf zurückzuführen, dass diese WDF–Form aus Sicht der Informationstheorie unter der Nebenbedingung [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung|Spitzenwertbegrenzung]] ein Optimum darstellt:
+Die Bedeutung gleichverteilter Zufallsgrößen für die Informations&ndash; und Kommunikationstechnik ist darauf zurückzuführen, dass diese WDF–Form aus Sicht der Informationstheorie unter der Nebenbedingung&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung|Spitzenwertbegrenzung]]&nbsp; ein Optimum darstellt:
-*Mit keiner anderen Verteilung als der Gleichverteilung erreicht man unter dieser Voraussetzung eine größere [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_spitzenwertbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|differentielle Entropie]].
+*Mit keiner anderen Verteilung als der Gleichverteilung erreicht man unter dieser Voraussetzung eine größere&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie#Differentielle_Entropie_einiger_spitzenwertbegrenzter_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|differentielle Entropie]].
-*Mit dieser Thematik beschäftigt sich das Kapitel  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]]  im Buch &bdquo;Informationstheorie&rdquo;.
+*Mit dieser Thematik beschäftigt sich das Kapitel&nbsp;  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]]&nbsp;  im Buch &bdquo;Informationstheorie&rdquo;.
 Daneben sind unter Anderem noch folgende Punkte zu nennen:
-'''(1)''' &nbsp; Die Bedeutung der Gleichverteilung für die Simulation nachrichtentechnischer Systeme ist darauf zurückzuführen, dass man entsprechende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren&rdquo; relativ einfach realisieren kann, und dass sich daraus andere Verteilungen wie zum Beispiel die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußverteilung]] und die [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] leicht ableiten lassen.
+'''(1)''' &nbsp; Die Bedeutung der Gleichverteilung für die Simulation nachrichtentechnischer Systeme ist darauf zurückzuführen, dass man entsprechende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren&rdquo; relativ einfach realisieren kann, und dass sich daraus andere Verteilungen wie zum Beispiel die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußverteilung]]&nbsp; und die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]]&nbsp; leicht ableiten lassen.
 '''(2)''' &nbsp; In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird häufig vereinfachend mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem ''natürlichen Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.
-'''(3)''' &nbsp; Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen dagegen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei ''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulationsverfahren'' (QAM) auftreten.
+'''(3)''' &nbsp; Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen dagegen die Ausnahme.&nbsp; Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei&nbsp; ''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulationsverfahren''&nbsp; (QAM) auftreten.
-Das interaktive Applet [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  berechnet unter anderem
+Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp;  berechnet unter anderem
-*alle Kenngrößen der Gleichverteilung (diese wird hier als „Rechteck” bezeichnet)
+*alle Kenngrößen der Gleichverteilung&nbsp;
-*für beliebige Parameter $x_{\rm min}$ und $x_{\rm max}$.
+*für beliebige Parameter&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $x_{\rm max}$.

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 Daneben sind unter Anderem noch folgende Punkte zu nennen:
-'''(1)''' &nbsp; Die Bedeutung der Gleichverteiltung für die Simulation nachrichtentechnischer Systeme ist darauf zurückzuführen, dass man entsprechende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren&rdquo; relativ einfach realisieren kann, und dass sich daraus andere Verteilungen wie zum Beispiel die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußverteilung]] und die [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] leicht ableiten lassen.
+'''(1)''' &nbsp; Die Bedeutung der Gleichverteilung für die Simulation nachrichtentechnischer Systeme ist darauf zurückzuführen, dass man entsprechende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren&rdquo; relativ einfach realisieren kann, und dass sich daraus andere Verteilungen wie zum Beispiel die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gaußverteilung]] und die [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Einseitige_Exponentialverteilung|Exponentialverteilung]] leicht ableiten lassen.
 '''(2)''' &nbsp; In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird häufig vereinfachend mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem ''natürlichen Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Die Grafik zeigt
-*links die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ und
+*links die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$,
 *rechts die Verteilungsfunktion $F_{x}(r)$
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 Aus der Grafik und der Definition können folgende Eigenschaften abgeleitet werden:
-*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) $f_{x}(x)$ besitzt im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ den konstanten Wert $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$, wobei an den beiden Bereichsgrenzen für $f_{x}(x)$ jeweils nur der halbe Wert – also der Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert – zu setzen ist.
+*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ('''WDF''') besitzt im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ den konstanten Wert $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$. An den Bereichsgrenzen ist für $f_{x}(x)$ jeweils nur der halbe Wert – also der Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert – zu setzen.
-*Die Verteilungsfunktion (VTF) $F_{x}(r)$ steigt im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ linear von $0$ auf $1$ linear an.
+*Die Verteilungsfunktion ('''VTF''') steigt im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ linear von $0$ auf $1$ linear an.
 *Mittelwert und Streuung haben bei der Gleichverteilung die folgenden Werte:
 :$$m_{\rm 1} = \frac{\it x_ {\rm max} \rm + \it x_{\rm min}}{2},\hspace{0.5cm}
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 Die Grafik zeigt zwei Signalverläufe mit gleichförmiger Amplitudenverteilung.
 *Links ist statistische Unabhängigkeit der einzelnen Abtastwerte vorausgesetzt, das heißt, $x_ν$ kann alle Werte zwischen $x_{\rm min}$ und $x_{\rm max}$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen, und zwar unabhängig von der Vergangenheit $(x_{ν–1}, x_{ν–2}, \hspace{0.1cm}\text{...}).$
 *Beim rechten Signal $y(t)$ ist diese Unabhängigkeit aufeinanderfolgender Signalwerte nicht mehr gegeben. Vielmehr stellt dieses Sägezahnsignal ein deterministisches Signal dar.
 [[Datei:P_ID618__Sto_T_3_4_S2_neu100.png |center|frame|Beispiele gleichverteilter Signale]] }}
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
 '''(2)''' &nbsp; In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird häufig vereinfachend mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem ''natürlichen Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.
-'''(3)''' &nbsp; Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen dagegen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei ''Quadraturamplitudenmodulationsverfahren'' auftreten.
+'''(3)''' &nbsp; Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen dagegen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei ''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulationsverfahren'' (QAM) auftreten.
+Das interaktive Applet [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  berechnet unter anderem
-Das interaktive Applet [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]  berechnet unter Anderem
+*alle Kenngrößen der Gleichverteilung (diese wird hier als „Rechteck” bezeichnet)
 *für beliebige Parameter $x_{\rm min}$ und $x_{\rm max}$.
@@ Zeile 59: / Zeile 58: @@
 ==Erzeugung einer Gleichverteilung mit Pseudo&ndash;Noise&ndash;Generatoren==
 <br>
-Die heute verwendeten Zufallsgeneratoren sind meist '''pseudozufällig''':
+{{BlaueBox|TEXT=
 *Das bedeutet, dass die erzeugte Folge als das Ergebnis eines festen Algorithmuses eigentlich deterministisch ist, für den Anwender jedoch aufgrund der großen Periodenlänge $P$ als stochastisch erscheint.
-*Mehr hierzu im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]].
+*Mehr hierzu im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]. }}
-Für die Systemsimulation haben Pseudo&ndash;Noise (PN)&ndash;Generatoren gegenüber echten Zufallsgeneratoren den entscheidenden Vorteil, dass die erzeugten Zufallsfolgen ohne Speicherung reproduzierbar sind, was
+Für die Systemsimulation haben Pseudo&ndash;Noise ('''PN''')&ndash;Generatoren gegenüber echten Zufallsgeneratoren den entscheidenden Vorteil, dass die erzeugten Zufallsfolgen ohne Speicherung reproduzierbar sind, was
 *zum einen den Vergleich verschiedener Systemmodelle ermöglicht, und
 *auch die Fehlersuche wesentlich erleichtert.
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 Ein Zufallsgenerator sollte dabei folgende Kriterien erfüllen:
-'''(1)''' &nbsp; Die Zufallsgrößen $x_ν$ einer generierten Folge sollten mit sehr guter Näherung gleichverteilt sein. Bei wertdiskreter Darstellung an einem Rechner erfordert dies unter Anderem eine hinreichend ''hohe Bitauflösung,'' zum Beispiel mit 32 oder 64 Bit pro Abtastwert.
+'''(1)''' &nbsp; Die Zufallsgrößen $x_ν$ einer generierten Folge sollten mit sehr guter Näherung gleichverteilt sein. Bei wertdiskreter Darstellung an einem Rechner erfordert dies unter anderem eine hinreichend ''hohe Bitauflösung,'' zum Beispiel mit 32 oder 64 Bit pro Abtastwert.
-'''(2)''' &nbsp; Bildet man aus der sequentiellen Zufallsfolge $〈x_ν〉$ jeweils nichtüberlappende Paare von Zufallsgrößen, beispielsweise $(x_ν, x_{ν+1}), (x_{ν+2}, x_{ν+3})$, ... , so sollten diese ''Tupel'' in einer zweidimensionalen Darstellung innerhalb eines Quadrates ebenfalls gleichverteilt sein.
+'''(3)''' &nbsp; Bildet man aus der sequentiellen Folge $〈x_ν〉$ nicht überlappende $n$&ndash;''Tupel'' von Zufallsgrößen &nbsp; ⇒ &nbsp; $(x_ν$, ... , $x_{ν+n–1})$, $(x_{ν+n}$, ... , $x_{ν+2n–1})$ usw., so sollten auch diese innerhalb eines $n$&ndash;dimensionalen Würfels möglichst die Gleichverteilung ergeben.
 ''Anmerkung:''
-*Die erste Forderung bezieht sich ausschließlich auf die ''Amplitudenverteilung'' (WDF) und ist im Allgemeinen leichter zu erfüllen.
+*Die erste Forderung bezieht sich ausschließlich auf die ''Amplitudenverteilung''&nbsp; (WDF) und ist im Allgemeinen leichter zu erfüllen.
 *Die beiden weiteren Forderungen sollen eine „ausreichende Zufälligkeit” der Folge gewährleisten.
 *Sie betreffen die statistische Unabhängigkeit aufeinander folgender Zufallswerte.
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 '''(1)''' &nbsp;  Diese Zufallsgeneratoren basieren auf der sukzessiven Manipulation einer Integervariablen $k$. Geschieht die Zahlendarstellung im Rechner mit $L$ Bit, so nimmt diese Variable bei geeigneter Behandlung des Vorzeichenbits alle Werte zwischen $1$ und $2^{L − 1}$ jeweils genau einmal an.
-'''(2)''' &nbsp;  Die hieraus abgeleitete Zufallsgröße
+'''(2)''' &nbsp;  Die hieraus abgeleitete Zufallsgröße $x={k}/{\rm 2^{\it L - \rm 1}}$ ist ebenfalls diskret (mit Stufenzahl $M = 2^{L– 1})$:
-:$$x={k}/({\rm 2^{\it L - \rm 1}}) = k\cdot \Delta x \in   \{\Delta x, \hspace{0.05cm}2\cdot \Delta x,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.05cm}1-\Delta x,\hspace{0.05cm} 1\}$$
+:$$x={k}/{\rm 2^{\it L - \rm 1}} = k\cdot \Delta x \in   \{\Delta x, \hspace{0.05cm}2\cdot \Delta x,\hspace{0.05cm}\text{ ...}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.05cm}1-\Delta x,\hspace{0.05cm} 1\}.$$
-ist demnach ebenfalls diskret (mit Stufenzahl $M = 2^{L– 1})$. Ist die Bitanzahl $L$ hinreichend groß, so ist der Abstand $Δx = 1/(2^{L– 1})$ zwischen zwei möglichen Werten sehr klein, und man kann $x$ im Rahmen der Simulationsgenauigkeit durchaus als eine kontinuierliche Zufallsgröße interpretieren.
+Ist die Bitanzahl $L$ hinreichend groß, so ist der Abstand $Δx = 1/2^{L– 1}$ zwischen zwei möglichen Werten sehr klein, und man kann $x$ im Rahmen der Simulationsgenauigkeit durchaus als eine kontinuierliche Zufallsgröße interpretieren.
 '''(3)''' &nbsp; Die rekursive Generierungsvorschrift eines solchen ''Multiplicative Congruential Generators'' lautet:
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 '''(4)''' &nbsp; Die statistischen Eigenschaften der Folge hängen entscheidend von den Parametern $a$ und $m$ ab. Der Startwert $k_0$ hat dagegen für die Statistik eine eher untergeordnete Bedeutung.
-'''(5)''' &nbsp; Die besten Ergebnisse erzielt man mit der Basis $m =2^l–1$, wobei $l$ eine beliebige natürliche Zahl angibt. Weit verbreitet ist bei Rechnern mit 32 Bit-Architektur und einem Vorzeichenbit die Basis $m = 2^{31} – 1 = 2'147'483'647.$ Ein entsprechender Algorithmus lautet:
+'''(5)''' &nbsp; Die besten Ergebnisse erzielt man mit der Basis $m =2\hspace{0.05cm}^l–1$, wobei $l$ eine beliebige natürliche Zahl angibt. Weit verbreitet ist bei Rechnern mit 32 Bit-Architektur und einem Vorzeichenbit die Basis $m = 2^{31} – 1 = 2\hspace{0.08cm}147\hspace{0.08cm}483\hspace{0.08cm}647.$ Ein entsprechender Algorithmus lautet:
 :$$k_\nu=(16807\cdot k_{\nu-1})\hspace{0.1cm} \rm mod\hspace{0.1cm}(2^{31}-1).$$
-'''(6)''' &nbsp; Für einen solchen Generator ist nur der Startwert $k_0 = 0$ nicht erlaubt. Für alle anderen Startwerte beträgt die Periodendauer $P = 2^{31} − 2.$
+'''(6)''' &nbsp; Für einen solchen Generator ist nur der Startwert $k_0 = 0$ nicht erlaubt. Für $k_0 \ne 0$ beträgt die Periodendauer $P = 2^{31} − 2.$
 [[Datei:P_ID920__Sto_T_3_4_S5.png |right|frame| Multiplicative Congruental Generator (C-Programm)]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir analysieren den oben beschriebenen ''Multiplicative Congruental Generator'' genauer:
-Der hier angegebene Algorithmus kann auf einem 32 Bit-Rechner allerdings nicht direkt implementiert werden, da das Ergebnis der Multiplikation bis zu 46 Bit beansprucht.
+*Den Algorithmus kann man allerdings auf einem 32 Bit&ndash;Rechner nicht direkt implementieren, da das Multiplikationsergebnis bis zu 46 Bit benötigt.
+*Er kann aber so abgewandelt werden, dass zu keinem Zeitpunkt der Berechnung der 32 Bit&ndash;Integerzahlenbereich überschritten wird.
 *Das so modifizierte C-Programm $\text{uniform( )}$ ist rechts angegeben.}}

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 Die Grafik zeigt links die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (abgekürzt WDF) und rechts die Verteilungsfunktion (kurz VTF) einer gleichverteilten Zufallsgröße $x$.
-[[Datei:P_ID45__Sto_T_3_4_S1_neu100.png |WDF und VTF der Gleichverteilung]]
+[[Datei:P_ID45__Sto_T_3_4_S1_neu100.png |frame|WDF und VTF der Gleichverteilung]]
 {{Definition}}''':''' &nbsp; Eine Zufallsgröße $x$ bezeichnet man als '''gleichverteilt''', wenn sie nur Werte im Bereich von $x_{\rm min}$ bis $x_{\rm max}$ annehmen kann, und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit. {{end}}<br>
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-[[Datei:P_ID618__Sto_T_3_4_S2_neu100.png |Beispiele gleichverteilter Signale]]
+[[Datei:P_ID618__Sto_T_3_4_S2_neu100.png |frame|Beispiele gleichverteilter Signale]]
 {{end}}<br>
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 Dieser Algorithmus kann auf einem 32 Bit-Rechner allerdings nicht direkt implementiert werden, da das Ergebnis der Multiplikation bis zu 46 Bit beansprucht. Er kann aber so abgewandelt werden, dass zu keinem Zeitpunkt der Berechnung der Integerzahlenbereich von 32 Bit überschritten wird. Das so modifizierte C-Programm &bdquo;uniform( )&bdquo; ist nachfolgend angegeben.
-[[Datei:P_ID920__Sto_T_3_4_S5.png | Multiplicative Congruental Generator (C-Programm)]]
+[[Datei:P_ID920__Sto_T_3_4_S5.png |frame| Multiplicative Congruental Generator (C-Programm)]]
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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(kein Unterschied)