Stochastische Signaltheorie/Gaußverteilte Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 14. Januar 2022 um 16:45 Uhr

2022-01-14T16:45:11Z

Guenter am 14. Januar 2022 um 16:42 Uhr

2022-01-14T16:42:05Z

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2022-01-14T16:40:46Z

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2022-01-14T12:57:02Z

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2022-01-14T12:52:57Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:35Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 21. November 2019 um 14:31 Uhr

2019-11-21T14:31:20Z

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Guenter am 20. November 2019 um 17:56 Uhr

2019-11-20T17:56:24Z

Guenter am 20. November 2019 um 17:48 Uhr

2019-11-20T17:48:26Z

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-Eine in&nbsp; [ES96]<ref name='ES96'>Eck, P.; Söder, G.: ''Tabulated Inversion, a Fast Method for White Gaussian Noise Simulation.'' In:&nbsp; AEÜ Int. J. Electron. Commun. 50 (1996), S. 41-48.</ref>&nbsp; dokumentierte Simulation über&nbsp; $10^{9}$&nbsp; Abtastwerte hat aber gezeigt, dass das BM-Verfahren nur bis zu Fehlerwahrscheinlichkeiten von&nbsp; $10^{-5}$&nbsp; die Q-Funktion sehr gut approximiert, dann aber  der Kurvenverlauf steil abbricht.
+Eine in&nbsp; [ES96]<ref name='ES96'>Eck, P.; Söder, G.:&nbsp; Tabulated Inversion, a Fast Method for White Gaussian Noise Simulation.&nbsp; In:&nbsp; AEÜ Int. J. Electron. Commun. 50 (1996), S. 41-48.</ref>&nbsp; dokumentierte Simulation über&nbsp; $10^{9}$&nbsp; Abtastwerte hat aber gezeigt, dass das BM-Verfahren nur bis zu Fehlerwahrscheinlichkeiten von&nbsp; $10^{-5}$&nbsp; die Q-Funktion sehr gut approximiert, dann aber  der Kurvenverlauf steil abbricht.
 *Der maximal auftretende Wert des Wurzelausdrucks war dabei nicht&nbsp; $6.55$, sondern aufgrund der aktuellen Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; nur etwa&nbsp; $4.6$,&nbsp; <br>womit sich der schlagartige Abfall ab etwa&nbsp; $10^{–5}$&nbsp; erklären lässt.
 *Bei 64 Bit-Rechenoperationen arbeitet dieses Verfahren natürlich deutlich besser.}}

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 Bei diesem von Peter Eck und Günter Söder entwickelten Verfahren&nbsp;  [ES96]<ref name='ES96'/>&nbsp; wird wie folgt vorgegangen:
-'''(1)''' &nbsp; Die Gauß–WDF wird in&nbsp; $J$&nbsp; Intervalle mit gleichen Flächeninhalten&nbsp; – und dementsprechend unterschiedlicher Breite –&nbsp; aufgeteilt, wobei&nbsp; $J$&nbsp; eine Zweierpotenz darstellt.
+'''(1)''' &nbsp; Die Gauß–WDF wird in&nbsp; $J$&nbsp; Intervalle mit gleichen Flächeninhalten&nbsp; – und dementsprechend unterschiedlicher Breite –&nbsp; aufgeteilt,&nbsp; wobei&nbsp; $J$&nbsp; eine Zweierpotenz darstellt.
 '''(2)''' &nbsp; Dem Intervall mit Index&nbsp; $j$&nbsp; wird ein charakteristischer Wert&nbsp; $C_j$&nbsp; zugeordnet.&nbsp; Somit genügt es,&nbsp; für jeden neuen  Funktionswert nur einen Integer-Zahlengenerator aufzurufen,&nbsp; der die ganzzahligen Werte&nbsp; $j = ±1, \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, ±J/2$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit liefert und damit eines der&nbsp; $C_j$&nbsp; auswählt.

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 ==Gauß&ndash;Erzeugung mit dem Box/Muller&ndash;Verfahren==
 <br>
-Bei dieser Methode werden zwei statistisch voneinander unabhängige gaußverteilte Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; aus den beiden zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichverteilten und statistisch unabhängigen Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; durch nichtlineare&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation]]&nbsp; (approximativ) erzeugt:
+Bei dieser Methode werden zwei statistisch voneinander unabhängige gaußverteilte Zufallsgrößen&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; aus den beiden zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichverteilten und statistisch unabhängigen Zufallsgrößen&nbsp; $u$&nbsp; und&nbsp; $v$&nbsp; durch&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen| nichtlineare Transformation]]&nbsp; (approximativ) erzeugt:
 :$$x=m_x+\sigma_{x}\cdot \cos(2 \pi u)\cdot\sqrt{-2\cdot \ln(v)},$$
 :$$y=m_y+\sigma_{y}\cdot \sin(2 \pi u)\cdot\sqrt{-2\cdot \ln(v)}.$$

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 }}
 <br clear=all>
 Rechts ist die&nbsp; '''Verteilungsfunktion'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; der gaußverteilten Zufallsgröße dargestellt. Man erkennt:
 *Die VTF ist punktsymmetrisch um den Mittelwert&nbsp; $m_1$.
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-Weitere Informationen zu den gaußverteilten Zufallsgrößen liefert das Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN–Kanal]], insbesondere im zweiten Teil.
+Weitere Informationen zu den gaußverteilten Zufallsgrößen liefert das dreiteilige Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN–Kanal]],&nbsp; insbesondere im zweiten Teil.
 ==Überschreitungswahrscheinlichkeit==
 <br>
-Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; einen vorgegebenen Wert&nbsp; $x_0$&nbsp; überschreitet.
+Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden,&nbsp; dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; einen vorgegebenen Wert&nbsp; $x_0$&nbsp; überschreitet.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 [[Datei:P_ID621__Sto_T_3_5_S3neu.png |right|frame| Komplementäres Gaußsches Fehlerintegral&nbsp; ${\rm Q}(x)$]]
 :$${\rm Pr}(x > x_{\rm 0})={\rm Q}({x_{\rm 0} }/{\sigma}).$$
-*Hierbei bezeichnet&nbsp; ${\rm Q}(x) = 1 − {\rm ϕ}(x)$&nbsp; die Komplementärfunktion zu&nbsp; $ {\rm ϕ}(x)$.&nbsp;
+*Hierbei ist&nbsp; ${\rm Q}(x) = 1 − {\rm ϕ}(x)$&nbsp; die Komplementärfunktion zu&nbsp; $ {\rm ϕ}(x)$.&nbsp;
 *Man nennt diese Funktion das&nbsp; '''Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral'''&nbsp;  und es gilt folgende Berechnungsvorschrift:
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rm Q (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} }\int_{\it x}^{\rm +\infty}\hspace{-0.4cm}\rm e^{\it - u^{\rm 2}/\hspace{0.05cm} \rm 2}\,d \it u .$$
-${\rm Q}(x)$&nbsp; ist wie&nbsp; ${\rm \phi}(x)$&nbsp; nicht analytisch lösbar und muss aus Tabellen entnommen werden.
+*${\rm Q}(x)$&nbsp; ist wie&nbsp; ${\rm \phi}(x)$&nbsp; nicht analytisch lösbar und muss aus Tabellen entnommen werden.
-In Bibliotheken findet man oft die Funktion&nbsp; ${\rm erfc}(x)$, die mit&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt zusammenhängt:
+*In Bibliotheken findet man oft die Funktion&nbsp; ${\rm erfc}(x)$,&nbsp; die mit&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt zusammenhängt:
 :$${\rm Q}(x)={\rm 1}/\hspace{0.05cm}{\rm 2}\cdot \rm erfc({\it x}/{\sqrt{\rm 2} }).$$}}

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 ==Allgemeine Beschreibung==
 <br>
-Zufallsgrößen mit Gaußscher Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion – die Namensgebung geht dabei auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]&nbsp;  zurück – sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen und haben auch für die Nachrichtentechnik eine große Bedeutung.
+Zufallsgrößen mit Gaußscher Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; &ndash; die Namensgebung geht dabei auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F Carl Friedrich Gauß]&nbsp;  zurück &ndash;&nbsp; sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen und haben auch für die Nachrichtentechnik eine große Bedeutung.
 {{BlaueBox|TEXT=
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 :$$x=\sum\limits_{i=\rm 1}^{\it I}x_i .$$
-*Nach dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz zentralen Grenzwertsatz der Statistik]&nbsp; besitzt diese Summe im Grenzfall&nbsp; $(I → ∞)$&nbsp; eine Gaußsche WDF, so lange die einzelnen Komponenten&nbsp; $x_i$&nbsp; keine statistischen Bindungen besitzen.&nbsp; Dies gilt (nahezu) für alle Dichtefunktionen der einzelnen Summanden.
+*Nach dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Zentraler_Grenzwertsatz zentralen Grenzwertsatz der Statistik]&nbsp; besitzt diese Summe im Grenzfall&nbsp; $(I → ∞)$&nbsp; eine Gaußsche WDF,&nbsp; so lange die einzelnen Komponenten&nbsp; $x_i$&nbsp; keine statistischen Bindungen besitzen.&nbsp; Dies gilt&nbsp; (nahezu)&nbsp; für alle Dichtefunktionen der einzelnen Summanden.
-*Viele&nbsp; ''Rauschprozesse''&nbsp; erfüllen genau diese Voraussetzung,&nbsp; das heißt,&nbsp; sie setzen sich additiv aus einer großen Anzahl voneinander unabhängiger Einzelbeiträge zusammen, so dass ihre Musterfunktionen (Rauschsignale) eine Gaußsche Amplitudenverteilung aufweisen.
+*Viele&nbsp; "Rauschprozesse"&nbsp; erfüllen genau diese Voraussetzung,&nbsp; das heißt,&nbsp; sie setzen sich additiv aus einer großen Anzahl voneinander unabhängiger Einzelbeiträge zusammen,&nbsp; so dass ihre Musterfunktionen&nbsp; (Rauschsignale)&nbsp; eine Gaußsche Amplitudenverteilung aufweisen.
-*Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.&nbsp; Es ändern sich nur die Verteilungsparameter wie Mittelwert und Streuung sowie die inneren statistischen Bindungen der Abtastwerte.}}
+*Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter,&nbsp; so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.&nbsp; Es ändern sich nur die Verteilungsparameter wie Mittelwert und Streuung sowie die inneren statistischen Bindungen der Abtastwerte.}}
-[[Datei:P_ID68__Sto_T_3_5_S1_neu.png |right|frame|Gaußverteiltes und gleichverteiltes Zufallssignal]]
+{{GraueBox|TEXT=
-{{GraueBox|TEXT=
+[[Datei:P_ID68__Sto_T_3_5_S1_neu.png |right|frame|Gaußverteiltes&nbsp; (links)&nbsp; und gleichverteiltes&nbsp; (rechts)&nbsp; Zufallssignal]]
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 Die Grafik zeigt im Vergleich
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Die&nbsp; '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&nbsp; (WDF)&nbsp; einer gaußverteilten Zufallsgröße lautet allgemein:
+Die&nbsp; '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; einer gaußverteilten Zufallsgröße lautet allgemein:
-[[Datei:P_ID65__Sto_T_3_5_S2_neu.png |right|frame| WDF und VTF einer gaußverteilten Zufallsgröße]]
+[[Datei:P_ID65__Sto_T_3_5_S2_neu.png |right|frame| Wahrscheinlichkeitsdichte&ndash; und Verteilungsfunktion einer Gaußschen Zufallsgröße]]
 $$\hspace{0.4cm}f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma}\cdot {\rm e}^{-(x-m_1)^2 /(2\sigma^2) }.$$
 Die Parameter einer solchen Gaußschen WDF sind
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-Ist&nbsp; $m_1 = 0$&nbsp; und&nbsp; $σ = 1$, so spricht man oft auch von der ''Normalverteilung''.
+Ist&nbsp; $m_1 = 0$&nbsp; und&nbsp; $σ = 1$, so spricht man von der '''Normalverteilung'''.
 }}
 <br clear=all>
-Aus der linken Darstellung der oberen Grafik geht hervor, dass die Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; als der Abstand von Maximalwert und Wendepunkt aus der glockenförmigen WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; auch grafisch ermittelt werden kann.
 Rechts ist die&nbsp; '''Verteilungsfunktion'''&nbsp; $F_{x}(r)$&nbsp; der gaußverteilten Zufallsgröße dargestellt. Man erkennt:

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-Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; liefert
+Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; liefert
 *die Zahlenwerte der Funktionen&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und&nbsp; $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$&nbsp;
 *inklusive der hier angegebenen Schranken.

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 <br>
 Die Kenngrößen der Gaußverteilung weisen folgende Eigenschaften auf:
-*Die Zentralmomente $\mu_k$ (identisch mit den Momenten $m_k$ der äquivalenten mittelwertfreien Zufallsgröße $x - m_1$) sind bei der Gaußschen WDF wie auch bei der Gleichverteilung aufgrund der symmetrischen Verhältnisse für ungerade Werte von $k$ identisch $0$.
+*Die Zentralmomente&nbsp; $\mu_k$&nbsp; $($identisch mit den Momenten&nbsp; $m_k$&nbsp; der äquivalenten mittelwertfreien Zufallsgröße&nbsp; $x - m_1$&nbsp; sind bei der Gaußschen WDF wie auch bei der Gleichverteilung aufgrund der symmetrischen Verhältnisse für ungerade Werte von&nbsp; $k$&nbsp; identisch Null.
-*Das zweite Zentralmoment  ist definitionsgemäß gleich $\mu_2 = σ^2$.
+*Das zweite Zentralmoment  ist definitionsgemäß gleich&nbsp; $\mu_2 = σ^2$.
-*Alle höheren Zentralmomente mit geradzahligen Werten von $k$ lassen sich bei gaußförmiger WDF – wohlgemerkt: ausschließlich bei dieser – durch die Varianz $σ^2$ ausdrücken:
+*Alle höheren Zentralmomente mit geradzahligen Werten von&nbsp; $k$&nbsp; lassen sich bei gaußförmiger WDF – wohlgemerkt:&nbsp; ausschließlich bei dieser – durch die Varianz&nbsp; $σ^2$&nbsp; ausdrücken:
 :$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \   3\cdot 1\cdot\sigma^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.1cm}\it k\hspace{0.1cm}\rm gerade).$$
-*Daraus können die nichtzentrierten Momente $m_k$ wie folgt bestimmt werden:
+*Daraus können die nichtzentrierten Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; wie folgt bestimmt werden:
 :$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left(          \begin{array}{*{2}{c}}  k \\   \kappa \\   \end{array}    \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$
 :Diese Gleichung gilt allgemein, also für beliebige Verteilungen.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Aus der oberen Gleichung folgt direkt $\mu_4 = 3 \cdot σ^4$ und daraus für die Kurtosis der Wert $K = 3$. Man  bezeichnet deshalb auch häufig $K-3$ als die ''Gaußabweichung''.
+*Aus der oberen Gleichung folgt direkt&nbsp; $\mu_4 = 3 \cdot σ^4$&nbsp; und daraus für die Kurtosis der Wert&nbsp; $K = 3$.
-*Ist die Gaußabweichung negativ, so erfolgt der WDF-Abfall schneller als bei der Gaußverteilung. Beispielsweise hat bei einer Gleichverteilung die Gaußabweichung stets den Zahlenwert $1.8 - 3 = -1.2$. }}
+*Man  bezeichnet deshalb auch häufig&nbsp; $K-3$&nbsp; als die&nbsp; ''Gaußabweichung''&nbsp; oder als den&nbsp; ''Excess''.
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die ersten Zentralmomente einer Gaußschen Zufallsgröße mit Streuung $σ = 1/2$ sind:
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die ersten Zentralmomente einer Gaußschen Zufallsgröße mit Streuung&nbsp; $σ = 1/2$&nbsp; sind:
 :$$\mu_2 = \frac{1}{4}, \hspace{0.4cm}\mu_4 = \frac{3}{16},\hspace{0.4cm}\mu_6 = \frac{15}{64}, \hspace{0.4cm}\mu_8 = \frac{105}{256}.$$
-Alle Zentralmomente mit ungeradem Index sind identisch $0$.}}
+Alle Zentralmomente mit ungeradem Index sind identisch Null.}}
-Das interaktive Applet [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] gibt u.a. die Kenngrößen der Gaußverteilung an.
+Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]]&nbsp; gibt u.a. die Kenngrößen der Gaußverteilung an.