Stochastische Signaltheorie/Exponentialverteilte Zufallsgrößen - Versionsgeschichte

Guenter am 15. Januar 2022 um 17:00 Uhr

2022-01-15T17:00:12Z

Guenter am 22. November 2019 um 13:54 Uhr

2019-11-22T13:54:56Z

Guenter am 22. November 2019 um 13:53 Uhr

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Guenter am 22. November 2019 um 13:48 Uhr

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Guenter am 22. November 2019 um 13:00 Uhr

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; nennt man (einseitig)&nbsp; '''exponentialverteilt''', wenn sie nur nicht&ndash;negative Werte annehmen kann und die WDF für&nbsp; $x>0$&nbsp; den folgenden Verlauf hat:
+Eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; nennt man&nbsp; (einseitig)&nbsp; '''exponentialverteilt''',&nbsp; wenn sie nur nicht&ndash;negative Werte annehmen kann und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für&nbsp; $x>0$&nbsp; den folgenden Verlauf hat:
 :$$f_x(x)=\it \lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$}}
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 [[Datei: P_ID72__Sto_T_3_6_S1_neu.png  |right|frame| WDF und VTF einer exponentialverteilten Zufallsgröße]]
-Das linke Bild zeigt die&nbsp; ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''&nbsp; (WDF) einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$.&nbsp; Hervorzuheben ist:
+Das linke Bild zeigt die&nbsp; "Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion"&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$.&nbsp; Hervorzuheben ist:
-*Je größer der Verteilungsparameter&nbsp; $λ$&nbsp; ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
+#Je größer der Verteilungsparameter&nbsp; $λ$&nbsp; ist,&nbsp; um so steiler erfolgt der Abfall.
-*Definitionsgemäß gilt&nbsp; $f_{x}(0) = λ/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert&nbsp; $(0)$&nbsp;  und rechtsseitigem Grenzwert&nbsp; $(\lambda)$.
+#Definitionsgemäß gilt&nbsp; $f_{x}(0) = λ/2$,&nbsp; also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert&nbsp; $(0)$&nbsp;  und rechtsseitigem Grenzwert&nbsp; $(\lambda)$.
+*Für die&nbsp; "Verteilungsfunktion"&nbsp; $\rm (VTF)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; rechte Grafik)&nbsp; erhält man für&nbsp; $r > 0$&nbsp; durch Integration über die WDF:
 :$$F_{x}(r)=1-\rm e^{\it -\lambda\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} r}.$$
-Die&nbsp; ''Momente''&nbsp; der einseitigen Exponentialverteilung sind allgemein gleich &nbsp;
+*Die&nbsp; "Momente"&nbsp; der einseitigen Exponentialverteilung sind allgemein gleich &nbsp;
 :$$m_k = k!/λ^k.$$
-Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für den Mittelwert und die Streuung:
+*Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für den&nbsp; "Mittelwert"&nbsp; und die&nbsp; "Streuung":
 :$$m_1={1}/{\lambda},$$
 :$$\sigma=\sqrt{m_2-m_1^2}=\sqrt{\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}}={1}/{\lambda}.$$
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen, wobei in diesem Zusammenhang auch der Begriff &bdquo;Lebensdauerverteilung&rdquo; üblich ist.
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen,&nbsp; wobei in diesem Zusammenhang auch der Begriff &bdquo;Lebensdauerverteilung&rdquo; üblich ist.
-*Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit&nbsp; $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
+# Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit&nbsp; $t$,&nbsp; die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
-*Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]]&nbsp;  in Zusammenhang steht.}}
+# Desweiteren ist anzumerken,&nbsp; dass die Exponentialverteilung eng mit der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]]&nbsp;  in Zusammenhang steht.}}
 ==Transformation von Zufallsgrößen==
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Vorgehensweise:}$&nbsp; Besitzt eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; die WDF&nbsp; $f_{u}(u)$, so gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der an der nichtlinearen Kennlinie&nbsp; $x = g(u)$&nbsp; transformierten Zufallsgröße&nbsp; $x$:
+$\text{Vorgehensweise:}$&nbsp; Besitzt eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; die WDF&nbsp; $f_{u}(u)$,&nbsp; so gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der an der nichtlinearen Kennlinie&nbsp; $x = g(u)$&nbsp; transformierten Zufallsgröße&nbsp; $x$:
 :$$f_{x}(x)=\frac{f_u(u)}{\mid g\hspace{0.05cm}'(u)\mid}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} u=h(x)}.$$
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-*Obige Gleichung gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, dass die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.03cm}'(u) \ne 0$&nbsp; ist.
+*Obige Gleichung gilt allerdings nur unter der Voraussetzung,&nbsp; dass die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.03cm}'(u) \ne 0$&nbsp; ist.
-*Bei einer Kennlinie mit horizontalen Abschnitten&nbsp; $(g\hspace{0.05cm}'(u) = 0)$&nbsp; treten in der WDF zusätzliche Diracfunktionen auf, wenn die Eingangsgröße in dem Bereich Anteile hat.
+*Bei einer Kennlinie mit horizontalen Abschnitten&nbsp; $(g\hspace{0.05cm}'(u) = 0)$&nbsp; treten in der WDF zusätzliche Diracfunktionen auf,&nbsp; wenn die Eingangsgröße in dem Bereich Anteile hat.
-*Die Gewichte dieser Diracfunktionen sind gleich den Wahrscheinlichkeiten, dass die Eingangsgröße in diesen Bereichen liegt.
+*Die Gewichte dieser Diracfunktionen sind gleich den Wahrscheinlichkeiten,&nbsp; dass die Eingangsgröße in diesen Bereichen liegt.
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Vorgehensweise:}$&nbsp;
-Nun wird vorausgesetzt, dass die zu transformierende Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; (inklusive) und&nbsp; $1$&nbsp; (exklusive) ist.&nbsp; Außerdem betrachten wir die monoton steigende Kennlinie
+Nun wird vorausgesetzt,&nbsp; dass die zu transformierende Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; (inklusive) und&nbsp; $1$&nbsp; (exklusive) ist.&nbsp;
 :$$x=g_1(u) =\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln \ (\frac{1}{1-\it u}).$$
-Es  kann gezeigt werden, dass durch diese Kennlinie&nbsp; $x=g_1(u)$&nbsp; eine  einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit folgender WDF entsteht&nbsp; <br>(Herleitung siehe [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Herleitung_der_zugeh.C3.B6rigen_Transformationskennlinie|nächste Seite]]):
+*Es  kann gezeigt werden,&nbsp; dass durch diese Kennlinie&nbsp; $x=g_1(u)$&nbsp; eine  einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit folgender WDF entsteht&nbsp; <br>(Herleitung siehe [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Herleitung_der_zugeh.C3.B6rigen_Transformationskennlinie|nächste Seite]]):
 :$$f_{x}(x)=\lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}  x}\hspace{0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm} {\it x}>0.$$
 *Für&nbsp; $x = 0$&nbsp; ist der WDF-Wert nur halb so groß&nbsp; $(\lambda/2)$.
-* Negative&nbsp; $x$-Werte treten nicht auf, da für&nbsp; $0 ≤ u < 1$&nbsp; das Argument der (natürlichen) Logarithmus–Funktion nicht kleiner wird als&nbsp; $1$.}}
+* Negative&nbsp; $x$-Werte treten nicht auf,&nbsp; da für&nbsp; $0 ≤ u < 1$&nbsp; das Argument der (natürlichen) Logarithmus–Funktion nicht kleiner wird als&nbsp; $1$.}}
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 Bitte beachten Sie:
 *Bei einer Rechnerimplementierung entsprechend der ersten Transformationskennlinie&nbsp; $x=g_1(u)$&nbsp; ist der Wert&nbsp; $u = 1$&nbsp; auszuschließen.
-*Verwendet man die zweite Transformationskennlinie&nbsp; $x=g_2(u)$, so muss dagegen der Wert&nbsp; $u =0$&nbsp; ausgeschlossen werden.
+*Verwendet man die zweite Transformationskennlinie&nbsp; $x=g_2(u)$,&nbsp; so muss dagegen der Wert&nbsp; $u =0$&nbsp; ausgeschlossen werden.
-Das Lernvideo&nbsp; [[Erzeugung_einer_Exponentialverteilung_(Lernvideo)|Erzeugung einer Exponentialverteilung]]&nbsp; soll die  hier abgeleiteten Transformationen verdeutlichen.
+Das Lernvideo&nbsp; [[Erzeugung_einer_Exponentialverteilung_(Lernvideo)|"Erzeugung einer Exponentialverteilung"]]&nbsp; soll die  hier abgeleiteten Transformationen verdeutlichen.
 ==Herleitung der zugehörigen Transformationskennlinie==
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Aufgabenstellung:}$&nbsp;
-Nun wird die bereits auf der letzten Seite verwendete Transformationskennlinie&nbsp; $x = g_1(u)= g(u)$&nbsp; hergeleitet, die aus einer zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; mit der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)&nbsp; $f_{u}(u)$&nbsp; eine einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; formt:
+#&nbsp; Nun wird die bereits auf der letzten Seite verwendete Transformationskennlinie&nbsp; $x = g_1(u)= g(u)$&nbsp; hergeleitet.
-:$$f_{u}(u)= \left\{          \begin{array}{*{2}{c} }          1 & \rm falls\hspace{0.3cm}  0 < {\it u} < 1,\\         0.5 & \rm falls\hspace{0.3cm}   {\it u} = 0, {\it u} = 1,\\          0 & \rm sonst, \\              \end{array}     \right. \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
+::$$f_{u}(u)= \left\{          \begin{array}{*{2}{c} }          1 & \rm falls\hspace{0.3cm}  0 < {\it u} < 1,\\         0.5 & \rm falls\hspace{0.3cm}   {\it u} = 0, {\it u} = 1,\\          0 & \rm sonst, \\              \end{array}     \right. \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
   f_{x}(x)= \left\{          \begin{array}{*{2}{c} }         \lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} & \rm falls\hspace{0.3cm}   {\it x} > 0,\\         \lambda/2 &  \rm falls\hspace{0.3cm} {\it x} = 0  ,\\          0 & \rm falls\hspace{0.3cm} {\it x} < 0. \\              \end{array}     \right.$$}}

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 [[Aufgaben:3.8 Verstärkung und Begrenzung|Aufgabe 3.8: Verstärkung und Begrenzung]]
-[[Aufgaben:3.8Z Kreis(ring)fläche|Aufgabe 3.8Z: Kreis(ring)fläche]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.8Z:_Kreis(ring)fläche|Aufgabe 3.8Z: Kreis(ring)fläche]]
 [[Aufgaben:3.9 Kennlinie für Cosinus-WDF|Aufgabe 3.9: Kennlinie für Cosinus-WDF]]

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	*Im Lernvideo  [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)\|Wahrscheinlichkeit und WDF]]  wird gezeigt, welche Bedeutung die Laplaceverteilung für die Beschreibung von Sprach– und Musiksignalen hat.		*Im Lernvideo  [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)\|Wahrscheinlichkeit und WDF]]  wird gezeigt, welche Bedeutung die Laplaceverteilung für die Beschreibung von Sprach– und Musiksignalen hat.
	*Mit dem Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|WDF, VTF und Momente]]  können Sie sich die Kenngrößen  $($WDF, VTF, Momente$)$  von Exponential- und Laplaceverteilung anzeigen lassen.		*Mit dem Applet  [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)\|WDF, VTF und Momente]]  können Sie sich die Kenngrößen  $($WDF, VTF, Momente$)$  von Exponential- und Laplaceverteilung anzeigen lassen.
		+	*Wir weisen Sie auch auf das Applet  [[Applets:Zweidimensionale_Laplace-Zufallsgrößen_(Applet)\|Zweidimensionale Laplace-Zufallsgrößen]]  hin.

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Vorgehensweise:}$&nbsp;
-Nun wird vorausgesetzt, dass die zu transformierende Zufallsgröße $u$ gleichverteilt zwischen $0$ (inklusive) und $1$ (exklusive) ist. Dazu betrachten wir die monoton steigende Kennlinie
+Nun wird vorausgesetzt, dass die zu transformierende Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; (inklusive) und&nbsp; $1$&nbsp; (exklusive) ist.&nbsp; Außerdem betrachten wir die monoton steigende Kennlinie
-:$$x=g_1(u) =\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln(\frac{1}{1-\it u}).$$
+:$$x=g_1(u) =\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln \ (\frac{1}{1-\it u}).$$
-Es  kann gezeigt werden, dass durch diese Kennlinie $x=g_1(u)$ eine  einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße $x$ mit folgender WDF entsteht (Herleitung siehe [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Herleitung_der_zugeh.C3.B6rigen_Transformationskennlinie|nächste Seite]]):
+Es  kann gezeigt werden, dass durch diese Kennlinie&nbsp; $x=g_1(u)$&nbsp; eine  einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit folgender WDF entsteht&nbsp; <br>(Herleitung siehe [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Herleitung_der_zugeh.C3.B6rigen_Transformationskennlinie|nächste Seite]]):
-:$$f_{x}(x)=\lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda  x}\hspace{0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm} {\it x}>0.$$
+:$$f_{x}(x)=\lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}  x}\hspace{0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm} {\it x}>0.$$
-*Für $x = 0$ ist der WDF-Wert nur halb so groß $(\lambda/2)$.
+*Für&nbsp; $x = 0$&nbsp; ist der WDF-Wert nur halb so groß&nbsp; $(\lambda/2)$.
-* Negative $x$-Werte treten nicht auf, da für $0 ≤ u < 1$ das Argument der (natürlichen) Logarithmus–Funktion nicht kleiner wird als $1$.}}
+* Negative&nbsp; $x$-Werte treten nicht auf, da für&nbsp; $0 ≤ u < 1$&nbsp; das Argument der (natürlichen) Logarithmus–Funktion nicht kleiner wird als&nbsp; $1$.}}
 Die gleiche WDF erhält man übrigens mit der monoton fallenden Kennlinie
-:$$x=g_2(u)=\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln(\frac{1}{\it u})=-\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln(\it u \rm ).$$
+:$$x=g_2(u)=\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln \ (\frac{1}{\it u})=-\frac{1}{\lambda}\cdot \rm ln(\it u \rm ).$$
 Bitte beachten Sie:
-*Bei einer Rechnerimplementierung entsprechend der ersten Transformationskennlinie $x=g_1(u)$ ist der Wert $u =$ 1 auszuschließen.
+*Bei einer Rechnerimplementierung entsprechend der ersten Transformationskennlinie&nbsp; $x=g_1(u)$&nbsp; ist der Wert&nbsp; $u = 1$&nbsp; auszuschließen.
-*Verwendet man die zweite Transformationskennlinie $x=g_2(u)$, so muss dagegen der Wert $u =0$ ausgeschlossen werden.
+*Verwendet man die zweite Transformationskennlinie&nbsp; $x=g_2(u)$, so muss dagegen der Wert&nbsp; $u =0$&nbsp; ausgeschlossen werden.
-Das Lernvideo [[Erzeugung_einer_Exponentialverteilung_(Lernvideo)|Erzeugung einer Exponentialverteilung]] soll die  hier abgeleiteten Transformationen verdeutlichen.
+Das Lernvideo&nbsp; [[Erzeugung_einer_Exponentialverteilung_(Lernvideo)|Erzeugung einer Exponentialverteilung]]&nbsp; soll die  hier abgeleiteten Transformationen verdeutlichen.
 ==Herleitung der zugehörigen Transformationskennlinie==
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Aufgabenstellung:}$&nbsp;
-Nun wird die bereits auf der letzten Seite verwendete Transformationskennlinie $x = g_1(u)= g(u)$ hergeleitet, die aus einer zwischen $0$ und $1$ gleichverteilten Zufallsgröße $u$ mit der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) $f_{u}(u)$ eine einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße $x$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{x}(x)$ formt:
+Nun wird die bereits auf der letzten Seite verwendete Transformationskennlinie&nbsp; $x = g_1(u)= g(u)$&nbsp; hergeleitet, die aus einer zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; mit der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)&nbsp; $f_{u}(u)$&nbsp; eine einseitig exponentialverteilte Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; mit der WDF&nbsp; $f_{x}(x)$&nbsp; formt:
 :$$f_{u}(u)= \left\{          \begin{array}{*{2}{c} }          1 & \rm falls\hspace{0.3cm}  0 < {\it u} < 1,\\         0.5 & \rm falls\hspace{0.3cm}   {\it u} = 0, {\it u} = 1,\\          0 & \rm sonst, \\              \end{array}     \right. \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
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 :$$f_{x}(x)=\frac{f_{u}(u)}{\mid g\hspace{0.05cm}'(u) \mid }\Bigg \vert _{\hspace{0.1cm} u=h(x)}$$
 erhält man durch Umstellen und Einsetzen der vorgegebenen WDF $f_{ x}(x):$
-:$$\mid g'(u)\mid\hspace{0.1cm}=\frac{f_{\rm u}(u)}{f_{\rm x}(x)}\Bigg \vert _{\hspace{0.1cm} x=g(u)}= {1}/{\lambda} \cdot {\rm e}^{\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}g(u)}.$$
+:$$\mid g\hspace{0.05cm}'(u)\mid\hspace{0.1cm}=\frac{f_{u}(u)}{f_{x}(x)}\Bigg \vert _{\hspace{0.1cm} x=g(u)}= {1}/{\lambda} \cdot {\rm e}^{\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}g(u)}.$$
-Hierbei gibt $x = g\hspace{0.05cm}'(u)$ die Ableitung der Kennlinie an, die wir als monoton steigend voraussetzen.
+Hierbei gibt&nbsp; $x = g\hspace{0.05cm}'(u)$&nbsp; die Ableitung der Kennlinie an, die wir als monoton steigend voraussetzen.
-'''(2)'''&nbsp; Mit dieser Annahme erhält man &nbsp;$\vert g\hspace{0.05cm}'(u)\vert = g\hspace{0.05cm}'(u) = {\rm d}x/{\rm d}u$&nbsp; und die Differentialgleichung &nbsp;${\rm d}u =  \lambda\  \cdot {\rm e}^{-\lambda  x}\, {\rm d}x$&nbsp; mit der Lösung &nbsp;$u = K - {\rm e}^{-\lambda x}.$
+'''(2)'''&nbsp; Mit dieser Annahme erhält man &nbsp;$\vert g\hspace{0.05cm}'(u)\vert = g\hspace{0.05cm}'(u) = {\rm d}x/{\rm d}u$&nbsp; und die Differentialgleichung &nbsp;${\rm d}u =  \lambda\  \cdot {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}  x}\, {\rm d}x$&nbsp; mit der Lösung &nbsp;$u = K - {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x}.$
-'''(3)'''&nbsp; Aus der Bedingung, dass die Eingangsgröße &nbsp;$u =0$&nbsp; zum Ausgangswert &nbsp;$x =0$&nbsp; führen soll, erhält man für die Konstante $K =1$  und damit &nbsp;$u = 1- {\rm e}^{-\lambda  x}.$
+'''(3)'''&nbsp; Aus der Bedingung, dass die Eingangsgröße &nbsp;$u =0$&nbsp; zum Ausgangswert &nbsp;$x =0$&nbsp; führen soll, erhält man für die Konstante&nbsp; $K =1$&nbsp;  und damit &nbsp;$u = 1- {\rm e}^{-\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} x}.$
-'''(4)'''&nbsp; Löst man diese Gleichung nach $x$ auf, so ergibt sich die vorne angegebene Gleichung:
+'''(4)'''&nbsp; Löst man diese Gleichung nach&nbsp; $x$&nbsp; auf, so ergibt sich die vorne angegebene Gleichung:
 :$$x = g_1(u)= \frac{1}{\lambda} \cdot {\rm ln} \left(\frac{1}{1 - u} \right) .$$
-Bei einer Rechnerimplementierung ist allerdings sicherzustellen, dass für die gleichverteilte Eingangsgröße $u$ der kritische Wert $1$ ausgeschlossen wird. Dies wirkt sich jedoch auf das Endergebnis nicht aus. }}
+*Bei einer Rechnerimplementierung ist allerdings sicherzustellen, dass für die gleichverteilte Eingangsgröße&nbsp; $u$&nbsp; der kritische Wert&nbsp; $1$&nbsp; ausgeschlossen wird.&nbsp;
 ==Zweiseitige Exponentialverteilung &ndash; Laplaceverteilung==
 <br>
-In engem Zusammenhang mit der Exponentialverteilung steht die sogenannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Laplaceverteilung Laplaceverteilung] mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
+In engem Zusammenhang mit der Exponentialverteilung steht die sogenannte&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Laplaceverteilung Laplaceverteilung]&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
 :$$f_{x}(x)=\frac{\lambda}{2}\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} | x|}.$$
-Die Laplaceverteilung ist eine ''zweiseitige Exponentialverteilung,'' die insbesondere die Amplitudenverteilung von Sprach&ndash; und Musiksignalen ausreichend gut approximiert.
+Die Laplaceverteilung ist eine&nbsp; ''zweiseitige Exponentialverteilung'', die insbesondere die Amplitudenverteilung von Sprach&ndash; und Musiksignalen ausreichend gut approximiert.
-* Die Momente $k$&ndash;ter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_k$ der Laplaceverteilung stimmen für geradzahliges $k$ mit denen der Exponentialverteilung überein.
+* Die Momente&nbsp; $k$&ndash;ter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_k$&nbsp; der Laplaceverteilung stimmen für geradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; mit denen der Exponentialverteilung überein.
-* Für ungeradzahliges $k$ ergibt sich dagegen  bei der (symmetrischen) Laplaceverteilung stets $m_k= 0$.
+* Für ungeradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; ergibt sich bei der (symmetrischen) Laplaceverteilung dagegen   stets&nbsp; $m_k= 0$.
-Zur Generierung verwendet man eine zwischen $±1$ gleichverteilte Zufallsgröße $v$ (wobei  $v = 0$ ausgeschlossen werden muss) und die Transformationskennlinie
+Zur Generierung verwendet man eine zwischen&nbsp; $±1$&nbsp; gleichverteilte Zufallsgröße&nbsp; $v$&nbsp; (wobei&nbsp;  $v = 0$&nbsp; ausgeschlossen werden muss)&nbsp; und die Transformationskennlinie
 :$$x=\frac{{\rm sign}(v)}{\lambda}\cdot \rm ln(\it v \rm ).$$
 ''Weitere Hinweise:''
-*Aus der [[Aufgaben:3.8_Verstärkung_und_Begrenzung| Aufgabe 3.8]] erkennt man weitere Eigenschaften der Laplaceverteilung.
+*Aus der&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Verstärkung_und_Begrenzung| Aufgabe 3.8]]&nbsp; erkennt man weitere Eigenschaften der Laplaceverteilung.
-*Mit dem Berechnungstool [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen ]] können Sie sich unter Anderem die Kenngrößen (WDF, VTF, Momente) der Exponential- und der Laplaceverteilung anzeigen lassen.
-*Im zweiten Teil des Lernvideos [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] wird an Beispielen gezeigt, dass die Laplaceverteilung für die Beschreibung von Sprach&ndash; und Musiksignalen eine große Bedeutung besitzt.
+*Im Lernvideo&nbsp; [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und WDF]]&nbsp; wird gezeigt, welche Bedeutung  die Laplaceverteilung für die Beschreibung von Sprach&ndash; und Musiksignalen hat.

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ nennt man (einseitig) '''exponentialverteilt''', wenn sie nur nicht&ndash;negative Werte annehmen kann und die WDF für $x>0$ den folgenden Verlauf hat:
+Eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $x$&nbsp; nennt man (einseitig)&nbsp; '''exponentialverteilt''', wenn sie nur nicht&ndash;negative Werte annehmen kann und die WDF für&nbsp; $x>0$&nbsp; den folgenden Verlauf hat:
 :$$f_x(x)=\it \lambda\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$}}
-[[Datei: P_ID72__Sto_T_3_6_S1_neu.png  |center|frame| WDF und VTF einer exponentialverteilten Zufallsgröße]]
+[[Datei: P_ID72__Sto_T_3_6_S1_neu.png  |right|frame| WDF und VTF einer exponentialverteilten Zufallsgröße]]
-Das linke Bild zeigt die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF) einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße $x$. Hervorzuheben ist:
+Das linke Bild zeigt die&nbsp; ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''&nbsp; (WDF) einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße&nbsp; $x$.&nbsp; Hervorzuheben ist:
-*Je größer der Verteilungsparameter $λ$ ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
+*Je größer der Verteilungsparameter&nbsp; $λ$&nbsp; ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
-*Definitionsgemäß gilt $f_{x}(0) = λ/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert $(0)$  und rechtsseitigem Grenzwert $(\lambda)$.
+*Definitionsgemäß gilt&nbsp; $f_{x}(0) = λ/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert&nbsp; $(0)$&nbsp;  und rechtsseitigem Grenzwert&nbsp; $(\lambda)$.
-<br clear=all>
 Für die ''Verteilungsfunktion'' (rechte Grafik) erhält man für $r > 0$ durch Integration über die WDF:
 :$$F_{x}(r)=1-\rm e^{\it -\lambda\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} r}.$$
-Die ''Momente'' der einseitigen Exponentialverteilung sind allgemein gleich &nbsp;$m_k = k!/λ^k.$ Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für den Mittelwert und die Streuung:
+Die&nbsp; ''Momente''&nbsp; der einseitigen Exponentialverteilung sind allgemein gleich &nbsp;
 :$$m_1={1}/{\lambda},$$
 :$$\sigma=\sqrt{m_2-m_1^2}=\sqrt{\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}}={1}/{\lambda}.$$
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen, wobei in diesem Zusammenhang auch der Begriff &bdquo;Lebensdauerverteilung&rdquo; üblich ist.
-*Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
+*Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit&nbsp; $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
-*Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]]  in Zusammenhang steht.}}
+*Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]]&nbsp;  in Zusammenhang steht.}}
 ==Transformation von Zufallsgrößen==
 <br>
-Zur Erzeugung einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße an einem Digitalrechner kann zum Beispiel eine '''nichtlineare Transformation''' verwendet werden. Das zugrunde liegende Prinzip wird hier zunächst allgemein angegeben.
+Zur Erzeugung einer solchen exponentialverteilten Zufallsgröße an einem Digitalrechner kann zum Beispiel eine&nbsp; '''nichtlineare Transformation'''&nbsp; verwendet werden.&nbsp; Das zugrunde liegende Prinzip wird hier zunächst allgemein angegeben.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Vorgehensweise:}$&nbsp; Besitzt eine kontinuierliche Zufallsgröße $u$ die WDF $f_{u}(u)$, so gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der an der nichtlinearen Kennlinie $x = g(u)$ transformierten Zufallsgröße $x$:
+$\text{Vorgehensweise:}$&nbsp; Besitzt eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; die WDF&nbsp; $f_{u}(u)$, so gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der an der nichtlinearen Kennlinie&nbsp; $x = g(u)$&nbsp; transformierten Zufallsgröße&nbsp; $x$:
 :$$f_{x}(x)=\frac{f_u(u)}{\mid g\hspace{0.05cm}'(u)\mid}\Bigg \vert_{\hspace{0.1cm} u=h(x)}.$$
-Hierbei bezeichnet $g\hspace{0.05cm}'(u)$ die Ableitung der Kennlinie und $h(x)$ gibt die Umkehrfunktion zu $g(u)$ an. }}
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(u)$&nbsp; die Ableitung der Kennlinie&nbsp; $g(u)$&nbsp; und&nbsp; $h(x)$&nbsp; gibt die Umkehrfunktion zu&nbsp; $g(u)$&nbsp; an. }}
-*Diese Gleichung gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, dass die Ableitung $g\hspace{0.03cm}'(u) \ne 0$ ist.
+*Obige Gleichung gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, dass die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.03cm}'(u) \ne 0$&nbsp; ist.
-*Bei einer Kennlinie mit horizontalen Abschnitten $(g\hspace{0.05cm}'(u) = 0$) treten in der WDF zusätzliche Diracfunktionen auf, wenn die Eingangsgröße in diesem Bereich Anteile besitzt.
+*Bei einer Kennlinie mit horizontalen Abschnitten&nbsp; $(g\hspace{0.05cm}'(u) = 0)$&nbsp; treten in der WDF zusätzliche Diracfunktionen auf, wenn die Eingangsgröße in dem Bereich Anteile hat.
 *Die Gewichte dieser Diracfunktionen sind gleich den Wahrscheinlichkeiten, dass die Eingangsgröße in diesen Bereichen liegt.
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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Gibt man eine zwischen $–2$ und $+2$ dreieckverteilte Zufallsgröße $u$ auf eine Nichtlinerität mit der Kennlinie $x = g(u)$,
+Gibt man eine zwischen&nbsp;  $–2$&nbsp; und&nbsp; $+2$&nbsp; dreieckverteilte Zufallsgröße&nbsp; $u$&nbsp; auf eine Nichtlinerität mit der Kennlinie&nbsp; $x = g(u)$,
-*die im Bereich $\vert u \vert ≤ 1$ die Eingangswerte um den Faktor $3$ verstärkt und
+*die im Bereich&nbsp; $\vert u \vert ≤ 1$&nbsp; die Eingangswerte verdreifacht,&nbsp; und
-*alle Werte $\vert u \vert  > 1$ je nach Vorzeichen auf $x = \pm 3$ abbildet,
+*alle Werte&nbsp; $\vert u \vert  > 1$&nbsp; je nach Vorzeichen auf&nbsp; $x = \pm 3$&nbsp; abbildet,
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 Bitte beachten Sie:
-'''(1)''' &nbsp; Aufgrund der Verstärkung um den Faktor $3$ ist die WDF $f_{x}(x)$ um diesen Faktor breiter und niedriger als $f_{u}(u).$
+'''(1)''' &nbsp; Aufgrund der Verstärkung um den Faktor&nbsp; $3$&nbsp; ist $f_{x}(x)$&nbsp; um diesen Faktor breiter und niedriger als $f_{u}(u).$
-'''(2)''' &nbsp; Die horizontalen Begrenzungen der Kennlinie bei $u = ±1$ führen zu den beiden Diracfunktionen bei $x = ±3$, jeweils mit dem Gewicht $1/8$.
+'''(2)''' &nbsp; Die beiden horizontalen Begrenzungen der Kennlinie bei&nbsp; $u = ±1$&nbsp; führen zu den beiden Diracfunktionen bei&nbsp; $x = ±3$, jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $1/8$.
-'''(3)''' &nbsp;   Das Gewicht $1/8$ entspricht der grünen Flächen in der WDF $f_{u}(u).$}}
+'''(3)''' &nbsp;   Das Gewicht&nbsp; $1/8$&nbsp; entspricht der grünen Flächen in der WDF $f_{u}(u).$}}
 ==Erzeugung einer exponentialverteilten Zufallsgröße==

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 '''(1)'''&nbsp; Ausgehend von der allgemeinen Transformationsgleichung
-:$$f_{x}(x)=\frac{f_{u}(u)}{\mid g'(u) \mid }\Bigg \vert _{\hspace{0.1cm} u=h(x)}$$
+:$$f_{x}(x)=\frac{f_{u}(u)}{\mid g\hspace{0.05cm}'(u) \mid }\Bigg \vert _{\hspace{0.1cm} u=h(x)}$$
 erhält man durch Umstellen und Einsetzen der vorgegebenen WDF $f_{ x}(x):$
 :$$\mid g'(u)\mid\hspace{0.1cm}=\frac{f_{\rm u}(u)}{f_{\rm x}(x)}\Bigg \vert _{\hspace{0.1cm} x=g(u)}= {1}/{\lambda} \cdot {\rm e}^{\lambda \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}g(u)}.$$
 Hierbei gibt $x = g\hspace{0.05cm}'(u)$ die Ableitung der Kennlinie an, die wir als monoton steigend voraussetzen.
-'''(2)'''&nbsp; Mit dieser Annahme erhält man $|g'(u)| = g\hspace{0.05cm}'(u) = dx/du$ und die Differentialgleichung ${\rm d}u =  \lambda\  \cdot {\rm e}^{-\lambda  x}\, {\rm d}x$ mit der Lösung $u = K - {\rm e}^{-\lambda x}.$
+'''(2)'''&nbsp; Mit dieser Annahme erhält man $\vert g\hspace{0.05cm}'(u)\vert = g\hspace{0.05cm}'(u) = {\rm d}x/{\rm d}u$ und die Differentialgleichung ${\rm d}u =  \lambda\  \cdot {\rm e}^{-\lambda  x}\, {\rm d}x$ mit der Lösung $u = K - {\rm e}^{-\lambda x}.$
 '''(3)'''&nbsp; Aus der Bedingung, dass die Eingangsgröße $u =0$ zum Ausgangswert $x =0$ führen soll, erhält man für die Konstante $K =1$  und damit $u = 1- {\rm e}^{-\lambda  x}.$
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 ==Zweiseitige Exponentialverteilung &ndash; Laplaceverteilung==
-In einem engen Zusammenhang mit der Exponentialverteilung steht die sogenannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Laplaceverteilung Laplace-Verteilung] mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
+<br>
-$$f_{x}(x)=\frac{\lambda}{2}\cdot\rm e^{\it -\lambda \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} | x|}.$$
+In einem engen Zusammenhang mit der Exponentialverteilung steht die sogenannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Laplaceverteilung Laplaceverteilung] mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
-*Diese ist eine ''zweiseitige Exponentialverteilung,'' die insbesondere die Amplitudenverteilung von Sprach- und Musiksignalen ausreichend gut approximiert.
+Die Laplaceverteilung ist eine ''zweiseitige Exponentialverteilung,'' die insbesondere die Amplitudenverteilung von Sprach- und Musiksignalen ausreichend gut approximiert.
 * Die Momente $k$&ndash;ter Ordnung &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_k$ der Laplaceverteilung stimmen für geradzahliges $k$ mit denen der Exponentialverteilung überein.
-* Für ungeradzahliges $k$ ergibt sich dagegen  bei der Laplaceverteilung stets $m_k= 0$.
+* Für ungeradzahliges $k$ ergibt sich dagegen  bei der (symmetrischen) Laplaceverteilung stets $m_k= 0$.
-Zur Generierung verwendet man eine zwischen $±1$ gleichverteilte Zufallsgröße $v$, wobei  $v = 0$ ausgeschlossen werden muss und die Transformationskennlinie
+Zur Generierung verwendet man eine zwischen $±1$ gleichverteilte Zufallsgröße $v$ (wobei  $v = 0$ ausgeschlossen werden muss) und die Transformationskennlinie
-$$x=\frac{{\rm sign}(v)}{\lambda}\cdot \rm ln(\it v \rm ).$$
+:$$x=\frac{{\rm sign}(v)}{\lambda}\cdot \rm ln(\it v \rm ).$$
 ''Weitere Hinweise:''
 *Aus der [[Aufgaben:3.8_Verstärkung_und_Begrenzung| Aufgabe 3.3]] erkennt man weitere Eigenschaften der Laplaceverteilung.
-*Mit dem Berechnungstool [[WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen ]] können Sie sich unter Anderem die Kenngrößen (WDF, VTF, Momente) der Exponential- und der Laplaceverteilung anzeigen lassen.
+*Mit dem Berechnungstool [[Applets:WDF_VTF|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen ]] können Sie sich unter Anderem die Kenngrößen (WDF, VTF, Momente) der Exponential- und der Laplaceverteilung anzeigen lassen.
-*Im zweiten Teil des Lernvideos [[Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] wird an Beispielen gezeigt, dass die Laplaceverteilung für die Beschreibung von Sprach- und Musiksignalen eine große Bedeutung besitzt.
+*Im zweiten Teil des Lernvideos [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] wird an Beispielen gezeigt, dass die Laplaceverteilung für die Beschreibung von Sprach- und Musiksignalen eine große Bedeutung besitzt.